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【摘要】函数极限的反问题是一类常见题型，可按照正常计算极限的方法逐步推出题目所要求的内容.LHospital法则也是求函数极限的方法之一.本文从归类着手，寻求解决此类问题的有效方法.
【关键词】函数极限；反问题；解法
一、函数极限的反问题
如果已知函数的极限值，而函数表达式中含有待定的常数，要求把待定常数定出来.我们把这类问题叫作极限的反问题.这类问题的解法，主要涉及对极限概念的理解.解这类题目的一般常用方法是：按正常计算极限的方法计算带有极限号的式子，然后根据这个式子等于的数，逐步推出题目所要求的内容.LHospital法则也是求函数极限的有效方法之一.如果函数式可转化为“00”或“∞∞”型，那么可以借助于LHospital法则运算，但是在运算过程中切记要符合LHospital法则的条件.
二、函数极限的反问题的几类解法
1极限式呈“00”型
例1 已知limx→1x2+ax+b1-x=5，试确定a，b的值.
解法1 函数极限存在且等于5，而极限式的分母的极限为0，应归属于“00”型，所以分子的极限也必须是0，即分子必能分解出(1-x)的因子.设x2+ax+b=(1-x)(m-x)，则limx→1x2+ax+b1-x=limx→1(1-x)(m-x)1-x=limx→1(m-x)=m-1=5，所以m=6，因此x2+ax+b=x2-7x+6，故求得a=-7，b=6.
解法2 极限式的分母的极限为0，应归属于“00”型，必有12+a•1+b=0，借助于LHospital法则，limx→1x2+ax+b1-x=limx→12x+a-1=-(2+a)=5，所以a=-7，b=6.
2极限式呈“∞∞”型
例2 已知limx→∞ax2+bx+12x-1=-3，求常数a，b的值.
解法1 函数极限为-3，而极限式的分子、分母的极限都不存在，应归属于“∞∞”型，我们知道，当a≠0，b≠0时，有limx→∞anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0=0，(m>n)，anbn，(m=n)，∞，(m 所以a=0，b2=-3，即a=0，b=-6.
解法2 极限式的分子、分母的极限都不存在，应归属于“∞∞”型，借助于LHospital法则，limx→∞ax2+bx+12x-1=limx→∞2ax+b2=b2，a=0，∞，a≠0，已知函数极限存在且等于-3，所以a=0，b2=-3，即a=0，b=-6.
3极限式呈“∞-∞”型
例3 已知limx→+∞(2x-ax2-x+1)=14，求a的值.
解 由函数极限为14，可知函数极限存在.极限式中的前一项趋向于+∞，应归属于“∞-∞”型，所以当x→+∞时，应有ax2-x+1→+∞，由此得出a>0.
通过分子有理化，转化为“∞∞”型，得
limx→+∞(2x-ax2-x+1)=limx→+∞(4-a)x2+x-12x+ax2-x+1.
要使上式极限存在，分子中x2的系数必须为0，也即4-a=0，故求得a=4.
例4 已知limx→2ax-2-12x3-8=12，试确定a的值.
解 因为函数极限存在且等于12，极限式中的前后项趋向于+∞，应归属于“∞-∞”型，应先通分，得limx→2ax-2-12x3-8=limx→2ax2+2ax+4a-12(x-2)(x2+2x+4)=12，转化为“00”型，分子必能分解出(x-2)的因子，可知a•22+2a•2+4a-12=0，所以a=1.
三、分段函数极限的反问题的解法
这类反问题的解法往往要根据函数在一点连续的必要充分条件，从这点的左极限、右极限入手，只需左、右极限存在且相等，并等于这点处的函数值即可.
例5 确定常数k，使函数f(x)=2x3+e3，x<0，k，x=0，(1+x)3x，x>0，在点x=0处连续.
解 因为limx→0-f(x)=limx→0-(2x3+e3)=e3，limx→0+f(x)=limx→0+(1+x)3x=e3，而f(0)=k，故当k=e3时，函数f(x)在点x=0处连续.
函数极限的反问题的解法还有不少，由于篇幅所限，我就不再一一阐述举例.总之，通过归类，给学生提供了函数极限的反问题的解题思路，有助于学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，从而培养他们良好的迁移意识.
备注 本文章是受湖南省教育厅基金资助项目（课题编号：11C0298）支持、湖南第一师范学院基金资助项目（课题编号：XYS11J24）支持.
【参考文献】
［1］湖南省教育厅组织编写.数学（第五册）［M］.长沙:湖南大学出版社，2010.
［2］高等数学（一）编写组.高等数学（一）［M］.北京:中央广播电视大学出版社，1997.
［3］罗增儒.数学解题学引论［M］.西安:陕西师范大学出版社，2008.
【关键词】函数极限；反问题；解法
一、函数极限的反问题
如果已知函数的极限值，而函数表达式中含有待定的常数，要求把待定常数定出来.我们把这类问题叫作极限的反问题.这类问题的解法，主要涉及对极限概念的理解.解这类题目的一般常用方法是：按正常计算极限的方法计算带有极限号的式子，然后根据这个式子等于的数，逐步推出题目所要求的内容.LHospital法则也是求函数极限的有效方法之一.如果函数式可转化为“00”或“∞∞”型，那么可以借助于LHospital法则运算，但是在运算过程中切记要符合LHospital法则的条件.
二、函数极限的反问题的几类解法
1极限式呈“00”型
例1 已知limx→1x2+ax+b1-x=5，试确定a，b的值.
解法1 函数极限存在且等于5，而极限式的分母的极限为0，应归属于“00”型，所以分子的极限也必须是0，即分子必能分解出(1-x)的因子.设x2+ax+b=(1-x)(m-x)，则limx→1x2+ax+b1-x=limx→1(1-x)(m-x)1-x=limx→1(m-x)=m-1=5，所以m=6，因此x2+ax+b=x2-7x+6，故求得a=-7，b=6.
解法2 极限式的分母的极限为0，应归属于“00”型，必有12+a•1+b=0，借助于LHospital法则，limx→1x2+ax+b1-x=limx→12x+a-1=-(2+a)=5，所以a=-7，b=6.
2极限式呈“∞∞”型
例2 已知limx→∞ax2+bx+12x-1=-3，求常数a，b的值.
解法1 函数极限为-3，而极限式的分子、分母的极限都不存在，应归属于“∞∞”型，我们知道，当a≠0，b≠0时，有limx→∞anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0=0，(m>n)，anbn，(m=n)，∞，(m
解法2 极限式的分子、分母的极限都不存在，应归属于“∞∞”型，借助于LHospital法则，limx→∞ax2+bx+12x-1=limx→∞2ax+b2=b2，a=0，∞，a≠0，已知函数极限存在且等于-3，所以a=0，b2=-3，即a=0，b=-6.
3极限式呈“∞-∞”型
例3 已知limx→+∞(2x-ax2-x+1)=14，求a的值.
解 由函数极限为14，可知函数极限存在.极限式中的前一项趋向于+∞，应归属于“∞-∞”型，所以当x→+∞时，应有ax2-x+1→+∞，由此得出a>0.
通过分子有理化，转化为“∞∞”型，得
limx→+∞(2x-ax2-x+1)=limx→+∞(4-a)x2+x-12x+ax2-x+1.
要使上式极限存在，分子中x2的系数必须为0，也即4-a=0，故求得a=4.
例4 已知limx→2ax-2-12x3-8=12，试确定a的值.
解 因为函数极限存在且等于12，极限式中的前后项趋向于+∞，应归属于“∞-∞”型，应先通分，得limx→2ax-2-12x3-8=limx→2ax2+2ax+4a-12(x-2)(x2+2x+4)=12，转化为“00”型，分子必能分解出(x-2)的因子，可知a•22+2a•2+4a-12=0，所以a=1.
三、分段函数极限的反问题的解法
这类反问题的解法往往要根据函数在一点连续的必要充分条件，从这点的左极限、右极限入手，只需左、右极限存在且相等，并等于这点处的函数值即可.
例5 确定常数k，使函数f(x)=2x3+e3，x<0，k，x=0，(1+x)3x，x>0，在点x=0处连续.
解 因为limx→0-f(x)=limx→0-(2x3+e3)=e3，limx→0+f(x)=limx→0+(1+x)3x=e3，而f(0)=k，故当k=e3时，函数f(x)在点x=0处连续.
函数极限的反问题的解法还有不少，由于篇幅所限，我就不再一一阐述举例.总之，通过归类，给学生提供了函数极限的反问题的解题思路，有助于学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，从而培养他们良好的迁移意识.
备注 本文章是受湖南省教育厅基金资助项目（课题编号：11C0298）支持、湖南第一师范学院基金资助项目（课题编号：XYS11J24）支持.
【参考文献】
［1］湖南省教育厅组织编写.数学（第五册）［M］.长沙:湖南大学出版社，2010.
［2］高等数学（一）编写组.高等数学（一）［M］.北京:中央广播电视大学出版社，1997.
［3］罗增儒.数学解题学引论［M］.西安:陕西师范大学出版社，2008.