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[摘 要]从数学理解入手，提高概念的理解水平，应聚焦概念的本质，从外延向内涵推进，突出核心概念的思维建构过程；由数学思想统领，从表面向深层发展，突出思想方法的领悟和应用过程。
[关键词]数学理解 概念 数学本质 数学思想方法 数形结合 函数思想
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）23-028
“数学理解的核心是对基本概念及其所反映的数学思想方法的理解。”从数学理解入手，提高概念的理解水平，应成为新课程背景下概念教学的应然追求。那么，数学概念课到底应传递给学生什么样的数学理解呢？我经过实踐认为，只有善于抓住概念的核心内涵和思想方法，更多地呈现知识发生、发展的过程，才能使学生的认知更生动、更完整、更灵活、更深刻。下面，谈谈我对“正比例的意义”一课的教学实践与思考。
一、有效载体——促概念从外延到内涵的推进
课堂教学中，教师应抓住知识间的脉络，把握概念间的联系，引领学生有层次地经历概念的建构过程。
（1）分类感知，弄清研究范围。
认识相关联的量是判断正比例的前提条件。通过对素材的初步观察，使学生理解路程随着时间的变化而变化，路程和时间是两种相关联的量，并用这样的判断方法迁移至其他两种量是不是相关联，让学生学会从新的角度重新审视和理解一些常见的变化的量。
（2）引领点拨，明确研究主题。
通过对素材的深入研究，使学生充分感受到路程和时间之间的联系与变化，能从变化的量中找到不变的量，经历寻找和发现规律的完整过程，初步了解路程和时间这两种量的特殊关系模型，进而明确研究的主题，为后面的自主研究提供范式。
（3）比较分析，自主构建概念。
继续利用这些素材，让学生交流发现的各种规律，然后筛选、剥离出与路程和时间的变化规律不同的例子，提炼例子中共同的变化规律，逐步逼近概念的内涵。
教学片断：自主探究，发现共性特征
师：在这些图表（略）中，哪几组量的变化规律与路程和时间的变化规律是完全一致的？你会排除哪些？ 同时说明理由。
生1：我会排除图二，因为图二中时间和高度的变化方向是不一致的。
生2：我会排除表五中面积和边长的关系，因为面积和边长的比值不一定。
生3：我还会排除表四，因为爸爸的年龄和小明的年龄是差一定，而不是比值一定。
师：那剩余的两张表中两种相关联的量的变化规律与路程和时间的变化规律一样吗？你能说说它们在变化过程中有什么相同的地方吗？
生4：都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也跟着变化；两种量的变化方向一致；两种量相对应的比的比值一定。
师（揭示）：当两种量具有这样的关系时，我们就说这两种量成正比例关系。这也是正比例的意义。
……
（4）提炼模型，明晰本质属性。
引导学生结合正比例的例子理解正比例的意义，并再次通过反例，使学生明确正比例意义的判断要素，进一步凸显正比例意义的本质属性，即比值一定，由此提炼出正比例关系的模型，即y / x=k（一定）。
教学片断：凸显核心特征，提炼正比例模型
师：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化，当路程和时间相对应的比的比值总是一定（也就是速度）时，我们就说路程和时间成正比例关系，路程和时间就是成正比例的量。
师：你也能像老师一样来说说总价和数量的关系吗？[随着学生交流，师板书：铅笔 / 数量=单价（一定）]
师：周长与边长成正比例关系吗？为什么？[板书：周长 / 边长=4（一定）]（生答略）
师：那刚才图二中高度和时间成正比例吗？为什么？表四中爸爸的年龄和小明的年龄成正比例吗？表五中正方形的面积和边长呢？（生答略）
师：看来，判断两种相关联的量是不是成正比例，必须符合哪些条件？（明确判断要素：相关联的量，变化方向一致，比值一定）其中最主要的特征又是什么？（板书：比值一定，只要比值一定，前两个条件也必然符合了） 师：如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用怎样的式子表示？[板书：y / x=k（一定）]
……
教学实践表明，丰富的学习素材，使学生经历“变化的量——两种相关联的量——一变化方向一致——不变的量——比值一定……y / x=k（一定）”的正比例意义的构建过程。
二、数形结合——促概念从表面到深层的理解
著名数学家华罗庚曾说過：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。应用数形结合思想，可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，促进概念理解从表面到深层的跃进。
1.几何直观，动态呈现过程
第一次教学，我和学生从对左下图的静态观察，发现横轴在变化——表示时间在推移，纵轴在变化——表示路程在变化，由此猜想“时间和路程的变化，路程随着时间的变化而变化”。但是，细细想来，这样的变化难道仅仅体现在横轴和纵轴上吗？显然不止。
“几何直观可以帮助学生直观地理解数学。”要突破这一认知局限，仅靠静态的想象是不够的，我认为要让变化过程“动”起来，就必须借助直观演示。因此，第二次教学，在学生认识“时间在变化，路程也随着变化”后，我先通过多媒体动态演示横轴上的时间点与直线上对应的点同时、连续运动变化的过程，再演示纵轴上的路程点与直线上对应的点同时、连续运动变化的过程，接着演示对应于直线上的一个点及路程和时间同时、连续运动变化的过程（如上右图）。由最初的静态观察改为现在的动态呈现，化静为动，让学生直观、形象地感受到时间和路程的变化，深刻认识相关联的量，为后面研究对应的路程和时间之间的关系做好准备。
2.一一对应，渗透函数思想
教学片断：探究两种相关联的量的变化规律
师：路程和时间是两种相关联的量，那路程是怎样随着时间的变化而变化的呢？你能找到哪些变化规律呢？
生：时间在增加，路程也在增加。
师：能具体说说吗？
学生由对图像的观察转到对表格的分析，发现一：随着这些点的变化，每个点所表示的时间在增加，相对应的路程也在增加，时间和路程是同时增加的，它们的变化方向是一致的；反过来看也如此。发现二：可以计算每个点所对应的路程和时间的比值，发现比值不变。
……
数学思想方法是形成数学意识和数学能力的桥梁，是灵活运用数学知识、数学技能和数学方法解决实际问题的灵魂。对图中规律的观察，我的教学定位是通过研究直线上的点，找到每个点所表示的时间和它对应的路程。通过这些变化的点的研究，不仅可以发现变化方向一致，更主要的是能发现不变的量，而要发现这个不变的量，则要利用以前学过的比的知识，将研究目光聚焦到路程和它对应的时间的比的比值的研究上。“变化”“不变”“对应”“比值”这些关键词即研究要素，从对图上点的直观理解到对点所对应的路程和时间的数据分析，从“变化”中发现“不变”，即对应的路程和时间的比值一定。这样教学，使图像、表格、式子在研究中实现了有效承接与转化，初步渗透了函数思想。
3.数形转化，实现回归和超越
教学片断：成正比例的量图像特征的猜想
师（出示表三、表五，略）：这是成正比例的两组量，表中的各组数据可以用图中的点来表示，想象一下，如果连接图中各点，会是什么形状？
生：会是一条直线。
（课件演示，发现确实是一条直线）
师：成正比例的两个量除了比值一定外，是不是还有其他特征呢？我们下节课继续学习！
……
在课的结尾由已经判断确认的两个成正比例量的例子，通过描点、猜想、连线，使学生对正比例的特征产生新的探究欲望，从而对正比例图像的特征产生初步的猜想。
总之，教师不仅要在揭示概念的内涵上下工夫，而且要从数学思想方法的高度进行概念教学，这样才能促进学生的数学理解，使学生获得所学的知识。
（责编 蓝 天）
[关键词]数学理解 概念 数学本质 数学思想方法 数形结合 函数思想
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）23-028
“数学理解的核心是对基本概念及其所反映的数学思想方法的理解。”从数学理解入手，提高概念的理解水平，应成为新课程背景下概念教学的应然追求。那么，数学概念课到底应传递给学生什么样的数学理解呢？我经过实踐认为，只有善于抓住概念的核心内涵和思想方法，更多地呈现知识发生、发展的过程，才能使学生的认知更生动、更完整、更灵活、更深刻。下面，谈谈我对“正比例的意义”一课的教学实践与思考。
一、有效载体——促概念从外延到内涵的推进
课堂教学中，教师应抓住知识间的脉络，把握概念间的联系，引领学生有层次地经历概念的建构过程。
（1）分类感知，弄清研究范围。
认识相关联的量是判断正比例的前提条件。通过对素材的初步观察，使学生理解路程随着时间的变化而变化，路程和时间是两种相关联的量，并用这样的判断方法迁移至其他两种量是不是相关联，让学生学会从新的角度重新审视和理解一些常见的变化的量。
（2）引领点拨，明确研究主题。
通过对素材的深入研究，使学生充分感受到路程和时间之间的联系与变化，能从变化的量中找到不变的量，经历寻找和发现规律的完整过程，初步了解路程和时间这两种量的特殊关系模型，进而明确研究的主题，为后面的自主研究提供范式。
（3）比较分析，自主构建概念。
继续利用这些素材，让学生交流发现的各种规律，然后筛选、剥离出与路程和时间的变化规律不同的例子，提炼例子中共同的变化规律，逐步逼近概念的内涵。
教学片断：自主探究，发现共性特征
师：在这些图表（略）中，哪几组量的变化规律与路程和时间的变化规律是完全一致的？你会排除哪些？ 同时说明理由。
生1：我会排除图二，因为图二中时间和高度的变化方向是不一致的。
生2：我会排除表五中面积和边长的关系，因为面积和边长的比值不一定。
生3：我还会排除表四，因为爸爸的年龄和小明的年龄是差一定，而不是比值一定。
师：那剩余的两张表中两种相关联的量的变化规律与路程和时间的变化规律一样吗？你能说说它们在变化过程中有什么相同的地方吗？
生4：都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也跟着变化；两种量的变化方向一致；两种量相对应的比的比值一定。
师（揭示）：当两种量具有这样的关系时，我们就说这两种量成正比例关系。这也是正比例的意义。
……
（4）提炼模型，明晰本质属性。
引导学生结合正比例的例子理解正比例的意义，并再次通过反例，使学生明确正比例意义的判断要素，进一步凸显正比例意义的本质属性，即比值一定，由此提炼出正比例关系的模型，即y / x=k（一定）。
教学片断：凸显核心特征，提炼正比例模型
师：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化，当路程和时间相对应的比的比值总是一定（也就是速度）时，我们就说路程和时间成正比例关系，路程和时间就是成正比例的量。
师：你也能像老师一样来说说总价和数量的关系吗？[随着学生交流，师板书：铅笔 / 数量=单价（一定）]
师：周长与边长成正比例关系吗？为什么？[板书：周长 / 边长=4（一定）]（生答略）
师：那刚才图二中高度和时间成正比例吗？为什么？表四中爸爸的年龄和小明的年龄成正比例吗？表五中正方形的面积和边长呢？（生答略）
师：看来，判断两种相关联的量是不是成正比例，必须符合哪些条件？（明确判断要素：相关联的量，变化方向一致，比值一定）其中最主要的特征又是什么？（板书：比值一定，只要比值一定，前两个条件也必然符合了） 师：如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用怎样的式子表示？[板书：y / x=k（一定）]
……
教学实践表明，丰富的学习素材，使学生经历“变化的量——两种相关联的量——一变化方向一致——不变的量——比值一定……y / x=k（一定）”的正比例意义的构建过程。
二、数形结合——促概念从表面到深层的理解
著名数学家华罗庚曾说過：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。应用数形结合思想，可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，促进概念理解从表面到深层的跃进。
1.几何直观，动态呈现过程
第一次教学，我和学生从对左下图的静态观察，发现横轴在变化——表示时间在推移，纵轴在变化——表示路程在变化，由此猜想“时间和路程的变化，路程随着时间的变化而变化”。但是，细细想来，这样的变化难道仅仅体现在横轴和纵轴上吗？显然不止。
“几何直观可以帮助学生直观地理解数学。”要突破这一认知局限，仅靠静态的想象是不够的，我认为要让变化过程“动”起来，就必须借助直观演示。因此，第二次教学，在学生认识“时间在变化，路程也随着变化”后，我先通过多媒体动态演示横轴上的时间点与直线上对应的点同时、连续运动变化的过程，再演示纵轴上的路程点与直线上对应的点同时、连续运动变化的过程，接着演示对应于直线上的一个点及路程和时间同时、连续运动变化的过程（如上右图）。由最初的静态观察改为现在的动态呈现，化静为动，让学生直观、形象地感受到时间和路程的变化，深刻认识相关联的量，为后面研究对应的路程和时间之间的关系做好准备。
2.一一对应，渗透函数思想
教学片断：探究两种相关联的量的变化规律
师：路程和时间是两种相关联的量，那路程是怎样随着时间的变化而变化的呢？你能找到哪些变化规律呢？
生：时间在增加，路程也在增加。
师：能具体说说吗？
学生由对图像的观察转到对表格的分析，发现一：随着这些点的变化，每个点所表示的时间在增加，相对应的路程也在增加，时间和路程是同时增加的，它们的变化方向是一致的；反过来看也如此。发现二：可以计算每个点所对应的路程和时间的比值，发现比值不变。
……
数学思想方法是形成数学意识和数学能力的桥梁，是灵活运用数学知识、数学技能和数学方法解决实际问题的灵魂。对图中规律的观察，我的教学定位是通过研究直线上的点，找到每个点所表示的时间和它对应的路程。通过这些变化的点的研究，不仅可以发现变化方向一致，更主要的是能发现不变的量，而要发现这个不变的量，则要利用以前学过的比的知识，将研究目光聚焦到路程和它对应的时间的比的比值的研究上。“变化”“不变”“对应”“比值”这些关键词即研究要素，从对图上点的直观理解到对点所对应的路程和时间的数据分析，从“变化”中发现“不变”，即对应的路程和时间的比值一定。这样教学，使图像、表格、式子在研究中实现了有效承接与转化，初步渗透了函数思想。
3.数形转化，实现回归和超越
教学片断：成正比例的量图像特征的猜想
师（出示表三、表五，略）：这是成正比例的两组量，表中的各组数据可以用图中的点来表示，想象一下，如果连接图中各点，会是什么形状？
生：会是一条直线。
（课件演示，发现确实是一条直线）
师：成正比例的两个量除了比值一定外，是不是还有其他特征呢？我们下节课继续学习！
……
在课的结尾由已经判断确认的两个成正比例量的例子，通过描点、猜想、连线，使学生对正比例的特征产生新的探究欲望，从而对正比例图像的特征产生初步的猜想。
总之，教师不仅要在揭示概念的内涵上下工夫，而且要从数学思想方法的高度进行概念教学，这样才能促进学生的数学理解，使学生获得所学的知识。
（责编 蓝 天）