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摘 要：本文就初中数学教学中培养学生探究能力的实践从六个方面进行了阐述，使学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能以及数学思想，获得广泛的数学活动经验，从而提高学生的探究能力。
关键词：初中数学；探究性问题；探究性学习；探究能力
探究性学习以学生为中心，以培养学生的整体素质为目标，其教学方法也从静态的传授转变到动态的科学研究和自我学习。笔者在教学活动中做了一些这方面的工作，这里谈几点自己的做法。
一、将典型题演变、引申，引导学生联想、探究
一个问题的解决，并不是问题的终了，而应该通过问题的演变、引申，拓宽思路，让学生在积极的探究中获得知识、发展思维。在教学中，我们要抓住时机，引导学生从典型题出发，善于想象，从不同的角度思考问题，经过适当的改造和变形，采用演绎、类比、推广、演变等方法，帮助学生学会发现问题、提出问题并解决问题。所谓陈题，就是已经解决了的例题、习题和考题。
在“相似三角形”的教学中，有这样一个问题：“如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=3，AB=7，∠A=90°，在AB上有一点P，使△ADP∽△PBC，求AP长。”
学生通过相似三角形对应边成比例得到：
=或=，解得x=2.8或1或6。
由此可以引导学生产生一个递进式的探究性问题链。
探究一：原题中，你能否用定性的尺规作图的方法找到一点P，使△ADP∽△PBC。
情形甲：只要使∠APD=∠BPC，学生经过讨论思考也许仍难以解决P点的位置问题，此时教师可引导学生从光学的角度（光线的镜面反射）去解决问题。
大家议论纷纷，终于发现：其实就是从D点发出的光线经过平面镜AB的反射后通过C点，把它的光路图画出来即可。到此我已经让学生从定量和定性两种不同的角度去思考问题，让学生体会到数形结合思想的美妙无比。然后我又趁热打铁问：如果把原题中的数2，3作一个改变，这个P点还唯一存在吗？”“学生很快地从定量和定性两种不同的角度解决了这个问题。
情形乙：只要使∠APD=∠BCP，也就是使∠DPC=90°，学生经过一番思考就发现：应该以CD为直径画圆与AB的交点即为P点。紧接着组织学生自行对问题进行引申和探究（象情形甲后来那样）。
探究二：原题中，把“AB=7”改为“AB=a”，试研究P点的存在性与a的相关性。
情形甲：由=可得x=a可知x总有唯一解，也就是甲类P点总唯一存在。
情形乙：由=可得x2-ax+6=0，进而Δ=a2-24。
∴当a>2时，x有两解，也就是乙类P点总存在两个；当a=2时，x有唯一解，即乙类P点唯一存在；当a<2时，x无解，即乙类P点不存在。
探究三：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=3， AB=a，∠A=90°，在AB上有一点P，PD、PC，把梯形分成三个三角形，若有其中一对三角形相似，试研究P点的存在性与a的相关性。（甲乙两种情形不再赘述，对∠DPC=90°的情形暂不作讨论）
情形丙：△ADP∽△CDP，学生马上会在想：怎么对应才合理呢？经过讨论发现：只能是∠PDC=90°，∠ADP=∠PCD。引导学生从尺规作图的的角度去思考P点的定位。学生思考：作DP⊥DC交AB于P就能找到P点的位置，同时又要满足∠ADP=∠PCD？那无疑是一种巧合，这种巧合可能吗？为了从定量的角度去解决问题，那就应该列出关于x、a的方程，而且应该有两个方程才对，学生经过一番苦思冥想：
由勾股定理得PD=，CD=再用△ADP∽△PCD得CD=，由SPAD+SPCD+SPCD=SABCD得·2x·+·3（a-x）=·（2+3）a，又由CD的不同表示得=，将a代入消去得x2+4=0∴x无解，即丙类P点不存在。
情形丁：△PCD∽△PBC（经推理其实是全等的），引导方法与情形丙相同，由CD=3，CD=得=3，又由勾股定理得x2+22=（a-x）2，最后可得x=-，不合题意。因此，丁类P点不存在。
探究四：把“探究三”中的“若有其中一对三角形相似”改为“若三个三角形彼此相似”，结果又将如何？
学生经过推理发现对应关系只能是∠ADP=∠CDP，∠BCP=∠PCE，也就是P为∠ADC与∠DCB平分线上的点，因此作PE⊥DC于E，并发现有两对全等三角形，由CD=5，CD=得=5，又由PB=PE得a-x=x，最后可得a=2，x=。
因此只有当a=2时，这样的P点才唯一存在。
这样，我们通过一个问题的演变、引申，使学生在获得知识的同时，也拓宽了思路，培养了学生的思维迁移能力，学生思维的深刻性和广阔性也得到了很大的锻炼。
二、引导学生用数学方法去发现和探究社会生活中的某些问题
在初中数学中，有无数的最优化决策问题。记得有一次，我带初三学生去某风景区春游，我想这可是培养学生从生活中发现问题的好机会。在车上，我给学生出了一个思考题（好让学生带着问题去实践一下）：
某风景区有A、B两个某风景点到小路（直线l）的距离分别为2米和3米，AB=2米，摄影个体户王冰应顾客的要求，把A、B两个风景点都拍进（不能互相遮挡），又要遵照风景管理区规定（只能在小路l上拍摄，不准进入A、B腹地），为了取得最佳的拍摄角度及效果，请你帮王冰想想办法，拍摄点P应该设在何处？
探究一：如何把“最佳的拍摄角度及效果”变成数学语言（就是应该满足的什么样数学条件）？
学生经过讨论认为：只要使∠APB最大即可。
探究二：“只要使∠APB最大”，这个条件应该怎样用呢？
引导学生回忆“∠？>∠？”的基本图，已经有学生想到“在同圆中，同弦所对的圆周角大于同侧的圆外角”，展示这个基本图，加以拓展，学生渐渐地有了感觉：也就是以AB为弦画圆使∠APB成为圆周角，而让∠AMB成为圆外角（M是直线l上异于P的点），进而可知P点应该是圆与直线l的唯一公共点，因此圆与直线l相切。 探究三：那圆心F应该怎么找呢？
显然圆心F在AB的中垂线上，而且FA=FP。
探究四：如何定量地确定P点的位置？
设DP=x，则FA=FP=PH=2-x，由勾股定理得FA2=x2+（+x）2∴（2-x）2=x2+（+x）2，∴x=2-3。
这样通过活动的巧妙安排，创设形式多样、丰富多彩的教学情境，培养学生主动参与探究，这不失为一种好方法。
三、要求学生每遇繁琐解法时，总想探究最优（多）化解决方案
用多种解法解答同一个数学问题，就是要充分运用学过的基础知识调动一切解题手段，从各个不同的侧面去探究解题途径，找到最优的解决办法。
在初三复习阶段，省编复习用书第41页的第14题：如图，正方形DEFG的一边DE在BC上，顶点F、G分别在AC、AB上。已知△AGF、△CEF、△BDG的面积分别等于1、3、5，求正方形DEFG的面积。
此题在参考答案中的解法十分繁杂，出现繁分式方程和四次方。我要求大家寻找一种最优解决，并且告诉学生：只要方法巧妙，口算即可。这样通过教师设置悬念，启动学生的内驱力，触发学生的探索意想。从△ABC彼此相似，而且相似比为：：，也就是AG∶BG∶AB=：：，又因为AG+BG=AB，所以口算用的直接算式就垂手可得：（+）2-5-3-1。
这个方法确实灵活巧妙，只要几个三角形彼此都相似，就可以把原来的面积问题转化为三条线段的长度问题，学生觉得特别有意思。然后我不失时机地要求学生探讨这个方法有没有普遍意义和推广价值。看来只要几个三角形彼此都相似，就应该存在面积的等量关系。
推广一：如图，D、E、F分别在BC、AC、AB边上，四边形BDEF是平行四边形，△AEF、△EDC、△ABC的面积分别等于S1、S2、S。试探求S1、S2、S的关系式。（答案：+=）
推广二：如图，已知DE∥BC，FG∥AB，HI∥AC。△DIO、△OFH、△OGE、△ABC的面积分别等于S1、S2、S3、S。试探求S1、S2、S的关系式。（答案：++=）
推广三：如图，已知FG是梯形DECB的中位线，△ADE、△AFG、△ABC的面积分别等于S1、S2、S。试探求S1、S2、S的关系式。（答案：2=+）
四、要求学生每遇类似数学问题时，总想探究统一（公式）解法
学生在学习“相似三角形”这一章时，经常会遇到一类问题：作平行线，造相似形基本图，从而求线段比或求证线段成比例等，实际上用梅氏定理一次或两次即可解决。这样的数学问题仅在第五册数学书中就出现五次之多，其他资料中就更不必说，它的解法也有好几种，但最关键的一种是作平行线。我要求学生认真研究这五道题的做法。
探究一：成功的平行线究竟有什么共同之处呢？
所作的平行线必须能得到两对相似三角形，也就是造出两个A或Z型基本图，而且必须都能用三条相关线段（包括已知相关线和求证相关线）和一条过渡线段列出一个比例式。
探究二：把所有相关线段都标在图上，看一看他们能组成什么图案？（三角旗或有毛的三角旗）
探究三：过旗布三顶点作相关线段的平行线都会成功吗？你喜欢那一种？（都会成功。我喜欢的是：比如过旗布飘动点作旗杆的平行线。）
通过这类问题的深入研究，形成了统一解法，使学生体会到终于获得法宝的成就感。
五、故意露出破绽，让学生讨论探究，找出问题的症结所在
讨论探究可以引起争论，激发思维，从而在交换意见中，相互启发，相互质疑，取长补短，加深理解，还可以激发学生对数学的学习兴趣，同时也培养了他们的合作精神。
例如：已知关于x的一元二次方程m2x2+（m-1）x+（m-2）=0 只有一个正实根。求实数m的取值范围。
教学时可以先设置“陷阱”，激发学生探究的思维冲动。
错解：∵关于x的一元二次方程只有一个正实根，
∴x1x2≤0，∴≤0，解之得m≤2。
有的学生提出，解答过程中丢了m≠0和△>0这个条件。我及时给予肯定，又问还有问题吗？学生继续讨论探究，又有学生提出：题中给予的条件“一元二次方程只有一个正实根”与“x1x2≤0”不等价（比如当一根为负另一根为0时两根之积仍小于等于0）。
通过讨论，他们发现所给的解法把原题中“一元二次方程只有一个正实根”的条件放宽成了“两根之积大于等于0”，紧接着让学生讨论怎样纠正这一错误。全班学生在讨论探究中，逐渐明了，还应该排除“一根为负另一根为0”这一情形，也就是“一元二次方程只有一个正实根”的等价条件应该是“x1x2<0或x1x2=0且x1+x2>0”。综上所述，m应满足以下不等式组：
△=（m-1）2-4m2（m-2）>0
m≠0
<0或
=0且-
=0
学生以为大功告成，喜悦之情溢于言表。我没有就此罢休，抓住这个契机，引导学生继续讨论探究解法还有无缺陷。通过讨论大家发现由x1x2<0，就可以确保△>0。因此上述不等式组中的第一式纯属多余，应该去掉。这样，学生能在教师的点拨中把握问题的精要之处，通过讨论探究，充分认识解题的依据，既体会到探究的乐趣，又享受严谨思维的美妙。
六、布置一些切合学生实际的探究性问题并进行指导
提高学生的探究能力是我们开展小组合作的基础。常用的问题解决策略有：通过列表分析数据；建立和使用模型及图象；尝试解决一个简单的相关问题；通过一系列简单问题的解决寻找规律——结果与方法；比较和类比；通过尝试—错误—修正，逼近问题；估计和猜测问题答案等。小组合作方式的问题解决的活动方案为：第一步：把学生分为若干小组，每一小组由三至六名优等生和后进生均衡搭配的学生组成。第二步：每一星期（或适当延长）布置一个问题，以小组为单位，互教互学，一星期内（或适当延长）合作完成，并由学生轮流写成解题报告。这里的问题可以是与课程内容相关的，也可以是无关的，但要求是有一定难度、学生通过合作研究能够解决的问题。第三步：由起草报告的学生在班级里口头交流报告，最后由教师指出每份报告的优缺点，并给予适当的表扬和鼓励，记入平时成绩。为了更好地开展这一活动，教师最好能制订一个学期计划，并经常指导学生的合作活动，包括合作技能训练、解题策略、报告写作及口头交流等方面的指导，使合作学习方式的问题解决活动更有成效。下面是一份问题解决报告：
问题：6×6正方形，（纵横等分成六等分）问能组成多少个正方形？
策略：①若你不能解决这个问题，请试解简单的相关问题；建议从1×1正方形、2×2正方形、3×3正方形开始分析。②用图表组织数据并加以分析。③寻找一个一般规律，由表可知6×6正方形能组成的正方形数：1+4+9+16+25+36=12+22+32+42+52+62=12+22+32+42+52+62=91。④推广：记Sn为n×n正方形能组成的正方形数，则有Sn=12+22+32+…+n2或n3+n2+n。
前者可由观察比较猜想而得到；后者可建立三次函数模型或用待定系数法解决。后来学生又提出新的问题：用三次函数模型缺乏理论根据（目前暂时无法解决，要用高等数学才行），有没有令人信服方法去说明结果就是n3+n2+n呢？有！有两种！可以用叠加法或数学归纳法来解决，建议有兴趣的学生去看看有关叠加法或数学归纳法的书刊。当然学生很想知道如何证明，此时可向学生介绍叠加法：
∵（k+1）3=k3+3k2+3k+1
∴（k+1）3-k3=3k2+3k+1
∴23-13=3×12+3×1+1
33-23=3×22+3×2+1
43-33=3×32×3×3+1
……
（n+1）3-n3=3n2+3n+1
把上面n个等式相加得：（n+1）3-1=3（12+22+32+…+n2）+3（1+2+3+…+n）+n
∴（n+1）3-1=3Sn+3×n（n+1）+n，∴Sn=n3+n2+n
这个课题的研究是必修课内容的延伸，是学生通过努力可以解决的问题。通过这个问题的研究，提高了学生学习数学的兴趣，培养了学生的研究能力、动手实践能力和创新能力，也培养了学生的自学能力和观察、实验、猜想、调整等合情推理能力，其效果是深远的。
通过这些教学实践，我受到了深刻的教育：学生中蕴藏着巨大的智慧和力量，教师的任务就是唤起他们的学习兴趣，点燃他们智慧的火花，释放他们实践的能量，成功的喜悦将伴随着他们献身科学的全过程。
关键词：初中数学；探究性问题；探究性学习；探究能力
探究性学习以学生为中心，以培养学生的整体素质为目标，其教学方法也从静态的传授转变到动态的科学研究和自我学习。笔者在教学活动中做了一些这方面的工作，这里谈几点自己的做法。
一、将典型题演变、引申，引导学生联想、探究
一个问题的解决，并不是问题的终了，而应该通过问题的演变、引申，拓宽思路，让学生在积极的探究中获得知识、发展思维。在教学中，我们要抓住时机，引导学生从典型题出发，善于想象，从不同的角度思考问题，经过适当的改造和变形，采用演绎、类比、推广、演变等方法，帮助学生学会发现问题、提出问题并解决问题。所谓陈题，就是已经解决了的例题、习题和考题。
在“相似三角形”的教学中，有这样一个问题：“如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=3，AB=7，∠A=90°，在AB上有一点P，使△ADP∽△PBC，求AP长。”
学生通过相似三角形对应边成比例得到：
=或=，解得x=2.8或1或6。
由此可以引导学生产生一个递进式的探究性问题链。
探究一：原题中，你能否用定性的尺规作图的方法找到一点P，使△ADP∽△PBC。
情形甲：只要使∠APD=∠BPC，学生经过讨论思考也许仍难以解决P点的位置问题，此时教师可引导学生从光学的角度（光线的镜面反射）去解决问题。
大家议论纷纷，终于发现：其实就是从D点发出的光线经过平面镜AB的反射后通过C点，把它的光路图画出来即可。到此我已经让学生从定量和定性两种不同的角度去思考问题，让学生体会到数形结合思想的美妙无比。然后我又趁热打铁问：如果把原题中的数2，3作一个改变，这个P点还唯一存在吗？”“学生很快地从定量和定性两种不同的角度解决了这个问题。
情形乙：只要使∠APD=∠BCP，也就是使∠DPC=90°，学生经过一番思考就发现：应该以CD为直径画圆与AB的交点即为P点。紧接着组织学生自行对问题进行引申和探究（象情形甲后来那样）。
探究二：原题中，把“AB=7”改为“AB=a”，试研究P点的存在性与a的相关性。
情形甲：由=可得x=a可知x总有唯一解，也就是甲类P点总唯一存在。
情形乙：由=可得x2-ax+6=0，进而Δ=a2-24。
∴当a>2时，x有两解，也就是乙类P点总存在两个；当a=2时，x有唯一解，即乙类P点唯一存在；当a<2时，x无解，即乙类P点不存在。
探究三：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=3， AB=a，∠A=90°，在AB上有一点P，PD、PC，把梯形分成三个三角形，若有其中一对三角形相似，试研究P点的存在性与a的相关性。（甲乙两种情形不再赘述，对∠DPC=90°的情形暂不作讨论）
情形丙：△ADP∽△CDP，学生马上会在想：怎么对应才合理呢？经过讨论发现：只能是∠PDC=90°，∠ADP=∠PCD。引导学生从尺规作图的的角度去思考P点的定位。学生思考：作DP⊥DC交AB于P就能找到P点的位置，同时又要满足∠ADP=∠PCD？那无疑是一种巧合，这种巧合可能吗？为了从定量的角度去解决问题，那就应该列出关于x、a的方程，而且应该有两个方程才对，学生经过一番苦思冥想：
由勾股定理得PD=，CD=再用△ADP∽△PCD得CD=，由SPAD+SPCD+SPCD=SABCD得·2x·+·3（a-x）=·（2+3）a，又由CD的不同表示得=，将a代入消去得x2+4=0∴x无解，即丙类P点不存在。
情形丁：△PCD∽△PBC（经推理其实是全等的），引导方法与情形丙相同，由CD=3，CD=得=3，又由勾股定理得x2+22=（a-x）2，最后可得x=-，不合题意。因此，丁类P点不存在。
探究四：把“探究三”中的“若有其中一对三角形相似”改为“若三个三角形彼此相似”，结果又将如何？
学生经过推理发现对应关系只能是∠ADP=∠CDP，∠BCP=∠PCE，也就是P为∠ADC与∠DCB平分线上的点，因此作PE⊥DC于E，并发现有两对全等三角形，由CD=5，CD=得=5，又由PB=PE得a-x=x，最后可得a=2，x=。
因此只有当a=2时，这样的P点才唯一存在。
这样，我们通过一个问题的演变、引申，使学生在获得知识的同时，也拓宽了思路，培养了学生的思维迁移能力，学生思维的深刻性和广阔性也得到了很大的锻炼。
二、引导学生用数学方法去发现和探究社会生活中的某些问题
在初中数学中，有无数的最优化决策问题。记得有一次，我带初三学生去某风景区春游，我想这可是培养学生从生活中发现问题的好机会。在车上，我给学生出了一个思考题（好让学生带着问题去实践一下）：
某风景区有A、B两个某风景点到小路（直线l）的距离分别为2米和3米，AB=2米，摄影个体户王冰应顾客的要求，把A、B两个风景点都拍进（不能互相遮挡），又要遵照风景管理区规定（只能在小路l上拍摄，不准进入A、B腹地），为了取得最佳的拍摄角度及效果，请你帮王冰想想办法，拍摄点P应该设在何处？
探究一：如何把“最佳的拍摄角度及效果”变成数学语言（就是应该满足的什么样数学条件）？
学生经过讨论认为：只要使∠APB最大即可。
探究二：“只要使∠APB最大”，这个条件应该怎样用呢？
引导学生回忆“∠？>∠？”的基本图，已经有学生想到“在同圆中，同弦所对的圆周角大于同侧的圆外角”，展示这个基本图，加以拓展，学生渐渐地有了感觉：也就是以AB为弦画圆使∠APB成为圆周角，而让∠AMB成为圆外角（M是直线l上异于P的点），进而可知P点应该是圆与直线l的唯一公共点，因此圆与直线l相切。 探究三：那圆心F应该怎么找呢？
显然圆心F在AB的中垂线上，而且FA=FP。
探究四：如何定量地确定P点的位置？
设DP=x，则FA=FP=PH=2-x，由勾股定理得FA2=x2+（+x）2∴（2-x）2=x2+（+x）2，∴x=2-3。
这样通过活动的巧妙安排，创设形式多样、丰富多彩的教学情境，培养学生主动参与探究，这不失为一种好方法。
三、要求学生每遇繁琐解法时，总想探究最优（多）化解决方案
用多种解法解答同一个数学问题，就是要充分运用学过的基础知识调动一切解题手段，从各个不同的侧面去探究解题途径，找到最优的解决办法。
在初三复习阶段，省编复习用书第41页的第14题：如图，正方形DEFG的一边DE在BC上，顶点F、G分别在AC、AB上。已知△AGF、△CEF、△BDG的面积分别等于1、3、5，求正方形DEFG的面积。
此题在参考答案中的解法十分繁杂，出现繁分式方程和四次方。我要求大家寻找一种最优解决，并且告诉学生：只要方法巧妙，口算即可。这样通过教师设置悬念，启动学生的内驱力，触发学生的探索意想。从△ABC彼此相似，而且相似比为：：，也就是AG∶BG∶AB=：：，又因为AG+BG=AB，所以口算用的直接算式就垂手可得：（+）2-5-3-1。
这个方法确实灵活巧妙，只要几个三角形彼此都相似，就可以把原来的面积问题转化为三条线段的长度问题，学生觉得特别有意思。然后我不失时机地要求学生探讨这个方法有没有普遍意义和推广价值。看来只要几个三角形彼此都相似，就应该存在面积的等量关系。
推广一：如图，D、E、F分别在BC、AC、AB边上，四边形BDEF是平行四边形，△AEF、△EDC、△ABC的面积分别等于S1、S2、S。试探求S1、S2、S的关系式。（答案：+=）
推广二：如图，已知DE∥BC，FG∥AB，HI∥AC。△DIO、△OFH、△OGE、△ABC的面积分别等于S1、S2、S3、S。试探求S1、S2、S的关系式。（答案：++=）
推广三：如图，已知FG是梯形DECB的中位线，△ADE、△AFG、△ABC的面积分别等于S1、S2、S。试探求S1、S2、S的关系式。（答案：2=+）
四、要求学生每遇类似数学问题时，总想探究统一（公式）解法
学生在学习“相似三角形”这一章时，经常会遇到一类问题：作平行线，造相似形基本图，从而求线段比或求证线段成比例等，实际上用梅氏定理一次或两次即可解决。这样的数学问题仅在第五册数学书中就出现五次之多，其他资料中就更不必说，它的解法也有好几种，但最关键的一种是作平行线。我要求学生认真研究这五道题的做法。
探究一：成功的平行线究竟有什么共同之处呢？
所作的平行线必须能得到两对相似三角形，也就是造出两个A或Z型基本图，而且必须都能用三条相关线段（包括已知相关线和求证相关线）和一条过渡线段列出一个比例式。
探究二：把所有相关线段都标在图上，看一看他们能组成什么图案？（三角旗或有毛的三角旗）
探究三：过旗布三顶点作相关线段的平行线都会成功吗？你喜欢那一种？（都会成功。我喜欢的是：比如过旗布飘动点作旗杆的平行线。）
通过这类问题的深入研究，形成了统一解法，使学生体会到终于获得法宝的成就感。
五、故意露出破绽，让学生讨论探究，找出问题的症结所在
讨论探究可以引起争论，激发思维，从而在交换意见中，相互启发，相互质疑，取长补短，加深理解，还可以激发学生对数学的学习兴趣，同时也培养了他们的合作精神。
例如：已知关于x的一元二次方程m2x2+（m-1）x+（m-2）=0 只有一个正实根。求实数m的取值范围。
教学时可以先设置“陷阱”，激发学生探究的思维冲动。
错解：∵关于x的一元二次方程只有一个正实根，
∴x1x2≤0，∴≤0，解之得m≤2。
有的学生提出，解答过程中丢了m≠0和△>0这个条件。我及时给予肯定，又问还有问题吗？学生继续讨论探究，又有学生提出：题中给予的条件“一元二次方程只有一个正实根”与“x1x2≤0”不等价（比如当一根为负另一根为0时两根之积仍小于等于0）。
通过讨论，他们发现所给的解法把原题中“一元二次方程只有一个正实根”的条件放宽成了“两根之积大于等于0”，紧接着让学生讨论怎样纠正这一错误。全班学生在讨论探究中，逐渐明了，还应该排除“一根为负另一根为0”这一情形，也就是“一元二次方程只有一个正实根”的等价条件应该是“x1x2<0或x1x2=0且x1+x2>0”。综上所述，m应满足以下不等式组：
△=（m-1）2-4m2（m-2）>0
m≠0
<0或
=0且-
=0
学生以为大功告成，喜悦之情溢于言表。我没有就此罢休，抓住这个契机，引导学生继续讨论探究解法还有无缺陷。通过讨论大家发现由x1x2<0，就可以确保△>0。因此上述不等式组中的第一式纯属多余，应该去掉。这样，学生能在教师的点拨中把握问题的精要之处，通过讨论探究，充分认识解题的依据，既体会到探究的乐趣，又享受严谨思维的美妙。
六、布置一些切合学生实际的探究性问题并进行指导
提高学生的探究能力是我们开展小组合作的基础。常用的问题解决策略有：通过列表分析数据；建立和使用模型及图象；尝试解决一个简单的相关问题；通过一系列简单问题的解决寻找规律——结果与方法；比较和类比；通过尝试—错误—修正，逼近问题；估计和猜测问题答案等。小组合作方式的问题解决的活动方案为：第一步：把学生分为若干小组，每一小组由三至六名优等生和后进生均衡搭配的学生组成。第二步：每一星期（或适当延长）布置一个问题，以小组为单位，互教互学，一星期内（或适当延长）合作完成，并由学生轮流写成解题报告。这里的问题可以是与课程内容相关的，也可以是无关的，但要求是有一定难度、学生通过合作研究能够解决的问题。第三步：由起草报告的学生在班级里口头交流报告，最后由教师指出每份报告的优缺点，并给予适当的表扬和鼓励，记入平时成绩。为了更好地开展这一活动，教师最好能制订一个学期计划，并经常指导学生的合作活动，包括合作技能训练、解题策略、报告写作及口头交流等方面的指导，使合作学习方式的问题解决活动更有成效。下面是一份问题解决报告：
问题：6×6正方形，（纵横等分成六等分）问能组成多少个正方形？
策略：①若你不能解决这个问题，请试解简单的相关问题；建议从1×1正方形、2×2正方形、3×3正方形开始分析。②用图表组织数据并加以分析。③寻找一个一般规律，由表可知6×6正方形能组成的正方形数：1+4+9+16+25+36=12+22+32+42+52+62=12+22+32+42+52+62=91。④推广：记Sn为n×n正方形能组成的正方形数，则有Sn=12+22+32+…+n2或n3+n2+n。
前者可由观察比较猜想而得到；后者可建立三次函数模型或用待定系数法解决。后来学生又提出新的问题：用三次函数模型缺乏理论根据（目前暂时无法解决，要用高等数学才行），有没有令人信服方法去说明结果就是n3+n2+n呢？有！有两种！可以用叠加法或数学归纳法来解决，建议有兴趣的学生去看看有关叠加法或数学归纳法的书刊。当然学生很想知道如何证明，此时可向学生介绍叠加法：
∵（k+1）3=k3+3k2+3k+1
∴（k+1）3-k3=3k2+3k+1
∴23-13=3×12+3×1+1
33-23=3×22+3×2+1
43-33=3×32×3×3+1
……
（n+1）3-n3=3n2+3n+1
把上面n个等式相加得：（n+1）3-1=3（12+22+32+…+n2）+3（1+2+3+…+n）+n
∴（n+1）3-1=3Sn+3×n（n+1）+n，∴Sn=n3+n2+n
这个课题的研究是必修课内容的延伸，是学生通过努力可以解决的问题。通过这个问题的研究，提高了学生学习数学的兴趣，培养了学生的研究能力、动手实践能力和创新能力，也培养了学生的自学能力和观察、实验、猜想、调整等合情推理能力，其效果是深远的。
通过这些教学实践，我受到了深刻的教育：学生中蕴藏着巨大的智慧和力量，教师的任务就是唤起他们的学习兴趣，点燃他们智慧的火花，释放他们实践的能量，成功的喜悦将伴随着他们献身科学的全过程。