探析不等式的恒成立问题

• 作 者: 洪其强
• 出 处: 广东教育·高中
• 发表日期: 2016年2期
• 关键词: 不等式恒成立问题 数形结合思想 分类讨论思想 化归思想 高中数学 热点题型 解题策略 内容

　　含参不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以各种形式出现在高中数学的各部分内容中，扮演着重要的角色. 题目一般综合性强，可考查函数、不等式及导数等诸多方面的知识，同时兼顾考查转化化归思想、数形结合思想、分类讨论思想，是高考热点题型之一. 解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下几种策略：
　　（1）变换主元，转化为一次函数问题来解决恒成立问题
　　（2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题来解决恒成立问题
　　（3）转化为两个函数图像之间的关系，用数形结合来解决恒成立问题
　　（4）某区间上任意型的不等式恒成立问题
　　①对于区间D上的任意实数x，不等式f（x）> a恒成立， 等价于在区间D上f（x）min> a.
　　②对于区间D上的任意实数x，不等式f（x）< b恒成立，等价于在区间D上f（x）max< b.
　　③对于区间D上的任意实数x，不等式f（x）　　④对于任意实数x1∈D1，x2∈D2，不等式f（x1）　　（5）某区间上存在型的不等式恒成立问题
　　①存在x∈D使不等式f（x）>a恒成立，等价于在区间D上f（x）max> a.
　　②存在x∈D使不等式f（x）　　③存在x∈D使不等式f（x）　　④存在实数x1∈D1，x2∈D2，不等式f（x1）　　（6）某区间上综合任意型和存在型的不等式恒成立问题
　　①对于任意实数x1∈D1，存在实数x2∈D2，不等式f（x1）　　②对于任意实数x1∈D1，存在实数x2∈D2，不等式f（x1）>g（x2）恒成立，等价于f（x1）min > g（x2）min.
　　典例剖析
　　1. 变换主元，转化为一次函数问题来解决恒成立问题
　　首先确定题目中的主元，化归成初等函数求解. 此方法常适用于化为一次函数. 对于一次函数f（x）=kx b， x∈[m， n] 有：
　　f（x）>0恒成立？圳f（m）>0，f（n）>0，f（x）<0恒成立？圳f（m）<0，f（n）<0.
　　例1. 求使不等式x2 （a-6）x 9-3a>0，| a |≤1恒成立的x的取值范围.
　　解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式（x-3）a x2-6x 9 > 0. 令f（a）=（x-3）a x2-6x 9 . 因为f（a） > 0在| a |≤1时恒成立，所以：
　　（1）若x=3，则f（a）=0，不符合题意，应舍去.
　　（2）若x≠3，则由一次函数的单调性，可得f（-1）>0，f（1）>0，即x2-7x 12 >0，x2-5x 6 >0，
　　解得x<2或x>4.
　　点评：在含参不等式恒成立的问题中，参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系.本题已知参数a的取值范围，求x的取值范围，若能转换两者在问题中的地位，则关于x的不等式就立即转化为关于a 的不等式，问题便迎刃而解了.
　　点评：对于指定区间上的不等式的恒成立问题，通常要转化为函数的最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案.
　　总之，在解综合性较强的不等式恒成立问题时，要选择何种解法，应以题为本，关键抓住恒成立的本质，具体问题具体分析，灵活选择最行之有效的方法，而不要拘泥于一种方法.
　　责任编辑 徐国坚