判定平行四边形的思路

• 作 者: 王保全
• 出 处: 中学生数理化·八年级数学人教版
• 发表日期: 2020年8期

　　如何根据平行四边形的判定条件判定一个四边形是平行四边形，是“平行四边形”一章的重点.判定一个四边形是平行四边形大致上有五种方法，这五种判定方法可以划分为三类.
　　1.与四边形的对边有关
　　（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形：
　　（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形：
　　（3） -组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
　　2.与四边形的对角有关
　　（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
　　3.与四边形的对角线有关
　　（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形，
　　不难看出，要判定一个四边形是平行四边形，可以依据不同的题设条件，选择不同的判定方法.通常，我们都从以下三个方面人手.
　　—、从对边上
　　如果在对边上有已知条件，或者已知条件和对边有密切联系，常考虑使用（1）或（2）或（3）.
　　例1 如图1所示，在oABCD中，E，F分别是AB，CD上的点.BF平分∠ABC交CD于F，DE平分∠CDA交AB干E.M，N分别是DE，BF的中点.求证：四边形ENFM是平行四边形，
　　解析：由已知条件知△ADE和△CBF都是等腰三角形，从而DF=BE.又因为四边形ABCD是平行四边形，则有DF//BE，因此可知四边形DEBF是平行四边形.根据平行四边形的性质可知DE=BF，DE //BF.又因为M，N分趴是DE，BF的中点，则有ME=NF.于是根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可知四边形ENFM是平行四边形.
　　点评：上面用的是“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理.也可用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”去证.此时要在证明四边形DEBF是平行四边形的基础上，继续证明△DMF≌△BNE.
　　二 从对角上
　　如果在对角上有已知条件，或者已知条件和对角有密切联系，常考虑使用（4）.
　　例2如图2所示，在◇ABCD中，若AE.CF分别是∠BAD和∠DCB的平分线，四边形AFCE是平行四边形吗？如果是，请说明理由.
　　解析：解题的关键，是设法根据已知条件和三角形外角定理证明该四边形的两组对角分别相等.
　　∵四边形ABCD是平行四边形，
　　∴ ∠B=∠D， ∠BAD= ∠DCB.
　　又AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
　　∴ ∠4=∠3=∠2=∠1.
　　又∠AEC=∠B ∠3，∠A FC=∠D ∠1，
　　∴ ∠AEC=∠AFC.
　　∴ 四边形AFCE是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）.
　　點评：如果题目中的已知条件与角有关，那么我们要充分利用这些条件，尽量考虑用“对角相等的四边形是平行四边形”的判定定理，
　　三、 从对角线上
　　如果在对角线上有已知条件，或者已知条件和对角线有密切联系，应优先考虑使用（5）.
　　例3 如图3所示，在oABCD中，对角线AC与BD交于点O.点E.F分别是AO.CO的中点，求证：四边形BEDF是平行四边形.
　　解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
　　∴ AO=CO.BO=DO.
　　又∵E，F分别是AO，CO的中点，
　　∴ EO=FO.
　　∴ 四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
　　点评：此题中的已知条件与对角线有关，故可从平行四边形的对角线的性质入手，联系对角线的特点判定平行四边形.
　　练习 1.在四边形ABCD中，对角线AC.肋相交于点O.现给出下列四组条件：
　　①AB//CD，AD//BC;
　　②AB=CD，AD=BC;
　　③AO=CO，BO=DO;
　　④AB//CD，AD=BC.
　　其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（