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一、小学数学主题拓展教学的内涵
1.什么是数学主题拓展教学？
“小学数学主题拓展教学”就是根据学生的年龄特点，围绕有价值的数学主题这颗思想的种子，充分重视个体经验，通过与多个素材的碰撞交融，在重过程的生成理解中建构的一种开放性教学。
它是以“发展思维”为核心，“提升数学素养”为目的，由主题“牵一发”而“动”学生已有知识与能力体系的“全身”，将课内外零碎散落的甚至单一的数学内容统整起来，促进学生在掌握各部分的联系中形成系统化、结构化的数学思考，然后凭借结构功能，逐步丰富和完善已有的认知结构，使数学学习成为一个系统完善的过程。这样做的结果是，课堂教学变得简洁、流畅、丰富、深刻、开放、自主，实现优质高效的目的。
“主题”是“主题拓展教学”的“魂”，它既是教学活动的主线，也是生发学生思维的“核心”；既是教师进行教学规划的“种子”，也是学生形成系统化思考的“发源地”；“主题”就是一首能让学生自主畅想的优美歌曲的主旋律，例如教材中“你知道吗”中的“二进制”、生活中的“钱生钱”，都是拓展的主题，是主题拓展教学有序有效的根基。
“拓展”是数学主题教学的方式，它可以从结论出发围绕主题通过追本溯源，不断向未知的领域进行拓展，掌握其来龙去脉以及相关知识和问题的内在联系；也可以从问题出发，围绕主题通过资料查找、数据统计、实践探索、问题转化等途径在系统结构下解决问题。让学生在从具体到抽象或从抽象到具体的过程中穿梭，表面上是对一个问题的深入理解或解决某个问题，本质上是一种系统化、结构化的数学思维方式和数学思想方法的有力渗透，也是对主题内容的一个完整的学习和体验的过程，这会大大丰富学生的学习活动经验，促使他们学会举一反三、触类旁通、融会贯通。
如果把小学数学主题拓展教学比作一棵树的生长过程，主题就是树的根，拓展就是随之生长出来的茂盛枝叶。数学主题拓展教学就是帮助学生长根的教学。
2.小学数学主题拓展教学的特性。
小学数学主题拓展教学是基于教材进行课程开发形态的一种教学主张，它是对日常课堂教学的融合和补充，是学生根据已有认知水平和已有生活经验进行有序联想和自由思考的一种学习形态，更多地趋向于以主题为载体的独立思考和创新活动，其内涵可概括为四性：
主题的种子性。“主题”是“拓展”的种子，由于受学生认知水平和生活经验等的限制，它基本决定了拓展的广度和深度，所以主题要凸显其丰富的内涵和核心的价值。
内容的系统性。弗赖登塔尔说：“数学是系统化了的常识。”数学主题拓展教学就是引导学生以主题为载体编织自己的数学系统和经验系统，不断形成自己的数学思考和观点。
思维的延展性。康托说：“数学的本质是自由的。”学生在自由的状态下思维才能自由地生长。我们以主题为中心进行思维的延展，可以是线型的延展，形成思维通道，可以是圆形延展形成结构化思考，可以是球形状发散形成立体化生长。
活动的创造性。基于教材内容的主题拓展和基于活动经验的主题创新活动都是基于学生个体和群体的思维再创造的活动。
二、数学主题拓展教学的价值
1.促进学生形成结构化、系统化的思维方式，使学生通过树木看见森林。
主题拓展教学的核心价值是提升学生的数学素养，发展学生的系统化数学思维的水平。作为教育的数学，是一个经过人为的加工和提炼，依据某一特殊人群（作为获得基础的人类文化遗产的学生）的特殊需要（即数学教育的目标）和经验、知识与能力结构而设计的知识和思想体系。知识、技能、经验、思想方法就相当于网络体系中的一个个结点，它们和概念、公式、法则及数量关系之间都有着一定的联系。这种联系越广泛，就越容易与即将学习的新内容建立起通道，通过超级链接成为“网络结构”的新成员。
数学主题拓展教学从主题出发，通过网络结点主动发散，形成纵横交错、有机互补的新的主题，随着经验和知识的生长，将会不断丰富该结构，随着一个个不同主题的拓展进行，每个主题之间的联系又生长了新的结点，也会不断地补充学生原来的结构系统，逐步完善学生已有的认知结构，促进学生形成结构化、系统化的思维方式。
2.从最接近学生的起点，走向最远的终点，打开学生主题思维之窗。
“主题”和“拓展”是小学数学主题拓展教学的两翼，“主题”是学生思维的“起跑线”，“拓展”是学生走向最远终点的“发动机”。数学主题拓展教学的目标价值就是从最接近学生的起点，走向最远的终点，促使学生学会举一反三、触类旁通、融会贯通。那么如何定位主题，如何选择主题，就成为主题拓展教学目标达成的首要因素；主题拓展到多深，拓展到多广，则是主题拓展教学目标价值达成的关键因素。
主题的选择要根据教学进程，依据学生年龄特点和已有的生活经验，师生共同确定主题，选择素材，据此规划教学进程。一个主题可以是一个素材，但其内容要有典型性和扩张力。例如《神奇的三角板》，就是以三角板为主题挖掘其中的数学元素，揭示其数学本质。一个主题还可以是几个相关联的有层次的素材组合形成的一个有机的整体。例如《有趣的数学猜想》，就是以学生能懂的几个数学猜想进行有序组合，让学生经历数学猜想的完整过程，感受数学理性的魅力。
主题拓展的深度，不是单纯增加知识数量与难度的故作高深，更不是脱离教材的任意发散和拔高，而是要体现学生的自主拓展水平与老师、同伴帮助下能够达成的学习水平之间的落差。
主题拓展的广度就是要能够让学生搞清问题的背景、现在和未来，明白是什么、为什么、还可以怎么做。这样掌握问题的本质，就掌握了解决问题的核心。具体来说，主题拓展的广度如果就一节课而言，应该由其教学目标和学生可能达到的水平决定；就某一主题而言，我们也可以说是无限的。
3.以最轻松的方式让学生获得最有分量的收获，打开学生主题智慧之窗。
数学主题拓展教学以“主题”为核心构建教学的主干脉络，一堂课围绕一个主题，由三到四个不同形式的活动模块组成。学生在丰富多彩的活动中自主、合作学习，体验感悟、探究主题内容，展示交流学习结果，教师通过点拨、梳理、串联，引导学生不断拓展，形成结构化、系统化的思维。
进行主题拓展教学是对教师创造性工作的挑战，这就要求教师要有丰厚的积淀，不断拓展未知域，丰富自己的“资源库”；要求教师能将主题素材心理学化，按照学生易理解的方式表达出来，以最轻松的方式让学生获得最有分量的收获。这是衡量教师学科专业素养的重要标准，也是主题拓展教学的魅力所在。主题拓展教学有利于促进教师不断思考和实践，形成自己的观点和思想。带着这样的思考，我们将主题内容进行板块式构建，依据数学内容和主题特点分为知识主题、文化主题和精神主题三大板块，板块的内容间可以相互交融，但目标达成上有所侧重。
知识主题拓展，力求延展知识结构促使学生获得活动经验。主题可以是一道习题的拓展研究，可以是一个生活现象的数学解读，可以是数学核心知识的系统化构建，也可以是一个方法、一个策略的研究。
通过文化主题拓展，揭示数学本源，引领学生系统建构数学思想方法。主题可以是一个数学规定的追本溯源，可以是一个数学猜想的拓展链接，也可以是古代数学的现代解读。
在精神主题拓展中，学生感受数学的理性精神、求真精神、创新精神、合作与独立思考精神。主题可以是对数学家数学精神的诠释，也可以通过主题故事和主题探究体现数学精神的力量。
主题思维拓展课、主题方法指导课、主题错误研究课、主题数学欣赏课、主题数学阅读课和主题数学休闲课等主题拓展课，促进了日常教学变革，学生的学习行为和精神状态都发生了重大变化。学生们说：“这样的课能够抓住我们的心，好学又好玩。”
“主题”的力量在于“拓展”，“拓展”的能量来自“课堂”，数学主题拓展教学就是要激活学生思维的种子，帮助学生改进学习方式，引导学生自我进行结构化、系统化思维，从而形成观点，形成思想。
（作者单位：江苏省金坛市朝阳小学，金坛市华罗庚实验学校）
1.什么是数学主题拓展教学？
“小学数学主题拓展教学”就是根据学生的年龄特点，围绕有价值的数学主题这颗思想的种子，充分重视个体经验，通过与多个素材的碰撞交融，在重过程的生成理解中建构的一种开放性教学。
它是以“发展思维”为核心，“提升数学素养”为目的，由主题“牵一发”而“动”学生已有知识与能力体系的“全身”，将课内外零碎散落的甚至单一的数学内容统整起来，促进学生在掌握各部分的联系中形成系统化、结构化的数学思考，然后凭借结构功能，逐步丰富和完善已有的认知结构，使数学学习成为一个系统完善的过程。这样做的结果是，课堂教学变得简洁、流畅、丰富、深刻、开放、自主，实现优质高效的目的。
“主题”是“主题拓展教学”的“魂”，它既是教学活动的主线，也是生发学生思维的“核心”；既是教师进行教学规划的“种子”，也是学生形成系统化思考的“发源地”；“主题”就是一首能让学生自主畅想的优美歌曲的主旋律，例如教材中“你知道吗”中的“二进制”、生活中的“钱生钱”，都是拓展的主题，是主题拓展教学有序有效的根基。
“拓展”是数学主题教学的方式，它可以从结论出发围绕主题通过追本溯源，不断向未知的领域进行拓展，掌握其来龙去脉以及相关知识和问题的内在联系；也可以从问题出发，围绕主题通过资料查找、数据统计、实践探索、问题转化等途径在系统结构下解决问题。让学生在从具体到抽象或从抽象到具体的过程中穿梭，表面上是对一个问题的深入理解或解决某个问题，本质上是一种系统化、结构化的数学思维方式和数学思想方法的有力渗透，也是对主题内容的一个完整的学习和体验的过程，这会大大丰富学生的学习活动经验，促使他们学会举一反三、触类旁通、融会贯通。
如果把小学数学主题拓展教学比作一棵树的生长过程，主题就是树的根，拓展就是随之生长出来的茂盛枝叶。数学主题拓展教学就是帮助学生长根的教学。
2.小学数学主题拓展教学的特性。
小学数学主题拓展教学是基于教材进行课程开发形态的一种教学主张，它是对日常课堂教学的融合和补充，是学生根据已有认知水平和已有生活经验进行有序联想和自由思考的一种学习形态，更多地趋向于以主题为载体的独立思考和创新活动，其内涵可概括为四性：
主题的种子性。“主题”是“拓展”的种子，由于受学生认知水平和生活经验等的限制，它基本决定了拓展的广度和深度，所以主题要凸显其丰富的内涵和核心的价值。
内容的系统性。弗赖登塔尔说：“数学是系统化了的常识。”数学主题拓展教学就是引导学生以主题为载体编织自己的数学系统和经验系统，不断形成自己的数学思考和观点。
思维的延展性。康托说：“数学的本质是自由的。”学生在自由的状态下思维才能自由地生长。我们以主题为中心进行思维的延展，可以是线型的延展，形成思维通道，可以是圆形延展形成结构化思考，可以是球形状发散形成立体化生长。
活动的创造性。基于教材内容的主题拓展和基于活动经验的主题创新活动都是基于学生个体和群体的思维再创造的活动。
二、数学主题拓展教学的价值
1.促进学生形成结构化、系统化的思维方式，使学生通过树木看见森林。
主题拓展教学的核心价值是提升学生的数学素养，发展学生的系统化数学思维的水平。作为教育的数学，是一个经过人为的加工和提炼，依据某一特殊人群（作为获得基础的人类文化遗产的学生）的特殊需要（即数学教育的目标）和经验、知识与能力结构而设计的知识和思想体系。知识、技能、经验、思想方法就相当于网络体系中的一个个结点，它们和概念、公式、法则及数量关系之间都有着一定的联系。这种联系越广泛，就越容易与即将学习的新内容建立起通道，通过超级链接成为“网络结构”的新成员。
数学主题拓展教学从主题出发，通过网络结点主动发散，形成纵横交错、有机互补的新的主题，随着经验和知识的生长，将会不断丰富该结构，随着一个个不同主题的拓展进行，每个主题之间的联系又生长了新的结点，也会不断地补充学生原来的结构系统，逐步完善学生已有的认知结构，促进学生形成结构化、系统化的思维方式。
2.从最接近学生的起点，走向最远的终点，打开学生主题思维之窗。
“主题”和“拓展”是小学数学主题拓展教学的两翼，“主题”是学生思维的“起跑线”，“拓展”是学生走向最远终点的“发动机”。数学主题拓展教学的目标价值就是从最接近学生的起点，走向最远的终点，促使学生学会举一反三、触类旁通、融会贯通。那么如何定位主题，如何选择主题，就成为主题拓展教学目标达成的首要因素；主题拓展到多深，拓展到多广，则是主题拓展教学目标价值达成的关键因素。
主题的选择要根据教学进程，依据学生年龄特点和已有的生活经验，师生共同确定主题，选择素材，据此规划教学进程。一个主题可以是一个素材，但其内容要有典型性和扩张力。例如《神奇的三角板》，就是以三角板为主题挖掘其中的数学元素，揭示其数学本质。一个主题还可以是几个相关联的有层次的素材组合形成的一个有机的整体。例如《有趣的数学猜想》，就是以学生能懂的几个数学猜想进行有序组合，让学生经历数学猜想的完整过程，感受数学理性的魅力。
主题拓展的深度，不是单纯增加知识数量与难度的故作高深，更不是脱离教材的任意发散和拔高，而是要体现学生的自主拓展水平与老师、同伴帮助下能够达成的学习水平之间的落差。
主题拓展的广度就是要能够让学生搞清问题的背景、现在和未来，明白是什么、为什么、还可以怎么做。这样掌握问题的本质，就掌握了解决问题的核心。具体来说，主题拓展的广度如果就一节课而言，应该由其教学目标和学生可能达到的水平决定；就某一主题而言，我们也可以说是无限的。
3.以最轻松的方式让学生获得最有分量的收获，打开学生主题智慧之窗。
数学主题拓展教学以“主题”为核心构建教学的主干脉络，一堂课围绕一个主题，由三到四个不同形式的活动模块组成。学生在丰富多彩的活动中自主、合作学习，体验感悟、探究主题内容，展示交流学习结果，教师通过点拨、梳理、串联，引导学生不断拓展，形成结构化、系统化的思维。
进行主题拓展教学是对教师创造性工作的挑战，这就要求教师要有丰厚的积淀，不断拓展未知域，丰富自己的“资源库”；要求教师能将主题素材心理学化，按照学生易理解的方式表达出来，以最轻松的方式让学生获得最有分量的收获。这是衡量教师学科专业素养的重要标准，也是主题拓展教学的魅力所在。主题拓展教学有利于促进教师不断思考和实践，形成自己的观点和思想。带着这样的思考，我们将主题内容进行板块式构建，依据数学内容和主题特点分为知识主题、文化主题和精神主题三大板块，板块的内容间可以相互交融，但目标达成上有所侧重。
知识主题拓展，力求延展知识结构促使学生获得活动经验。主题可以是一道习题的拓展研究，可以是一个生活现象的数学解读，可以是数学核心知识的系统化构建，也可以是一个方法、一个策略的研究。
通过文化主题拓展，揭示数学本源，引领学生系统建构数学思想方法。主题可以是一个数学规定的追本溯源，可以是一个数学猜想的拓展链接，也可以是古代数学的现代解读。
在精神主题拓展中，学生感受数学的理性精神、求真精神、创新精神、合作与独立思考精神。主题可以是对数学家数学精神的诠释，也可以通过主题故事和主题探究体现数学精神的力量。
主题思维拓展课、主题方法指导课、主题错误研究课、主题数学欣赏课、主题数学阅读课和主题数学休闲课等主题拓展课，促进了日常教学变革，学生的学习行为和精神状态都发生了重大变化。学生们说：“这样的课能够抓住我们的心，好学又好玩。”
“主题”的力量在于“拓展”，“拓展”的能量来自“课堂”，数学主题拓展教学就是要激活学生思维的种子，帮助学生改进学习方式，引导学生自我进行结构化、系统化思维，从而形成观点，形成思想。
（作者单位：江苏省金坛市朝阳小学，金坛市华罗庚实验学校）