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数学思想，是人们对所学数学知识的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些普遍存在的规律.数学思想方法是数学的灵魂，它反映在数学教学内容里面，体现在解决问题的过程之中，它是将知识转化为能力的桥梁.只有运用数学思想方法，才能把数学知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力.
一、分类讨论的思想
在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的异同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，从而达到解决整个问题的目的的思想方法，称为分类讨论的思想.分类讨论本质上是“化整为零，积零为整”的解题策略.
引起分类讨论的原因，通常有以下几种：①涉及的数学概念是分类定义的（如|x|的定义，P点分线段的比等）；②公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制；③几何图形中点、线、面的相对位置不确定；④求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；⑤数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果.
分类讨论的一般步骤是：（1）确定讨论对象和确定研究的全域；（2）进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果.分类时，应不重复，不遗漏；（3）逐类讨论；（4）归纳小结，整合得出结论.
例1 设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和Sn＞0（n=1，2，3，…）.
（1）求q的取值范围；
（2）设bn=an+2-32an+1，｛bn｝的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小.
解 （1）∵｛an｝是等比数列，Sn＞0，可得a1=S1＞0，q≠0.
当q=1时，Sn=na1＞0；
当q≠1时，Sn=a1(1-qn)1-q＞0，
即1-qn1-q＞0（n=1，2，3，…）.
则有1-q>0，1-qn>0，①或1-q<0，1-qn<0.②
由②，得q＞1.由①，得-1 故q的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）.
（2）由bn=an+2-32an+1=anq2-32q，
∴Tn=q2-32qSn.
于是Tn-Sn=Snq2-32q-1=Snq+12（q-2）.
又 Sn＞0且-1 则当-1 当-12 当q=-12或q=2时，Tn-Sn=0，即Tn=Sn.
点评 考查数列基本知识，考查分析问题能力和推理能力，重点考查了分类讨论的思想.
二、数形结合的思想
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.
数形结合思想的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相适用的几何图形并利用图形的特征和规律，解决数的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或消除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论.其本质是：使抽象的数与直观的图互相联系、互相渗透、互相转化，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，从而优化解题途径.
基本方法：（1）数量关系问题转化为图形性质问题.（2）图形性质问题转化为数量关系问题.（3）数量关系与图形性质相互对照、相互渗透实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.
三、特殊与一般的思想方法
由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一.数学研究也不例外，这种由特殊到一般、由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程就是数学研究中特殊与一般的思想.
由特殊到一般的思想的运用水平，能反映出考生的数学素养和一般能力，所以考查特殊与一般的思想在高考中占有重要位置.在高考中，有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题，突出体现了特殊化方法的意义与作用.如通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解决一般问题、抽象问题、运动变化问题、不确定问题.
例2 （2007年江苏常州市）如果函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-π8对称，那么a=.
解 ∵函数f(x)=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-π8对称，则f(x)=f-π4-x，
即sin2x+acos2x=sin2-π4-x+acos2-π4-x，
得sin2x+acos2x=-cos2x-asin2x恒成立.
∴（1+a）(sin2x+cos2x)=0恒成立.
则必有1+a=0，∴a=-1.
点评 本题主要考查三角函数的对称性问题，若函数f（x)的图像关于直线x=a对称，则恒有f(x)=f(2a-x)成立，但作为填空题，可以取特值进行运算.特殊与一般的思想方法是广泛适用的一种重要的数学思想方法，对于一般性问题、抽象问题、运动变化问题和不确定问题都可考虑运用特殊与一般的思想方法去探求解题途径.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、分类讨论的思想
在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的异同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，从而达到解决整个问题的目的的思想方法，称为分类讨论的思想.分类讨论本质上是“化整为零，积零为整”的解题策略.
引起分类讨论的原因，通常有以下几种：①涉及的数学概念是分类定义的（如|x|的定义，P点分线段的比等）；②公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制；③几何图形中点、线、面的相对位置不确定；④求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；⑤数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果.
分类讨论的一般步骤是：（1）确定讨论对象和确定研究的全域；（2）进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果.分类时，应不重复，不遗漏；（3）逐类讨论；（4）归纳小结，整合得出结论.
例1 设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和Sn＞0（n=1，2，3，…）.
（1）求q的取值范围；
（2）设bn=an+2-32an+1，｛bn｝的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小.
解 （1）∵｛an｝是等比数列，Sn＞0，可得a1=S1＞0，q≠0.
当q=1时，Sn=na1＞0；
当q≠1时，Sn=a1(1-qn)1-q＞0，
即1-qn1-q＞0（n=1，2，3，…）.
则有1-q>0，1-qn>0，①或1-q<0，1-qn<0.②
由②，得q＞1.由①，得-1
（2）由bn=an+2-32an+1=anq2-32q，
∴Tn=q2-32qSn.
于是Tn-Sn=Snq2-32q-1=Snq+12（q-2）.
又 Sn＞0且-1
点评 考查数列基本知识，考查分析问题能力和推理能力，重点考查了分类讨论的思想.
二、数形结合的思想
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.
数形结合思想的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相适用的几何图形并利用图形的特征和规律，解决数的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或消除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论.其本质是：使抽象的数与直观的图互相联系、互相渗透、互相转化，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，从而优化解题途径.
基本方法：（1）数量关系问题转化为图形性质问题.（2）图形性质问题转化为数量关系问题.（3）数量关系与图形性质相互对照、相互渗透实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.
三、特殊与一般的思想方法
由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一.数学研究也不例外，这种由特殊到一般、由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程就是数学研究中特殊与一般的思想.
由特殊到一般的思想的运用水平，能反映出考生的数学素养和一般能力，所以考查特殊与一般的思想在高考中占有重要位置.在高考中，有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题，突出体现了特殊化方法的意义与作用.如通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解决一般问题、抽象问题、运动变化问题、不确定问题.
例2 （2007年江苏常州市）如果函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-π8对称，那么a=.
解 ∵函数f(x)=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-π8对称，则f(x)=f-π4-x，
即sin2x+acos2x=sin2-π4-x+acos2-π4-x，
得sin2x+acos2x=-cos2x-asin2x恒成立.
∴（1+a）(sin2x+cos2x)=0恒成立.
则必有1+a=0，∴a=-1.
点评 本题主要考查三角函数的对称性问题，若函数f（x)的图像关于直线x=a对称，则恒有f(x)=f(2a-x)成立，但作为填空题，可以取特值进行运算.特殊与一般的思想方法是广泛适用的一种重要的数学思想方法，对于一般性问题、抽象问题、运动变化问题和不确定问题都可考虑运用特殊与一般的思想方法去探求解题途径.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文