整体思维捷足先登

• 作 者: 陈玲 王锋
• 出 处: 初中生世界·九年级
• 发表日期: 2016年8期
• 关键词: 整体思维 条件与结论 整体结构 形式结构 内在关系 本质内涵 注意力 解题 对象 策略 变形

　　所谓整体思维，就是把所要研究的对象，看成一个完整的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体结构或形式结构的变形上，从整体上把握条件与结论之间的内在关系与本质内涵，选准解题的方向与策略，便可以避繁就简、捷足先登.
　　1. 分式的求值
　　例1 已知x2-x-2=0，求分式的值.
　　【思路突破】观察条件及给出的分式结构特点，我们可以发现均有相同的多项式x2-x，因此我们可以把x2-x看作一个整体代入求值式，便可获得问题的答案.
　　解：由已知条件x2-x-2=0得x2-x=2，代入求值式可得：【点评】对于给出已知条件的求值问题，我们一定要仔细观察条件与求值式的结构特征，找到它们之间的连接点，学会用整体思维的策略，适当变化条件与求值式结构，然后整体代入即可化繁为简.
　　2. 方程（组）的求解
　　例2 若方程组 ①2a-3b=13，3a 5b=30.9的解是a=8.3，b=1.2， 则方程组②2（x 2）-3（y-1）=13，3（x 2） 5（y-1）=30.9的解是（ ）.
　　A. x=10.3，y=0.2. B. x=8.3，y=1.2.
　　C. x=10.3，y=2.2. D. x=6.3，y=2.2.
　　【思路突破】观察方程组①与方程组②中未知数的系数及方程右边的常数项，它们是完全相同的，因此我们如果把方程组②中x 2，y-1分别视为一个整体看作“元”，这就表明两个方程组是完全相同的方程组，从而发现他们的解是完全相同的.
　　解：令x 2=m，y-1=n，则方程组②可变为2m-3n=13，3m 5n=30.9.与方程组①相对照，显然它们是完全相同的方程组，其解是一样的，而2a-3b=13，3a 5b=30.9的解是a=8.3，b=1.2，所以有x 2=m=a=8.3，y-1=n=b=1.2，即x=6.3，y=2.2.故选择D.
　　【点评】此类问题应关注方程组中未知数的系数，与用什么字母表示“元”无关.
　　例3 （2015·珠海）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x 5y=3，4x 11y=5 ①.②时，采用了一种“整体代换”的解法：
　　解：将方程②变形：4x 10y y=5，即2（2x 5y） y=5，③
　　把方程①代入③得：2×3 y=5，∴y=-1，
　　把y=-1代入①得x=4，
　　∴方程组的解为x=4，y=-1.
　　请你解决以下问题：
　　（1） 模仿小军的“整体代换”法解方程组3x-2y=5， ④9x-4y=19.⑤
　　（2） 已知x，y满足方程组
　　3x2-2xy 12y2=47，2x2 xy 8y2=36，
　　求x2 4y2的值.
　　【思路突破】（1） 关键是将方程组中⑤式恒等变形成3（3x-2y） 2y=19，然后整体代入消元可得解.
　　（2） 把方程组中两个方程的左边分别提取公因式，变成3（x2 4y2）-2xy=47，2（x2 4y2） xy=36，然后整体消元便可求得x2 4y2的值.
　　解：（1） 把3x-2y看成一个整体，将方程⑤恒等变形成含有3x-2y的等式，即方程⑤变形为：3（3x-2y） 2y=19⑥，这样就可以把④整体代入⑥得：15 2y=19，即y=2，把y=2代入④得：x=3，则方程组的解为x=3，y=2.
　　（2） 原方程可化为
　　3（x2 4y2）-2xy=47，⑦2（x2 4y2） xy=36， ⑧
　　⑧×2 ⑦得：7（x2 4y2）=119，所以x2 4y2=17.
　　【点评】本题首先提供一个利用“整体代入”解方程组的案例，让读者阅读理解掌握解题方法后，模仿其方法去处理新的问题. 从解题过程可以看出利用“整体代入”思想，不但可以快速求出方程组的解，而且还可以起到“降次”作用，达到快速消元求值的效果.
　　3. 确定字母的取值范围
　　例4 已知方程组x 2y=4k， ①2x y=2k 1，②且
　　-1　　【思路突破】常规的思路是先解方程组，用k表示x、y，然后再代入不等式求解.这样做你会发现非常麻烦，但如果我们着眼于“x-y”这个整体，只要将方程组中两个方程“整体相减”便可用k表示出x-y，进而达到目的.
　　解：将方程组中②-①，得x-y=1-2k，又-1　　【点评】解此类问题首先要具备敏锐的观察能力，即善于发现方程组与关于未知数的不等式之间内在的数量关系，以便确定两个方程组是相减还是相加，或者是将方程适当变形后再加减.