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摘要：为优化项目管理过程的风险控制，量化不确定性对项目整体带来的潜在实际影响，确保项目风险管理的全面性和客观性，选取项目中工期的不确定性作为研究对象，引入工程中常见的案例对蒙特卡洛模拟在进度不确定性分析中的实践进行阐述。在此基础上重点分析模拟中各输入变量参数对结果所产生的影响，并给出变量合理性的判断方法，为输入变量的选择提供科学的决策依据。该研究可操作性强，适用于项目的风险管理过程，尤其是大型项目及不确定性较高的新技术项目。
关键词：不确定性分析;PERT分析;蒙特卡洛;輸入变量分析
中图法分类号： 中图分类号： 文献标识码：A分类号
ABSTRACT： In order to optimise the risk control in project management process， quantify the underlying practical impact on the entire project from uncertainty， ensure the comprehensiveness and objectivity of risk management， study took the schedule uncertainty as the research object， demonstrated how to perform Monte Carlo simulation during uncertainty analysis through a common case. On this basis， study focused on input variables that has an impact on the uncertainty outcome， provided approaches to assess the reasonability of inputs variables， aiming to give a scientific reference to the decision-making when choosing input variables. This study is practical and applicable for risk management in projects， particularly in large-scaled projects and new technology projects with a high uncertainty.
KEYWORDS： Uncertainty analysis; PERT analysis; Monte Carlo; Input variables analysis
1 研究背景及研究方法
近年来国内企业参与国际项目的步伐加剧，全球化项目管理竞争加剧、企业盈利模式转变、项目管理精细化程度提高。同时，随着计算机技术的提升，客户对于项目响应的要求也不断提升。这对企业的项目管控能力提出了新挑战，在这个充分竞争的市场经济时代，能否适应不断变化的能力，正在决定着企业的生存能力。
不断变化即不确定性。从客观来看，不确定性可借用数理统计来进行客观测度，以降低其水平[1]。对项目而言，它主要以风险的形式体现。从理论上，目前对项目风险研究成果较多，但这些理论研究主要围绕在对方法可行性的探索上，实践层面缺乏可操作性;因此，在实践上，绝大部分项目仍然采用风险注册或风险矩阵进行定性分析[2]。这种定性分析天然存在如下两个缺陷：
1.1 只能识别出已知风险，无法识别未知风险。因此意味着在规划阶段就与实际情况出现了偏差[3];
1.2 对局部风险的考虑大于对整体风险的考虑，仅从具体的项目活动实施上监控风险，对项目全局风险管理不利。
这对项目控制的有效性而言是不可接受的。根据项目不同阶段变更的成本规律[4] ，在项目早期进行变更的代价远低于中后期的变更代价。因此，在项目早期就将不确定性降低至可接受范围，是保障项目成功的有效措施。
本文在采用蒙特卡洛理论技术对施工进度进行研究的基础上，重点考虑理论结合实践的可操作性，对各输入变量如何选取进行分析，以期为蒙特卡洛技术在项目中的实践提供输入参数选择的参考依据，从而进一步提高蒙特卡洛模拟结果的可靠度。本研究具有普遍适用性。
2不确定性量化分析
本文仅对项目整体不确定性进行研究，读者应注意区分研究对象的风险涵盖范围，避免重复考虑已知风险，导致结果失真[5]。
本文以一个常见的施工逻辑作为研究对象，其施工逻辑及活动工期估算如表1所示。假设项目计划开始日期为5月30日。
在此基础上进行蒙特卡洛模拟结果如图1所示：
若不考虑整体风险，项目计划完工日期为同年10月22日。经风险模拟后，该日期实现概率仅为7%;完工置信度100%的日期为12月21日，不确定性为原工期的14%。
3输入变量研究
在模拟中存在多个输入变量，变量不同，模拟结果也不同。因此，输入变量的选取是否合理，直接决定不确定性分析结果的可靠性。
本文研究输入变量包括基准计划、蒙特卡洛模型选型、乐观估计时间、悲观估计时间、最可能持续时间、抽样次数。
3.1 基准计划
项目基准计划可从以下方面进行评估：缺失逻辑、延迟量、提前量、依赖关系、限制条件、总浮时、负浮时、长工期活动项、无效日期、资源、未完任务项、关键路径检测、关键路径长度指数（CPLI）、基线计划执行指数（BEI）[6]。 目前市场上已推出多种计算机技术和软件，可对项目进度质量进行评测并提出优化建议。
以下对表1进度计划的施工逻辑进行修改，增加作业项1的紧后工作：2SS+20天，作业项8的紧后工作：9FF+15天，保持其它参数不变。
修改后重新进行蒙特卡洛模拟，总工期的置信区间推后近4个月，不确定性范围缩小至原计划的12%。
3.2 概率分布模型
不同的概率分布选型将影响抽取次数，从而对结果造成影响。本文选用两类工程常见的分布模型，即三角分布和正态分布进行研究。
按照中心極限定理，当抽样数据足够大时，随机数据分布趋于正态分布[7]。相比正态分布，三角分布的概率密度不够平滑，随机抽样的取值分布对实际情况的匹配较正态分布偏移更高，即正态分布统计结果偏差更小。同时，在最大最小值及众数不变的情况下，正态分布取样方差较三角分布更小，结果精确度更高。
故不同模型带来的影响主要是随机抽样数据偏移对结果准确度的影响，以及方差对结果精确度的影响。因此，选取三点参数，以优化抽样的偏移程度，并取标准差为最大值与最小值差值的1/6，减小随机抽样的离散程度。
以下以单条作业“设备钢架基础施工”为研究对象对比两种模型，模拟过程确保除模型分布外的其余变量一致。工期置信分布密度函数如图2所示[8]。
随着正态模型样本分布的低离散度，其置信度收敛性更好，工期不确定性在更确切的置信区间中体现。经不确定性计算后，正态分布认为作业项原完工日期的按期实现概率更高，进一步验证了分析结论。
此外，可以推论出，在对模拟结果可靠性要求不变的情况下，三角分布模型需要更多抽样次数以满足收敛性和精确度的要求。
3.3 PERT工期参数评估
变量评估与实际值存在客观波动[9]。对项目工期参数评估而言，它取决于对经验数据的选取，以及专家对项目信心等主观因素影响。
本文案例中，对表1的三组工期参数分别±10%，以模拟实施者持乐观和悲观态度时的项目工期置信分布情况。模拟结果显示，乐观态度下，原计划完工时间置信度为96%;悲观态度下，该完工时间置信度为0%;原计划总工期为5个月的计划中，二者50%的置信偏差达2个月。不同态度对真实情况的偏移，显示模拟结果存在误差。
3.4 抽样次数
在抽取足够多的随机样本后，模拟结果将收敛于正确的结果[10]。确定蒙特卡洛计算的抽样次数，即是对蒙特卡洛方法误差的期望管理。其中，σ为标准差、n为抽样次数、λ为置信系数、I为期望结果、In为n次抽样的模拟结果。样本方差不变的情况下，模拟结果误差由抽样次数决定。抽样次数越高收敛性越好，误差越小。但同时，大量模拟意味着资源的占用，尤其是在逻辑复杂、不确定性高的大型复杂项目中，可能意味着资源的过度占用。应客观考虑资源投入和模拟结果可靠性之间的平衡。
根据误差计算公式，抽样次数N可通过公式计算得知，其中U为置信系数、α为显著水平、ε为误差。对于不同的模拟结果精度要求，抽样次数可从几十几百次到几万几十万次。
取抽样次数为10次、100次及1000次时，50%的置信水平时作业项“设备钢架基础施工”的计算误差分别为0.645、0.204及0.065。
4 结语
科学的数理模拟清晰地显示，不考虑整体风险的进度编排对项目不确定性的应对能力较差，计划的完成概率往往远低于预期。相较于一个固定的完工工期承诺，考虑风险的进度编排展示了潜在完工工期与实现概率之间的关系，有助于帮助项目相关方更为客观地看待项目实现的可能性。为确保项目管控的有效性，尤其是大型项目或不确定性较高的新技术项目，在项目早期就对项目整体的不确定性进行科学分析是保障项目成功的有力措施。
另一方面，由于蒙特卡洛计算的输入变量在大部分情况下本身就是一个估算值，因此在具体分析的过程中，输入变量的选择不同将导致模拟计算结果的不同。本文对输入变量进行分析，从基准计划、蒙特卡洛模型、三个工期参数及抽样次数方面进行了详细研究，以期为蒙特卡洛技术的项目实践提供参数选择的判断依据，提高分析可靠性。本研究在工程实践中具有普遍的实用性。
参考文献：
[1] 汪忠，黄瑞华.国外风险管理研究的理论、方法及其进展[J].外国经济与管理，2005（02）：25-31.
[2] 章梦平. 建筑工程项目施工进度风险评估[D].武汉大学，2017.
[3] 唐婕. 工程项目施工进度影响因素评价方法研究[D].青岛理工大学，2015.
[4] Project Management Institute （PMI）. A Guide to the Project Management Body of Knowledge. Sixth Edition. [M]. 2018.
[5] Association for project Management. Planning， Scheduling， Monitoring and Control- The practical Project Management of Time， Cost and Risk.[M]. 2015.
[6] Steven J. Montgomery. An Introduction to the DCMA 14-Point Assessment Guidelines. [M]. 2019.
[7] 李贤平. 概率论基础（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2010.
[8] 刘清志，许学娜. Excel在蒙特卡罗模拟分析中的应用[J]. 中国管理信息化，2008（07）：44-47.
[9] David Freedman， Robert Pisani， Roger Purves， Ani Adhikari. 统计学[M]. 中国统计出版社，1997.
[10] Christian P. Robert， George Casella. 蒙特卡罗统计方法（第2版）[M]. 世界图书出版公司， 2009.
关键词：不确定性分析;PERT分析;蒙特卡洛;輸入变量分析
中图法分类号： 中图分类号： 文献标识码：A分类号
ABSTRACT： In order to optimise the risk control in project management process， quantify the underlying practical impact on the entire project from uncertainty， ensure the comprehensiveness and objectivity of risk management， study took the schedule uncertainty as the research object， demonstrated how to perform Monte Carlo simulation during uncertainty analysis through a common case. On this basis， study focused on input variables that has an impact on the uncertainty outcome， provided approaches to assess the reasonability of inputs variables， aiming to give a scientific reference to the decision-making when choosing input variables. This study is practical and applicable for risk management in projects， particularly in large-scaled projects and new technology projects with a high uncertainty.
KEYWORDS： Uncertainty analysis; PERT analysis; Monte Carlo; Input variables analysis
1 研究背景及研究方法
近年来国内企业参与国际项目的步伐加剧，全球化项目管理竞争加剧、企业盈利模式转变、项目管理精细化程度提高。同时，随着计算机技术的提升，客户对于项目响应的要求也不断提升。这对企业的项目管控能力提出了新挑战，在这个充分竞争的市场经济时代，能否适应不断变化的能力，正在决定着企业的生存能力。
不断变化即不确定性。从客观来看，不确定性可借用数理统计来进行客观测度，以降低其水平[1]。对项目而言，它主要以风险的形式体现。从理论上，目前对项目风险研究成果较多，但这些理论研究主要围绕在对方法可行性的探索上，实践层面缺乏可操作性;因此，在实践上，绝大部分项目仍然采用风险注册或风险矩阵进行定性分析[2]。这种定性分析天然存在如下两个缺陷：
1.1 只能识别出已知风险，无法识别未知风险。因此意味着在规划阶段就与实际情况出现了偏差[3];
1.2 对局部风险的考虑大于对整体风险的考虑，仅从具体的项目活动实施上监控风险，对项目全局风险管理不利。
这对项目控制的有效性而言是不可接受的。根据项目不同阶段变更的成本规律[4] ，在项目早期进行变更的代价远低于中后期的变更代价。因此，在项目早期就将不确定性降低至可接受范围，是保障项目成功的有效措施。
本文在采用蒙特卡洛理论技术对施工进度进行研究的基础上，重点考虑理论结合实践的可操作性，对各输入变量如何选取进行分析，以期为蒙特卡洛技术在项目中的实践提供输入参数选择的参考依据，从而进一步提高蒙特卡洛模拟结果的可靠度。本研究具有普遍适用性。
2不确定性量化分析
本文仅对项目整体不确定性进行研究，读者应注意区分研究对象的风险涵盖范围，避免重复考虑已知风险，导致结果失真[5]。
本文以一个常见的施工逻辑作为研究对象，其施工逻辑及活动工期估算如表1所示。假设项目计划开始日期为5月30日。
在此基础上进行蒙特卡洛模拟结果如图1所示：
若不考虑整体风险，项目计划完工日期为同年10月22日。经风险模拟后，该日期实现概率仅为7%;完工置信度100%的日期为12月21日，不确定性为原工期的14%。
3输入变量研究
在模拟中存在多个输入变量，变量不同，模拟结果也不同。因此，输入变量的选取是否合理，直接决定不确定性分析结果的可靠性。
本文研究输入变量包括基准计划、蒙特卡洛模型选型、乐观估计时间、悲观估计时间、最可能持续时间、抽样次数。
3.1 基准计划
项目基准计划可从以下方面进行评估：缺失逻辑、延迟量、提前量、依赖关系、限制条件、总浮时、负浮时、长工期活动项、无效日期、资源、未完任务项、关键路径检测、关键路径长度指数（CPLI）、基线计划执行指数（BEI）[6]。 目前市场上已推出多种计算机技术和软件，可对项目进度质量进行评测并提出优化建议。
以下对表1进度计划的施工逻辑进行修改，增加作业项1的紧后工作：2SS+20天，作业项8的紧后工作：9FF+15天，保持其它参数不变。
修改后重新进行蒙特卡洛模拟，总工期的置信区间推后近4个月，不确定性范围缩小至原计划的12%。
3.2 概率分布模型
不同的概率分布选型将影响抽取次数，从而对结果造成影响。本文选用两类工程常见的分布模型，即三角分布和正态分布进行研究。
按照中心極限定理，当抽样数据足够大时，随机数据分布趋于正态分布[7]。相比正态分布，三角分布的概率密度不够平滑，随机抽样的取值分布对实际情况的匹配较正态分布偏移更高，即正态分布统计结果偏差更小。同时，在最大最小值及众数不变的情况下，正态分布取样方差较三角分布更小，结果精确度更高。
故不同模型带来的影响主要是随机抽样数据偏移对结果准确度的影响，以及方差对结果精确度的影响。因此，选取三点参数，以优化抽样的偏移程度，并取标准差为最大值与最小值差值的1/6，减小随机抽样的离散程度。
以下以单条作业“设备钢架基础施工”为研究对象对比两种模型，模拟过程确保除模型分布外的其余变量一致。工期置信分布密度函数如图2所示[8]。
随着正态模型样本分布的低离散度，其置信度收敛性更好，工期不确定性在更确切的置信区间中体现。经不确定性计算后，正态分布认为作业项原完工日期的按期实现概率更高，进一步验证了分析结论。
此外，可以推论出，在对模拟结果可靠性要求不变的情况下，三角分布模型需要更多抽样次数以满足收敛性和精确度的要求。
3.3 PERT工期参数评估
变量评估与实际值存在客观波动[9]。对项目工期参数评估而言，它取决于对经验数据的选取，以及专家对项目信心等主观因素影响。
本文案例中，对表1的三组工期参数分别±10%，以模拟实施者持乐观和悲观态度时的项目工期置信分布情况。模拟结果显示，乐观态度下，原计划完工时间置信度为96%;悲观态度下，该完工时间置信度为0%;原计划总工期为5个月的计划中，二者50%的置信偏差达2个月。不同态度对真实情况的偏移，显示模拟结果存在误差。
3.4 抽样次数
在抽取足够多的随机样本后，模拟结果将收敛于正确的结果[10]。确定蒙特卡洛计算的抽样次数，即是对蒙特卡洛方法误差的期望管理。其中，σ为标准差、n为抽样次数、λ为置信系数、I为期望结果、In为n次抽样的模拟结果。样本方差不变的情况下，模拟结果误差由抽样次数决定。抽样次数越高收敛性越好，误差越小。但同时，大量模拟意味着资源的占用，尤其是在逻辑复杂、不确定性高的大型复杂项目中，可能意味着资源的过度占用。应客观考虑资源投入和模拟结果可靠性之间的平衡。
根据误差计算公式，抽样次数N可通过公式计算得知，其中U为置信系数、α为显著水平、ε为误差。对于不同的模拟结果精度要求，抽样次数可从几十几百次到几万几十万次。
取抽样次数为10次、100次及1000次时，50%的置信水平时作业项“设备钢架基础施工”的计算误差分别为0.645、0.204及0.065。
4 结语
科学的数理模拟清晰地显示，不考虑整体风险的进度编排对项目不确定性的应对能力较差，计划的完成概率往往远低于预期。相较于一个固定的完工工期承诺，考虑风险的进度编排展示了潜在完工工期与实现概率之间的关系，有助于帮助项目相关方更为客观地看待项目实现的可能性。为确保项目管控的有效性，尤其是大型项目或不确定性较高的新技术项目，在项目早期就对项目整体的不确定性进行科学分析是保障项目成功的有力措施。
另一方面，由于蒙特卡洛计算的输入变量在大部分情况下本身就是一个估算值，因此在具体分析的过程中，输入变量的选择不同将导致模拟计算结果的不同。本文对输入变量进行分析，从基准计划、蒙特卡洛模型、三个工期参数及抽样次数方面进行了详细研究，以期为蒙特卡洛技术的项目实践提供参数选择的判断依据，提高分析可靠性。本研究在工程实践中具有普遍的实用性。
参考文献：
[1] 汪忠，黄瑞华.国外风险管理研究的理论、方法及其进展[J].外国经济与管理，2005（02）：25-31.
[2] 章梦平. 建筑工程项目施工进度风险评估[D].武汉大学，2017.
[3] 唐婕. 工程项目施工进度影响因素评价方法研究[D].青岛理工大学，2015.
[4] Project Management Institute （PMI）. A Guide to the Project Management Body of Knowledge. Sixth Edition. [M]. 2018.
[5] Association for project Management. Planning， Scheduling， Monitoring and Control- The practical Project Management of Time， Cost and Risk.[M]. 2015.
[6] Steven J. Montgomery. An Introduction to the DCMA 14-Point Assessment Guidelines. [M]. 2019.
[7] 李贤平. 概率论基础（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2010.
[8] 刘清志，许学娜. Excel在蒙特卡罗模拟分析中的应用[J]. 中国管理信息化，2008（07）：44-47.
[9] David Freedman， Robert Pisani， Roger Purves， Ani Adhikari. 统计学[M]. 中国统计出版社，1997.
[10] Christian P. Robert， George Casella. 蒙特卡罗统计方法（第2版）[M]. 世界图书出版公司， 2009.