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摘要：关于互斥与独立事件经常有一些模糊的概念和提法。本文分别对两个概念在判断中的问题，在应用情况表述中的问题，推广中的问题及在多次试验中的联系等问题提出自己的观点。并对教学提出建议。
关键词：互斥与独立事件； 彼此独立
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1671-864X（2014）09-0101-02
关于互斥与独立事件的相关文章有许多，其中有些概念或提法有些模糊。希望在本文中做些分析。
一、概念判断问题
互斥概念清晰明确，这里不再赘述。一般只要判断两事件的关系即可。
对于独立事件的概念的定义有如下几种提法：（1）指事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。又可表述为：在同一试验下的两个事件，如果一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。（见中学数学教材（人教版）。在下文中称此定义为定义1。（2）当时，，称事件B独立于事件A。此时当时，可推，称事件A独立于事件B。即当事件A与B满足，时，若，称事件A与B相互独立。在下文中称此定义为定义2。（3）事件A与B相互独立的一个充要条件是。在下文中称此定义为定义3。说明：对于概率大于零的事件，定义2、3等价。且需要通过计算来判断事件的独立性。定义2不能用于概率为零的事件。
问题1：如何判断两个事件是否相互独立？
（1）当利用已知或经验能够用定义1判断事件的独立性时，可由实际意义或题目说明。此法应用广范。毋庸置疑，否则易陷入循环论证的矛盾中。
例如：某射手进行设计练习，设其击中目标的概率为p，考虑2次射击，求连中两枪的概率。
解：由实际意义，我们一般把各次击中看作相互独立事件，故解为。
（2）当不能利用已知或经验用定义1判断时，不能轻易判断两个事件独立与否。用定义2或3判断事件的独立性时，会出现很多我们事先无法直觉判断的情况。举例如下：
ⅰ、同一类事件可能独立，也可能不独立。
例如：袋中有4张相同的卡片，分别标有1、2、3、4，从中任取一张。设事件A=“取到1或2”，B=“取到1或3”，C=“取到1、2或3”，D=“取到2、3或4”，讨论A与B、C与D的独立性。
解：，。即事件相A、B相互独立。
而，。即事件相C、D不独立
用定义3来判断也一样。
ⅱ、同样两个事件，在不同的试验下，可能独立，也可能不独立。
例如：在有两个孩子的家庭中，假设生男孩和生女孩是等可能的。设A表示“一个家庭既有男孩又有女孩”，B表示“一个家庭至多有一个女孩”，讨论A与B的独立性。
解：对两个孩子的家庭来说样本空间
={（男、男），（男、女），（女、男），（女、女）}
A={（男、女），（女、男）}
B={（男、男），（男、女），（女、男）}
所以AB={（男、女），（女、男）}
显然有，，而。所以
事件A、B相互不独立。
若将上例改为三个孩子的家庭，做同样的讨论。
解：对三个孩子的家庭来说样本空间
={（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男），（女、女、男），（女、男、女），（男、女、女），（女、女、女）}
A={（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男），（女、女、男），（女、男、女），（男、女、女），}
B={（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）}
所以AB={（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）}
显然有，，，
事件A、B相互独立。
由以上的讨论可知，在对独立性的判断上，可用定义1判断的不必再作其它判断。如文①（ 概率计算中乘法问题的商榷 马恩林 连四清 数学通报2007年 第8期）中例1。而不能用定义1判断的则不能按经验推理。此时对每两个事件的独立性判断必须经过计算来判断。
二、两个概念在应用情况表述中的问题
关于两个概念的关系有如下的一些提法：
文②（比较研究，相互独立事件教学的有效举措 马林 数学通报2008年 第4期）认为两者应用不同，互斥指一次试验中的不同事件，而独立指两次或多次不同试验下出现的不同事件。
问题2：上述说法正确吗？正确的说法是什么？
本人认为上述说法不正确，反例如下：
（1）多次试验中可有互斥事件。
例 现有10张分别写有1至10数字的卡片.现从中依次取出两张.观察取出卡片的数字.设事件A=“第一次取得1号卡片”，B=“第二次取得1号卡片”.
解： 事件A=“第一次取得1号卡片”={12，13，14，…110}，
B=“第二次取得1号卡片” ={21，31，41，…101}.
显然，事件A、B互斥。
（2）一次试验中的两个事件也可独立。
例 现有10张分别写有1至10数字的卡片.现从中任意取出一张.观察取出卡片的数字.设事件A=“取得1或2号卡片”，B=“取得偶数号卡片”.
解：B=“取得偶数号卡片”=“取得2、4、6、8或10号卡片”.
则，P（A）==，，，即事件A、相互独立。
由以上的讨论可知，两个互斥或独立的事件即可以是同一试验中的不同事件，也可以是两次或多次不同试验下出现的不同事件。
三、两个概念在推广中的问题 我们已经知道，几个事件两两互斥则定义为彼此互斥。因此两两互斥则彼此互斥。反之亦然。而独立则不同。彼此独立则两两独立，而两两独立不能推出彼此独立。反例很多，不再赘述。
问题3： 上述结论有例外吗？
文③（浅析事件的互不相容与相互独立 刘琳 数学通报2006年 第8期）中有如下例题
例 n对夫妇任意的排成一列，求每一个丈夫都排在他的妻子后面的概率。
此题可用古典概率求解，但解法较繁琐。
此题另可应用事件间的独立关系来求解，解法如下：
以A记事件第i对夫妇丈夫排在妻子的后面，则P（A）=，
进一步假设是相互独立的，即默认每对夫妇都是独立的，因而可得：P（）=.
显然，上例应用了多个事件相互独立的概念。那么何时能够应用呢？
高中教材中（人教版）对于相互独立概念的定义是，指事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。又可表述为：在同一试验下的两个事件，如果一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。（见中学数学教材（人教版）。
中学教材（人教版）中对n个事件互斥的定义为：如果事件中的任何两个都是互斥事件，此时即称事件 彼此互斥。即承认只要由两两互斥即可推出彼此互斥。而对于n个事件相互独立的概念，只是定义两个事件独立的概念（事件发生的概率彼此没有影响），并不提及条件概率的定义，并由此直接应用n个事件相互独立的概念。
实际上，对于概率大于零的事件，用中学教材中的独立定义（我们在前文将其称为定义1）所得的事件间的独立，我们不妨称为绝对独立。用其它定义（我们在前文将其称为定义2、3）所推出的独立我们不妨称为相对独立。显然，两个事件绝对独立一定相对独立。反之不成立。而且对于绝对独立的事件只要两两独立一定相互独立。这一条显然成立不需要证明。而这一条也是应用的重要依据，可用来解很多较为复杂的题，如上例。而相对独立事件不存在这样的性质。
四、两个概念在多次试验中的联系问题
如上所述文②（比较研究，相互独立事件教学的有效举措 马林 数学通报2008年 第4期）认为两者应用不同，互斥指一次试验中的不同事件，而独立指两次或多次不同试验下出现的不同事件。此说法不妥上文已指出。文④（浅谈独立事件 许景彦 石家庄职业技术学院学报 2002年6月）认为：对于分别来自n次试验的事件，一定两两独立且相互独立。此种提法正确吗？由此我们得到如下的问题。
问题4：一次试验中的两个事件，在多次试验有怎样的关系？
（1）一次试验中的两个事件，即使是互斥的关系，在多次试验中也不一定是相互独立的。
例如：一个盒子里放有3个红球，4个黄球，现从中依次取出两个球。事件A：第一次摸出的是红球；事件B：第二次摸出的是黄球，显然有：事件A、B并不相互独立。
（2）一次试验中的任何两个事件，即使非互斥的关系，在多次独立重复试验中的不同次试验中一定是相互独立的。
例如：一个盒子里放有3个红球，4个黄球，6个绿球。现从中每次取出一个球，取后放回，连取4次。事件A：第一次摸出的是红球；事件B：第四摸出的不是绿球，显然有：事件A、B相互独立。
显然，对于不是来自同一次试验的两个事件不一定是相互独立的，更无法判断其两两独立一定相互独立。因而，关键不是是否来自几次试验，关键是是否来自几次不同的独立重复试验。而且对于来自几次不同的独立重复试验的事件，两两独立且相互独立。
五、教学中的建议
可见两个概念既有相同又有不同，同时还有联系。简单总结如下：
相同点：同样是描述两个事件间的关系；都可以是指在同一次试验中，也都可以指多次试验中的不同事件。
不同点：定义不同；判断方法不同；推广条件不同；一个多应用在事件加的概率计算中，一个多应用在事件乘的概率计算中。
针对概率大于零的事件，“绝对独立”的事件间两两独立即相互独立。而“相对独立”的事件不具有这样的性质。而且对于来自几次不同的独立重复试验的事件，两两独立一定相互独立。而对于不是来自几次不同的独立重复试验的事件间不一定具有这样的性质。
在教学中需要注意两个概念的异同，避免出现错误概念。同时还要在比较和应用中加强两个概念的理解和应用能力。
事件独立的定义和判断显然更为复杂。故本文针对概率大于零的事件提出了“绝对独立”与“相对独立”的概念，以避免不必要的混乱。在数学教学中宜更多应用“绝对独立”概念（不一定提出此名词），但对“相对独立”概念应以举例说明为宜。互斥与独立的区别与联系也较为复杂，教学中可根据情况注意比较、渗透，帮助学生建立正确清晰的知识脉络，培养学生的能力。
参考文献：
[1]马恩林.连四清 概率计算中概率乘法问题的商榷[J].数学通报，2007年，第8 期.
[2]马林.比较研究，相互独立事件教学的有效举措[J]. 数学通报2008年，第4期.
[3]刘琳.浅析事件的互不相容与相互独立[J]. 数学通报2006年 第8期.
[4]许景彦.浅谈独立事件[J]. 石家庄职业技术学院学报 2002年6月.
[5]金天寿.对事件独立性的再认识[J]. 数学通报2012年，第3期.
[6]人民教育出版社中学数学室编著.全日制不同高级中学教科书数学[M].北京：人民教育出版社，2004.
作者简介：左峰辉（1963-），女，北京电子科技职业技术学院数学教师，主要研究方向：数学教育。
关键词：互斥与独立事件； 彼此独立
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1671-864X（2014）09-0101-02
关于互斥与独立事件的相关文章有许多，其中有些概念或提法有些模糊。希望在本文中做些分析。
一、概念判断问题
互斥概念清晰明确，这里不再赘述。一般只要判断两事件的关系即可。
对于独立事件的概念的定义有如下几种提法：（1）指事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。又可表述为：在同一试验下的两个事件，如果一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。（见中学数学教材（人教版）。在下文中称此定义为定义1。（2）当时，，称事件B独立于事件A。此时当时，可推，称事件A独立于事件B。即当事件A与B满足，时，若，称事件A与B相互独立。在下文中称此定义为定义2。（3）事件A与B相互独立的一个充要条件是。在下文中称此定义为定义3。说明：对于概率大于零的事件，定义2、3等价。且需要通过计算来判断事件的独立性。定义2不能用于概率为零的事件。
问题1：如何判断两个事件是否相互独立？
（1）当利用已知或经验能够用定义1判断事件的独立性时，可由实际意义或题目说明。此法应用广范。毋庸置疑，否则易陷入循环论证的矛盾中。
例如：某射手进行设计练习，设其击中目标的概率为p，考虑2次射击，求连中两枪的概率。
解：由实际意义，我们一般把各次击中看作相互独立事件，故解为。
（2）当不能利用已知或经验用定义1判断时，不能轻易判断两个事件独立与否。用定义2或3判断事件的独立性时，会出现很多我们事先无法直觉判断的情况。举例如下：
ⅰ、同一类事件可能独立，也可能不独立。
例如：袋中有4张相同的卡片，分别标有1、2、3、4，从中任取一张。设事件A=“取到1或2”，B=“取到1或3”，C=“取到1、2或3”，D=“取到2、3或4”，讨论A与B、C与D的独立性。
解：，。即事件相A、B相互独立。
而，。即事件相C、D不独立
用定义3来判断也一样。
ⅱ、同样两个事件，在不同的试验下，可能独立，也可能不独立。
例如：在有两个孩子的家庭中，假设生男孩和生女孩是等可能的。设A表示“一个家庭既有男孩又有女孩”，B表示“一个家庭至多有一个女孩”，讨论A与B的独立性。
解：对两个孩子的家庭来说样本空间
={（男、男），（男、女），（女、男），（女、女）}
A={（男、女），（女、男）}
B={（男、男），（男、女），（女、男）}
所以AB={（男、女），（女、男）}
显然有，，而。所以
事件A、B相互不独立。
若将上例改为三个孩子的家庭，做同样的讨论。
解：对三个孩子的家庭来说样本空间
={（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男），（女、女、男），（女、男、女），（男、女、女），（女、女、女）}
A={（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男），（女、女、男），（女、男、女），（男、女、女），}
B={（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）}
所以AB={（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）}
显然有，，，
事件A、B相互独立。
由以上的讨论可知，在对独立性的判断上，可用定义1判断的不必再作其它判断。如文①（ 概率计算中乘法问题的商榷 马恩林 连四清 数学通报2007年 第8期）中例1。而不能用定义1判断的则不能按经验推理。此时对每两个事件的独立性判断必须经过计算来判断。
二、两个概念在应用情况表述中的问题
关于两个概念的关系有如下的一些提法：
文②（比较研究，相互独立事件教学的有效举措 马林 数学通报2008年 第4期）认为两者应用不同，互斥指一次试验中的不同事件，而独立指两次或多次不同试验下出现的不同事件。
问题2：上述说法正确吗？正确的说法是什么？
本人认为上述说法不正确，反例如下：
（1）多次试验中可有互斥事件。
例 现有10张分别写有1至10数字的卡片.现从中依次取出两张.观察取出卡片的数字.设事件A=“第一次取得1号卡片”，B=“第二次取得1号卡片”.
解： 事件A=“第一次取得1号卡片”={12，13，14，…110}，
B=“第二次取得1号卡片” ={21，31，41，…101}.
显然，事件A、B互斥。
（2）一次试验中的两个事件也可独立。
例 现有10张分别写有1至10数字的卡片.现从中任意取出一张.观察取出卡片的数字.设事件A=“取得1或2号卡片”，B=“取得偶数号卡片”.
解：B=“取得偶数号卡片”=“取得2、4、6、8或10号卡片”.
则，P（A）==，，，即事件A、相互独立。
由以上的讨论可知，两个互斥或独立的事件即可以是同一试验中的不同事件，也可以是两次或多次不同试验下出现的不同事件。
三、两个概念在推广中的问题 我们已经知道，几个事件两两互斥则定义为彼此互斥。因此两两互斥则彼此互斥。反之亦然。而独立则不同。彼此独立则两两独立，而两两独立不能推出彼此独立。反例很多，不再赘述。
问题3： 上述结论有例外吗？
文③（浅析事件的互不相容与相互独立 刘琳 数学通报2006年 第8期）中有如下例题
例 n对夫妇任意的排成一列，求每一个丈夫都排在他的妻子后面的概率。
此题可用古典概率求解，但解法较繁琐。
此题另可应用事件间的独立关系来求解，解法如下：
以A记事件第i对夫妇丈夫排在妻子的后面，则P（A）=，
进一步假设是相互独立的，即默认每对夫妇都是独立的，因而可得：P（）=.
显然，上例应用了多个事件相互独立的概念。那么何时能够应用呢？
高中教材中（人教版）对于相互独立概念的定义是，指事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。又可表述为：在同一试验下的两个事件，如果一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。（见中学数学教材（人教版）。
中学教材（人教版）中对n个事件互斥的定义为：如果事件中的任何两个都是互斥事件，此时即称事件 彼此互斥。即承认只要由两两互斥即可推出彼此互斥。而对于n个事件相互独立的概念，只是定义两个事件独立的概念（事件发生的概率彼此没有影响），并不提及条件概率的定义，并由此直接应用n个事件相互独立的概念。
实际上，对于概率大于零的事件，用中学教材中的独立定义（我们在前文将其称为定义1）所得的事件间的独立，我们不妨称为绝对独立。用其它定义（我们在前文将其称为定义2、3）所推出的独立我们不妨称为相对独立。显然，两个事件绝对独立一定相对独立。反之不成立。而且对于绝对独立的事件只要两两独立一定相互独立。这一条显然成立不需要证明。而这一条也是应用的重要依据，可用来解很多较为复杂的题，如上例。而相对独立事件不存在这样的性质。
四、两个概念在多次试验中的联系问题
如上所述文②（比较研究，相互独立事件教学的有效举措 马林 数学通报2008年 第4期）认为两者应用不同，互斥指一次试验中的不同事件，而独立指两次或多次不同试验下出现的不同事件。此说法不妥上文已指出。文④（浅谈独立事件 许景彦 石家庄职业技术学院学报 2002年6月）认为：对于分别来自n次试验的事件，一定两两独立且相互独立。此种提法正确吗？由此我们得到如下的问题。
问题4：一次试验中的两个事件，在多次试验有怎样的关系？
（1）一次试验中的两个事件，即使是互斥的关系，在多次试验中也不一定是相互独立的。
例如：一个盒子里放有3个红球，4个黄球，现从中依次取出两个球。事件A：第一次摸出的是红球；事件B：第二次摸出的是黄球，显然有：事件A、B并不相互独立。
（2）一次试验中的任何两个事件，即使非互斥的关系，在多次独立重复试验中的不同次试验中一定是相互独立的。
例如：一个盒子里放有3个红球，4个黄球，6个绿球。现从中每次取出一个球，取后放回，连取4次。事件A：第一次摸出的是红球；事件B：第四摸出的不是绿球，显然有：事件A、B相互独立。
显然，对于不是来自同一次试验的两个事件不一定是相互独立的，更无法判断其两两独立一定相互独立。因而，关键不是是否来自几次试验，关键是是否来自几次不同的独立重复试验。而且对于来自几次不同的独立重复试验的事件，两两独立且相互独立。
五、教学中的建议
可见两个概念既有相同又有不同，同时还有联系。简单总结如下：
相同点：同样是描述两个事件间的关系；都可以是指在同一次试验中，也都可以指多次试验中的不同事件。
不同点：定义不同；判断方法不同；推广条件不同；一个多应用在事件加的概率计算中，一个多应用在事件乘的概率计算中。
针对概率大于零的事件，“绝对独立”的事件间两两独立即相互独立。而“相对独立”的事件不具有这样的性质。而且对于来自几次不同的独立重复试验的事件，两两独立一定相互独立。而对于不是来自几次不同的独立重复试验的事件间不一定具有这样的性质。
在教学中需要注意两个概念的异同，避免出现错误概念。同时还要在比较和应用中加强两个概念的理解和应用能力。
事件独立的定义和判断显然更为复杂。故本文针对概率大于零的事件提出了“绝对独立”与“相对独立”的概念，以避免不必要的混乱。在数学教学中宜更多应用“绝对独立”概念（不一定提出此名词），但对“相对独立”概念应以举例说明为宜。互斥与独立的区别与联系也较为复杂，教学中可根据情况注意比较、渗透，帮助学生建立正确清晰的知识脉络，培养学生的能力。
参考文献：
[1]马恩林.连四清 概率计算中概率乘法问题的商榷[J].数学通报，2007年，第8 期.
[2]马林.比较研究，相互独立事件教学的有效举措[J]. 数学通报2008年，第4期.
[3]刘琳.浅析事件的互不相容与相互独立[J]. 数学通报2006年 第8期.
[4]许景彦.浅谈独立事件[J]. 石家庄职业技术学院学报 2002年6月.
[5]金天寿.对事件独立性的再认识[J]. 数学通报2012年，第3期.
[6]人民教育出版社中学数学室编著.全日制不同高级中学教科书数学[M].北京：人民教育出版社，2004.
作者简介：左峰辉（1963-），女，北京电子科技职业技术学院数学教师，主要研究方向：数学教育。