2012年湖北卷文科压轴题分析

• 作 者: 戚有建
• 机 构: 江苏省扬州市扬州中学,
• 出 处: 中学数学研究(华南师范大学版)
• 发表日期: 2013年07期
• 关键词: 切线方程 已知函数 辅助函数 泰勒公式 单调递增 原命题 正整数 背景研究 原来如此 思考过程

一、题目展示(2012年湖北卷文科22)已知函数f(x)=axn(1-x)+b,(x>0),n∈N,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的最大值;(3)证明:f(x)<1ne.解:(1)f(1)=b,由点(1,b)在直线x+y=1上得b=0,∴f′(x)=anxn-1-a(n+1)xn.∴f′(1)=an-a(n+1)=-a,又∵切线x+y=1的斜率为-1,∴-a=-1,即a=1.所以a=

First, the subject display (2012 Hubei Literature and Art 22) known function f (x) = axn (1-x) + b, (x> 0), n∈N, a, b is constant, the curve y = f (x) The tangent equation at (1, f (1)) is x + y = 1. (1) Find the values ​​of a, b; (2) Find the maximum value of f (1) f (1) = b, b = 0 on the straight line x + y = 1 from point (1, b), ∴f ’(x) = anxn 1- a (n + 1) xn.∴f ’(1) = an-a (n + 1) = -a, and the tangent x + y = 1 has a slope of -1 and ∴-a = = 1. So a =