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众所周知，数学离不开运算。特别是高中数学，很多学生反映运算量大，在众多练习和测试中，计算失误更是比比皆是。究其原因，往往是学生不能寻求合理的运算途径，不会恰当运用有效的解题策略和方法，导致运算繁杂，或者算不下去，或者中间过程出现问题，错误和失误也就在所难免了。针对以上问题，笔者认为，如果能够有意识的运用以下策略和方法，对简化运算和提高运算能力会起到有效的作用。现举例说明如下。在解析几何中，运用平面图形的几何性质，可以简化运算。
例(南京市2009年第一次调研测试卷)已知椭圆C：+=1的左顶点和右焦点分别是A和F，直线l：x=9，N为l上一点，且在x轴上方，过A、N、F三点的圆与y轴交于P、Q两点，求| PQ |的最小值。
分析：标准答案给出的方法是，先用待定系数法求出圆的方程，然后与y轴的方程联立，解方程组，建立| PQ |关于t的函数，最后运用二次函数的知识求最小值(注：t为N点的纵坐标)。上述思路自然流畅，但是由于运算量较大，只有少数学生能算出正确结果，而如果运用直线和圆的几何性质，则省时省力，给人以四两拨千斤的感觉。
解：由A(-6，0)、F(4，0)，容易知道过A、N、F三点的圆的圆心G在直线m：x＝-1上，过G作GK上y轴，垂足为K，在直角三角形GKP中，|PQ|＝2|PK|＝2＝2，因为G在直线m：x＝-1上，N在直线l：x=9上，所以| GN |的最小值是10，因此| PQ |的最小值是6。
再举两例，供读者参考。
(1)已知抛物线C：y＝4x，F(1，0)，A(2，2)，P是C上任意点，求|PF|十|PA|的最小值(利用抛物线的几何性质)。答案：3。
(2)已知A(-，0)，B是圆F：+y=4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交 BF于P，求动点P的轨迹方程。
分析：充分利用中垂线和圆的几何性质，可以得到|PA|十|PF|＝2>1＝|AF|，再根据椭圆的定义知道，点P的轨迹是以A、F为焦点，长轴长为2的椭圆，最后利用椭圆的几何性质，即可写出动点P的轨迹方程。
运用转化的思想方法，可以化难为易。转化是重要的数学思想方法，几乎每一个数学问题的解答都离不开转化。如数与形的互相转化，空间问题要转化为平面问题，数学语言的相互转化与变换，等等。如果解题时恰当运用转化的思想方法，不仅可以寻求合理的解题思路，也可使计算过程大为简化，现举例说明。
例(2006年高考数学福建卷)已知函数f(x)=-x+8x，g(x)=61nx+m，是否存在实数m，使得y=f(x)和y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在，求出m的取值范围。若不存在，说明理由。
分析：可以通过构造函数S(x)=g(x)-f(x)，函数S(x)三个零点 y=S(x)的图象和x轴有三个交点，然后用导数知识画出S(x)的图象，即可使问题得到解决。
解：令S(x)=x-8x+61nx+m，则S′(x)=2x-8+，由S′(x)=0得x＝1或3，列表知S(x)=S(1)＝m-7，S(x)＝S(3)=m+61n3-15，根据图象，欲使函数S(x)有三个零点，当且仅当S(1) >0且S(3)<0，解得7 再举几例，供读者参考。
(1)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是_____。
分析：本题源于2009年高考数学山东卷，有一部分好学生运用导数知识直接求解，导致难以算出结果，而运用转化的方法则简捷的多。思路如下：函数f(x)＝a-x-a(a>0且a≠1)有两个零点 方程a-x-a=0有两个根 方程a＝x+a有两个根 函数g(x)＝a和h(x)＝x+a的图象有两个交点，由图象易得a>1。
(2)已知x+y+=25，求+的取值范围。
分析：50=25+25=x+y+25，采用配方法即可将代数问题转化为几何问题。
(3)一个四面体的三组对棱相等，长度分别是、 和，四个顶点在同一球面上，求此球的表面积。
分析：将此四面体放在一个长方体中，这样就把四面体的外接球转化为长方体的外接球问题。简解如下：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，球半径为R，球的表面积为S，则有a+b＝5，a+c＝10，b+c＝13，(2R)=a+b+c，S=4πR，易得球的表面积是14π。
通过以上例题的分析和解答可以看出，只要我们能够根据题目特点，恰当运用以上的策略和方法来处理一些看似“繁杂”的计算问题，长期坚持下去，对简化运算和提高学生的运算能力，培养学生思维的灵活性和深刻性一定会大有益处。以上见解，还不全面，不当之处，敬请各位同行和学者指正。
（作者单位：江苏省如皋市搬经中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
例(南京市2009年第一次调研测试卷)已知椭圆C：+=1的左顶点和右焦点分别是A和F，直线l：x=9，N为l上一点，且在x轴上方，过A、N、F三点的圆与y轴交于P、Q两点，求| PQ |的最小值。
分析：标准答案给出的方法是，先用待定系数法求出圆的方程，然后与y轴的方程联立，解方程组，建立| PQ |关于t的函数，最后运用二次函数的知识求最小值(注：t为N点的纵坐标)。上述思路自然流畅，但是由于运算量较大，只有少数学生能算出正确结果，而如果运用直线和圆的几何性质，则省时省力，给人以四两拨千斤的感觉。
解：由A(-6，0)、F(4，0)，容易知道过A、N、F三点的圆的圆心G在直线m：x＝-1上，过G作GK上y轴，垂足为K，在直角三角形GKP中，|PQ|＝2|PK|＝2＝2，因为G在直线m：x＝-1上，N在直线l：x=9上，所以| GN |的最小值是10，因此| PQ |的最小值是6。
再举两例，供读者参考。
(1)已知抛物线C：y＝4x，F(1，0)，A(2，2)，P是C上任意点，求|PF|十|PA|的最小值(利用抛物线的几何性质)。答案：3。
(2)已知A(-，0)，B是圆F：+y=4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交 BF于P，求动点P的轨迹方程。
分析：充分利用中垂线和圆的几何性质，可以得到|PA|十|PF|＝2>1＝|AF|，再根据椭圆的定义知道，点P的轨迹是以A、F为焦点，长轴长为2的椭圆，最后利用椭圆的几何性质，即可写出动点P的轨迹方程。
运用转化的思想方法，可以化难为易。转化是重要的数学思想方法，几乎每一个数学问题的解答都离不开转化。如数与形的互相转化，空间问题要转化为平面问题，数学语言的相互转化与变换，等等。如果解题时恰当运用转化的思想方法，不仅可以寻求合理的解题思路，也可使计算过程大为简化，现举例说明。
例(2006年高考数学福建卷)已知函数f(x)=-x+8x，g(x)=61nx+m，是否存在实数m，使得y=f(x)和y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在，求出m的取值范围。若不存在，说明理由。
分析：可以通过构造函数S(x)=g(x)-f(x)，函数S(x)三个零点 y=S(x)的图象和x轴有三个交点，然后用导数知识画出S(x)的图象，即可使问题得到解决。
解：令S(x)=x-8x+61nx+m，则S′(x)=2x-8+，由S′(x)=0得x＝1或3，列表知S(x)=S(1)＝m-7，S(x)＝S(3)=m+61n3-15，根据图象，欲使函数S(x)有三个零点，当且仅当S(1) >0且S(3)<0，解得7
(1)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是_____。
分析：本题源于2009年高考数学山东卷，有一部分好学生运用导数知识直接求解，导致难以算出结果，而运用转化的方法则简捷的多。思路如下：函数f(x)＝a-x-a(a>0且a≠1)有两个零点 方程a-x-a=0有两个根 方程a＝x+a有两个根 函数g(x)＝a和h(x)＝x+a的图象有两个交点，由图象易得a>1。
(2)已知x+y+=25，求+的取值范围。
分析：50=25+25=x+y+25，采用配方法即可将代数问题转化为几何问题。
(3)一个四面体的三组对棱相等，长度分别是、 和，四个顶点在同一球面上，求此球的表面积。
分析：将此四面体放在一个长方体中，这样就把四面体的外接球转化为长方体的外接球问题。简解如下：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，球半径为R，球的表面积为S，则有a+b＝5，a+c＝10，b+c＝13，(2R)=a+b+c，S=4πR，易得球的表面积是14π。
通过以上例题的分析和解答可以看出，只要我们能够根据题目特点，恰当运用以上的策略和方法来处理一些看似“繁杂”的计算问题，长期坚持下去，对简化运算和提高学生的运算能力，培养学生思维的灵活性和深刻性一定会大有益处。以上见解，还不全面，不当之处，敬请各位同行和学者指正。
（作者单位：江苏省如皋市搬经中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文