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五、巧用方程组
例5 若4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,xyz≠0,则 的值等于().
(A) - (B)-
(C)-15 (D)-13
分析:视z为已知数,那么已知两等式可转化为关于x、y的方程组. 这样处理能找到x与z、y与z之间的数量关系.
解:已知两等式可化为如下关于x、y的方程组
4x-3y=6z,x+2y=7z.
解之,x=3z, y=2z.
求式==-13.
六、巧用降次
例6 已知 x2+x-3=0,那么= .
分析:不难发现,x2可用x的代数式表示,若x3也可用x的代数式表示,将它们代入求式的分子中,分子的最高次数变为1.
解:由x2+x-3=0,得x2=3-x.
因为x≠0,
所以x3=3x-x2=3x-(3-x)=4x-3.
求式===-3.
七、巧用和差化积
例7 设a、b、c都为实数,abc≠0,a+b=c,则++的值为().
(A)-1 (B)1 (C)2 (D)不能确定
分析:直接通分计算非常麻烦,应考虑将求式的三个分子分别化为积的形式.
解:由a+b=c,得a=c-b.
所以 b2+c2-a2=b2+c2-(c-b)2=2bc.
同理c2+a2-b2=2ca, c2+a2-b2=-2ab.
求式=++=1.
八、巧用分式与整式的互化
例8 若a2-3a+1=0,则3a3-8a2+a+= .
分析:解答本题的关键在于将分式化为整式.
解:由a2-3a+1=0,得a2=3a-1, a2+1=3a, 1=3a-a2.
因为a≠0,
所以a3=3a2-a, =,=3-a.
求式=3(3a2-a)-8a2+a+=a2-2a+(3-a)=2.
例5 若4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,xyz≠0,则 的值等于().
(A) - (B)-
(C)-15 (D)-13
分析:视z为已知数,那么已知两等式可转化为关于x、y的方程组. 这样处理能找到x与z、y与z之间的数量关系.
解:已知两等式可化为如下关于x、y的方程组
4x-3y=6z,x+2y=7z.
解之,x=3z, y=2z.
求式==-13.
六、巧用降次
例6 已知 x2+x-3=0,那么= .
分析:不难发现,x2可用x的代数式表示,若x3也可用x的代数式表示,将它们代入求式的分子中,分子的最高次数变为1.
解:由x2+x-3=0,得x2=3-x.
因为x≠0,
所以x3=3x-x2=3x-(3-x)=4x-3.
求式===-3.
七、巧用和差化积
例7 设a、b、c都为实数,abc≠0,a+b=c,则++的值为().
(A)-1 (B)1 (C)2 (D)不能确定
分析:直接通分计算非常麻烦,应考虑将求式的三个分子分别化为积的形式.
解:由a+b=c,得a=c-b.
所以 b2+c2-a2=b2+c2-(c-b)2=2bc.
同理c2+a2-b2=2ca, c2+a2-b2=-2ab.
求式=++=1.
八、巧用分式与整式的互化
例8 若a2-3a+1=0,则3a3-8a2+a+= .
分析:解答本题的关键在于将分式化为整式.
解:由a2-3a+1=0,得a2=3a-1, a2+1=3a, 1=3a-a2.
因为a≠0,
所以a3=3a2-a, =,=3-a.
求式=3(3a2-a)-8a2+a+=a2-2a+(3-a)=2.