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【摘要】质数和合数的概念比较抽象，质数和奇数，合数和偶数的概念容易混淆，因此，教师尝试在充分计算和有序涂色中突破教学难点，并突破认知障碍，深刻理解概念.
【关键词】充分计算;有序涂色;突破教学难点;突破认知障碍;理解概念
【探究初衷】
苏教版五年级下册“因数和倍数”单元中质数（素数）和合数的概念比较抽象，同时因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数的概念集体出现，学生容易混淆质数和奇数，合数和偶数的概念，六年级复习教学时发现学生对质数、合数的概念模糊，应用不灵活.为什么五年级下学期教学设计面面俱到，但学生没有深刻理解质数和合数的概念和内涵呢？原因是教师的教学设计和教学手法没有突破教学难点，学生没有突破认知障碍，理解本质停留在浅层理解层面上，解决问题停留在高度模仿阶段.如何尝试突破教学难点，帮助学生深刻理解概念和内涵，斯托利亚尔《数学教育学》中提出：“巩固性的原则要求学生长期地保持系统的知识、技能和技巧.如果对所学习的教材没有深刻的理解，仅仅靠死记，是不能实现这个原则的.”即使小学五、六年级的学生，直观仍是抽象知识学习的重要基础，学生仍需要在观察中培养形象思维，在计算中培养逻辑思维，依靠形状、颜色、声音和感觉来进行思维.苏霍姆林斯基说：“孩子的智慧在他的手指上.”基于学生在第一学段积累数形结合的涂色经验，第二学段教材内容安排六年级上册多面体表面涂色问题，以及平面区域涂色问题，教师尝试运用充分计算和有序涂色突破教学难点和认知障碍，帮助学生从计算中生成归纳推理的方法，从而让其深刻理解概念[1].
从儿童认知水平和经验出发，将“质数和合数”课堂教学删减练习和猜谜语环节，增补涂色研究环节，调整作业课为研究单交流课.四个研究单层层深入，根据计算结果采用有序涂色，直观观察1、质数、合数的分类，形成条理清晰的归纳推理方法，深刻理解1、质数、合数的概念.
【探究过程】
一、情境导入，激发学习兴趣，感受质数、合数的重要生活价值
数学学家们通过对质数和合数的不断研究，发现质数和合数可以给人们提供更加安全、高品质的生活：银行往往使用质因数加密法（研究课总结时首尾呼应质数的重要价值），质数除了被应用在密码学和军事上，还在我们身边的汽车变速箱齿轮的设计上发挥着重要的作用，为了最大化减少磨损，相邻连个齿轮的齿数都是质数……我们身边也有质数和合数的存在，我们班36人，隔壁班37人，参加运动会哪个班能排成方队？学生直观感受到，能不能排成方队和班级总人数的因数个数有关，质数、合数与因数的个数有关[2].
二、课中研究，初步形成概念的本质，踏实计算中生成归纳推理方法
2，3，5，6，8，9中，只有两个因数的有2，3，5（1和本身两个因数），有两个以上因数的有6，8，9（除了1和它本身还有别的因数）.概念引入：只有1和本身两个因数的数是质数（素数）.除了1和它本身还有别的因数的数叫合数.
1.1—20的质数和合数
核心问题：哪些数是质数？哪些数是合数？1是质数吗？1是合数吗？
在1—20表格中分类： “1”的因数只有1个，它既不是质数也不是合数; 2，3，5，7，11，13，17，19的因数都是1和它本身两个因数，它们是质数;4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20都有2个以上因数，它们是合数.
驱动问题：你怎么判断除了1的數是质数还是合数？
学生：我是一个数一个数地试着找它们的因数，发现只有2个因数的是2，3，5，7，11，13，17，19，它们是质数.
学生：我也是这样一个一个地找它们的因数，但我把奇数9，15误当成质数了.
放大问题，充分讨论：奇数 9，15为什么不是质数而是合数？
学生：9=3×3，9有3个因数，9是合数.15=3×5，15有4个因数，15是合数.
核心问题：质数、合数的分类标准和奇数、偶数的分类标准相同吗？
学生：不同，奇数、偶数是根据能不能整除以2，或者是不是2的倍数，看末尾数字就可以判断.质数、合数分类要看所要判断的数的因数的个数.
2.21—50的质数和合数
在1—50表格中分类，集合的增加使得学生产生学习归纳推理思想方法的需求，大多数学生主动采用排除2的倍数，3的倍数，5的倍数的思想方法，也有学生仍然根据表内乘法判断合数，教师提出驱动问题：数量变多了，怎样才能有序，不遗漏、不重复地找出质数和合数呢？
学生：我是先找除了2以外的2的倍数：4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30，32，34，36，38，40，42，44，46，48，50，因为它们有因数2，那么它们就是合数，我把它们划去;再找除了3以外的3的倍数：6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，它们有因数3，那么它们就是合数，我把它们划去;最后找除了5以外的5的倍数：10，15，20，25，30，35，40，45，50，它们有因数5，那么它们就是合数，遇到已经划去的合数可以不划.
学生：偶数都是合数（除2以外），奇数中有一部分数除了1和本身外，还有其他因数，这些奇数不是质数，是合数.
在多人、多次表达中深刻理解2的特殊性.教师详细示范：除了2以外的2的倍数涂绿色，除了3以外的3的倍数涂红色，除了5以外的5的倍数涂黄色，组织学生在下一张研究单上涂色操作.本次研究错误资源搜集：39=3×13，奇数39不是质数.课后作业是关注39的合数数感情况.教师设计课后研究单，布置独立研究任务，一一列举研究收获，准备研究交流课发言[3].
三、课后小研究，走进概念的本质，熟练归纳推理方法 1.在1—100表格中分类，学生将除了2以外的2的倍数涂绿色，除了3以外的3的倍数涂红色，除了5以外的5的倍数涂黄色……
学生：我不得不用新的颜色，因为出现了不是2，3，5的倍数的数，即49是7的7倍，77是7的11倍，91是7的13倍.100以内有25个质数没有颜色，它们是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97.
学生：我把小研究做好以后，将25个质数都涂成粉色，简洁明了.我把它们记在心里，解决问题时能帮助我加快速度和检验.
教师：你把整个研究的过程进行了进一步的归纳整理，并且在理解的基础上记忆，这是一个非常好的方法.
驱动问题：研究数字更多的情况下，会不会出现其他的倍数呢，是否需要涂新的颜色？课后研究驱动学生通过快速涂色，将推理方法熟练化、深刻化，在更大集合中感受质数、合数的本质.
2.在1—200表格中分类，学生采取涂色法排除2的倍数，3的倍数，5的倍数……的有序思考的方法，错误资源搜集：133是质数吗？
核心问题：怎么推理出它是质数还是合数？
学生：133不能整除2，3，5，能整除7，它是7的19倍，可以用7的倍数所用颜色涂好.
学生将排除合数和1后呈现同一种颜色的数字进行整理.在直观结果中感受归纳推理确定因数个数的普适性、通用价值.猜想没有进展，教师继续追问驱动问题：数字更多的情况下，会不会出现其他的倍数，需要涂新的颜色呢？根据我们收获的归纳推理方法可以帮助我们持之以恒地研究下去！
四、研究课交流，熟练归纳推理，深刻理解概念，产生新的猜想
研究共性收获交流：每50个数为一横行，100个数为一个数段，借助电子表格电子涂色或打印纸质表格手动涂色，除2外，2的倍数是合数;除3外，3的倍数是合数;除5外，5的倍数是合数;除7外，7的倍数是合数;除11外，11的倍数是合数……观察同种颜色的数字，发现除2以外的偶数都是合数，奇数中大多数是合数.
研究个性收获交流：
学生：给出一个大的奇数，很难判断它是质数还是合数，我们可以按照归纳推理，一步一步计算.比如，奇数中的187是质数还是合数？209是指数还是合数？323是质数还是合数？437是质数还是合数？
学生：187除以11等于17，209除以11等于19，323除以17等于19，437除以19等于23，这些数通过依次除以2，3，5，7，11……总能找到除1和本身以外的因数，从而是合数.
教师：根据2个质数的积，一步步找到原来的2个质数因数的步骤多，正因为如此，如果我们将很多互质数的积设定为密码，他人很难很快找出原来的那些数，电子技术同样难以破译，因此，质数在密码界赫赫有名.
学生：偶数除了2都是合数，因为它们都是2的倍数.奇数中的质数个位是1，3，7，9，但个位是1，3，7，9的奇数不一定是质数.
学生：每个数段奇偶数各一半，但质数比合数少很多，1—10000中有1229个质数，很多奇数也是合数.
学生：我猜想（除了3和2）大的质数与小的质数差都是偶数，不知道对不对？
学生：我找出最大的质数是691，我整理出 1—100共有25个质数，101—200共有21个质数，201—300共有16个质数，301—400共有16个质数，401—500共有17个质数，501—600共有14个质数……每一个数段的质数可能呈越来越少的趋势，不知道对不对？
学生：我来补充，虽然我只计算到200，但通过搜集材料发现：以1000个数为一个数段，质数个数也呈下降趋势，对前面同学新猜想有一些帮助.1—1000有168个质数，1000—2000有135个质数，2000—3000有127个质数……每一个數段的质数也是呈越来越少的趋势，对上一位同学的问题有帮助.
学生：我觉得偶数除了2都是合数，因为它们都是2的倍数.奇数中的质数个位是1，3，7，9，但个位是1，3，7，9的奇数不一定是质数.可以提醒我们有些奇数实际是合数，要踏实的逻辑计算，不能简单地当成质数.
教师：同学们，你们通过大量的计算，有序的涂色，认真的思考，对1、质数、合数的本质有了深刻的认识，并且熟练掌握了判断质数、合数的归纳推理方法，同时收获了一些有助于自己精准解决问题的小诀窍，并产生了新的猜想，归纳推理的方法可以帮助你继续研究下去，收获更多的惊喜.
【探究反思】
学生在层层推进的研究过程中，结合倍数的特征，采用自主探索、踏实计算、有序涂色，形成1、质数、合数表.从课堂到课后，持续培养归纳推理的思维，放大课堂研究过程中生成的错误资源，引领学生通过归纳推理走进核心概念，在交流课的平台，学生会呈现丰富的学习品质：善于观察、灵活创新、持之以恒.研究单设计注意点：围绕需要突破教学难点，基于培养归纳推理能力的目的，研究范围适当扩大但减少重复，适当加深但控制好难度，体现从有限至无限的思想方法.涂色注意点：学生在逻辑清晰的计算过程中，结合倍数关系的有序涂色，生成一张有颜色的质数表，在直观体验中得到归纳推理经验.涂色有利于儿童直观思维优势的发挥，但不能完全突破特殊数字的数感形成，再给学生一些课堂留白去感受一部分质数是合数的现象，理解找因数的归纳推理的过程.配套练习注意点：练习数量的减少使练习的诊断价值弱化，教师提前剔除价值薄弱的练习.鼓励学生独立、持续探究200以后的质数和合数，不能借助太多资料，数学结论不是数学本质本身.
经过情境引入后，教师引导学生对概念进行层层推进的探究，使学生对质数、合数的概念的理解得到提升，并有利于学生对质数、合数的概念问题的推理和思考.数学无处不在，看似抽象的质数、合数在生活中也无处不在，这一阶段的学生，在具体可见的熟悉的问题中，能更好地理解质数、合数的概念和含义.因此，在后续学习过程中，教师可以选择丰富的生活情境、具体的生活案例来进行教学，比如，班级人数是否可以排成表演方阵，花店如何搭配花束，教师分发的奖品总数究竟是多少.从而帮助学生将质数、合数的抽象概念和实际意义互相依存、协同发展.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]吴正宪，周卫红，陈凤伟.吴正宪课堂教学策略[M].上海：华东师范大学出版社，2013.
[3]王永春.小学数学与数学思想方法[M]. 上海：华东师范大学出版社，2014.
【关键词】充分计算;有序涂色;突破教学难点;突破认知障碍;理解概念
【探究初衷】
苏教版五年级下册“因数和倍数”单元中质数（素数）和合数的概念比较抽象，同时因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数的概念集体出现，学生容易混淆质数和奇数，合数和偶数的概念，六年级复习教学时发现学生对质数、合数的概念模糊，应用不灵活.为什么五年级下学期教学设计面面俱到，但学生没有深刻理解质数和合数的概念和内涵呢？原因是教师的教学设计和教学手法没有突破教学难点，学生没有突破认知障碍，理解本质停留在浅层理解层面上，解决问题停留在高度模仿阶段.如何尝试突破教学难点，帮助学生深刻理解概念和内涵，斯托利亚尔《数学教育学》中提出：“巩固性的原则要求学生长期地保持系统的知识、技能和技巧.如果对所学习的教材没有深刻的理解，仅仅靠死记，是不能实现这个原则的.”即使小学五、六年级的学生，直观仍是抽象知识学习的重要基础，学生仍需要在观察中培养形象思维，在计算中培养逻辑思维，依靠形状、颜色、声音和感觉来进行思维.苏霍姆林斯基说：“孩子的智慧在他的手指上.”基于学生在第一学段积累数形结合的涂色经验，第二学段教材内容安排六年级上册多面体表面涂色问题，以及平面区域涂色问题，教师尝试运用充分计算和有序涂色突破教学难点和认知障碍，帮助学生从计算中生成归纳推理的方法，从而让其深刻理解概念[1].
从儿童认知水平和经验出发，将“质数和合数”课堂教学删减练习和猜谜语环节，增补涂色研究环节，调整作业课为研究单交流课.四个研究单层层深入，根据计算结果采用有序涂色，直观观察1、质数、合数的分类，形成条理清晰的归纳推理方法，深刻理解1、质数、合数的概念.
【探究过程】
一、情境导入，激发学习兴趣，感受质数、合数的重要生活价值
数学学家们通过对质数和合数的不断研究，发现质数和合数可以给人们提供更加安全、高品质的生活：银行往往使用质因数加密法（研究课总结时首尾呼应质数的重要价值），质数除了被应用在密码学和军事上，还在我们身边的汽车变速箱齿轮的设计上发挥着重要的作用，为了最大化减少磨损，相邻连个齿轮的齿数都是质数……我们身边也有质数和合数的存在，我们班36人，隔壁班37人，参加运动会哪个班能排成方队？学生直观感受到，能不能排成方队和班级总人数的因数个数有关，质数、合数与因数的个数有关[2].
二、课中研究，初步形成概念的本质，踏实计算中生成归纳推理方法
2，3，5，6，8，9中，只有两个因数的有2，3，5（1和本身两个因数），有两个以上因数的有6，8，9（除了1和它本身还有别的因数）.概念引入：只有1和本身两个因数的数是质数（素数）.除了1和它本身还有别的因数的数叫合数.
1.1—20的质数和合数
核心问题：哪些数是质数？哪些数是合数？1是质数吗？1是合数吗？
在1—20表格中分类： “1”的因数只有1个，它既不是质数也不是合数; 2，3，5，7，11，13，17，19的因数都是1和它本身两个因数，它们是质数;4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20都有2个以上因数，它们是合数.
驱动问题：你怎么判断除了1的數是质数还是合数？
学生：我是一个数一个数地试着找它们的因数，发现只有2个因数的是2，3，5，7，11，13，17，19，它们是质数.
学生：我也是这样一个一个地找它们的因数，但我把奇数9，15误当成质数了.
放大问题，充分讨论：奇数 9，15为什么不是质数而是合数？
学生：9=3×3，9有3个因数，9是合数.15=3×5，15有4个因数，15是合数.
核心问题：质数、合数的分类标准和奇数、偶数的分类标准相同吗？
学生：不同，奇数、偶数是根据能不能整除以2，或者是不是2的倍数，看末尾数字就可以判断.质数、合数分类要看所要判断的数的因数的个数.
2.21—50的质数和合数
在1—50表格中分类，集合的增加使得学生产生学习归纳推理思想方法的需求，大多数学生主动采用排除2的倍数，3的倍数，5的倍数的思想方法，也有学生仍然根据表内乘法判断合数，教师提出驱动问题：数量变多了，怎样才能有序，不遗漏、不重复地找出质数和合数呢？
学生：我是先找除了2以外的2的倍数：4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30，32，34，36，38，40，42，44，46，48，50，因为它们有因数2，那么它们就是合数，我把它们划去;再找除了3以外的3的倍数：6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，它们有因数3，那么它们就是合数，我把它们划去;最后找除了5以外的5的倍数：10，15，20，25，30，35，40，45，50，它们有因数5，那么它们就是合数，遇到已经划去的合数可以不划.
学生：偶数都是合数（除2以外），奇数中有一部分数除了1和本身外，还有其他因数，这些奇数不是质数，是合数.
在多人、多次表达中深刻理解2的特殊性.教师详细示范：除了2以外的2的倍数涂绿色，除了3以外的3的倍数涂红色，除了5以外的5的倍数涂黄色，组织学生在下一张研究单上涂色操作.本次研究错误资源搜集：39=3×13，奇数39不是质数.课后作业是关注39的合数数感情况.教师设计课后研究单，布置独立研究任务，一一列举研究收获，准备研究交流课发言[3].
三、课后小研究，走进概念的本质，熟练归纳推理方法 1.在1—100表格中分类，学生将除了2以外的2的倍数涂绿色，除了3以外的3的倍数涂红色，除了5以外的5的倍数涂黄色……
学生：我不得不用新的颜色，因为出现了不是2，3，5的倍数的数，即49是7的7倍，77是7的11倍，91是7的13倍.100以内有25个质数没有颜色，它们是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97.
学生：我把小研究做好以后，将25个质数都涂成粉色，简洁明了.我把它们记在心里，解决问题时能帮助我加快速度和检验.
教师：你把整个研究的过程进行了进一步的归纳整理，并且在理解的基础上记忆，这是一个非常好的方法.
驱动问题：研究数字更多的情况下，会不会出现其他的倍数呢，是否需要涂新的颜色？课后研究驱动学生通过快速涂色，将推理方法熟练化、深刻化，在更大集合中感受质数、合数的本质.
2.在1—200表格中分类，学生采取涂色法排除2的倍数，3的倍数，5的倍数……的有序思考的方法，错误资源搜集：133是质数吗？
核心问题：怎么推理出它是质数还是合数？
学生：133不能整除2，3，5，能整除7，它是7的19倍，可以用7的倍数所用颜色涂好.
学生将排除合数和1后呈现同一种颜色的数字进行整理.在直观结果中感受归纳推理确定因数个数的普适性、通用价值.猜想没有进展，教师继续追问驱动问题：数字更多的情况下，会不会出现其他的倍数，需要涂新的颜色呢？根据我们收获的归纳推理方法可以帮助我们持之以恒地研究下去！
四、研究课交流，熟练归纳推理，深刻理解概念，产生新的猜想
研究共性收获交流：每50个数为一横行，100个数为一个数段，借助电子表格电子涂色或打印纸质表格手动涂色，除2外，2的倍数是合数;除3外，3的倍数是合数;除5外，5的倍数是合数;除7外，7的倍数是合数;除11外，11的倍数是合数……观察同种颜色的数字，发现除2以外的偶数都是合数，奇数中大多数是合数.
研究个性收获交流：
学生：给出一个大的奇数，很难判断它是质数还是合数，我们可以按照归纳推理，一步一步计算.比如，奇数中的187是质数还是合数？209是指数还是合数？323是质数还是合数？437是质数还是合数？
学生：187除以11等于17，209除以11等于19，323除以17等于19，437除以19等于23，这些数通过依次除以2，3，5，7，11……总能找到除1和本身以外的因数，从而是合数.
教师：根据2个质数的积，一步步找到原来的2个质数因数的步骤多，正因为如此，如果我们将很多互质数的积设定为密码，他人很难很快找出原来的那些数，电子技术同样难以破译，因此，质数在密码界赫赫有名.
学生：偶数除了2都是合数，因为它们都是2的倍数.奇数中的质数个位是1，3，7，9，但个位是1，3，7，9的奇数不一定是质数.
学生：每个数段奇偶数各一半，但质数比合数少很多，1—10000中有1229个质数，很多奇数也是合数.
学生：我猜想（除了3和2）大的质数与小的质数差都是偶数，不知道对不对？
学生：我找出最大的质数是691，我整理出 1—100共有25个质数，101—200共有21个质数，201—300共有16个质数，301—400共有16个质数，401—500共有17个质数，501—600共有14个质数……每一个数段的质数可能呈越来越少的趋势，不知道对不对？
学生：我来补充，虽然我只计算到200，但通过搜集材料发现：以1000个数为一个数段，质数个数也呈下降趋势，对前面同学新猜想有一些帮助.1—1000有168个质数，1000—2000有135个质数，2000—3000有127个质数……每一个數段的质数也是呈越来越少的趋势，对上一位同学的问题有帮助.
学生：我觉得偶数除了2都是合数，因为它们都是2的倍数.奇数中的质数个位是1，3，7，9，但个位是1，3，7，9的奇数不一定是质数.可以提醒我们有些奇数实际是合数，要踏实的逻辑计算，不能简单地当成质数.
教师：同学们，你们通过大量的计算，有序的涂色，认真的思考，对1、质数、合数的本质有了深刻的认识，并且熟练掌握了判断质数、合数的归纳推理方法，同时收获了一些有助于自己精准解决问题的小诀窍，并产生了新的猜想，归纳推理的方法可以帮助你继续研究下去，收获更多的惊喜.
【探究反思】
学生在层层推进的研究过程中，结合倍数的特征，采用自主探索、踏实计算、有序涂色，形成1、质数、合数表.从课堂到课后，持续培养归纳推理的思维，放大课堂研究过程中生成的错误资源，引领学生通过归纳推理走进核心概念，在交流课的平台，学生会呈现丰富的学习品质：善于观察、灵活创新、持之以恒.研究单设计注意点：围绕需要突破教学难点，基于培养归纳推理能力的目的，研究范围适当扩大但减少重复，适当加深但控制好难度，体现从有限至无限的思想方法.涂色注意点：学生在逻辑清晰的计算过程中，结合倍数关系的有序涂色，生成一张有颜色的质数表，在直观体验中得到归纳推理经验.涂色有利于儿童直观思维优势的发挥，但不能完全突破特殊数字的数感形成，再给学生一些课堂留白去感受一部分质数是合数的现象，理解找因数的归纳推理的过程.配套练习注意点：练习数量的减少使练习的诊断价值弱化，教师提前剔除价值薄弱的练习.鼓励学生独立、持续探究200以后的质数和合数，不能借助太多资料，数学结论不是数学本质本身.
经过情境引入后，教师引导学生对概念进行层层推进的探究，使学生对质数、合数的概念的理解得到提升，并有利于学生对质数、合数的概念问题的推理和思考.数学无处不在，看似抽象的质数、合数在生活中也无处不在，这一阶段的学生，在具体可见的熟悉的问题中，能更好地理解质数、合数的概念和含义.因此，在后续学习过程中，教师可以选择丰富的生活情境、具体的生活案例来进行教学，比如，班级人数是否可以排成表演方阵，花店如何搭配花束，教师分发的奖品总数究竟是多少.从而帮助学生将质数、合数的抽象概念和实际意义互相依存、协同发展.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]吴正宪，周卫红，陈凤伟.吴正宪课堂教学策略[M].上海：华东师范大学出版社，2013.
[3]王永春.小学数学与数学思想方法[M]. 上海：华东师范大学出版社，2014.