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基础数学中蕴涵着一些具有奠基性作用的数学思想。它是在数学的发展过程中逐渐形成的,并对数学理论的建立和完善产生过深远的影响。深刻领会数学思想,对于数学的学习和研究具有重大的意义。下面我谈谈自己在几年数学教学研究中对数学思想的认识。
一、集合思想
集合是具有共同属性的一些事物的整体。集合论是近代数学的最基本的理论。运用集合论来解决数学问题的思想就是集合思想。在中学数学中,不等式的解集就是满足不等式的所有实数的集合。解方程组和不等式组运用了交集的概念,作加法可以说是运用了并集的概念,将有理数或实数进行分类,实际上运用了子集的概念。初中数学的不少章节都蕴涵着集合思想,集合思想已成为数学思想的基石,在数学教学中要认真领会和运用。
二、对应思想
对应思想本质上反映了两个集合的元素与元素之间的某种对应关系,当两个集合建立了某种对应时,这两个集合的元素和元素就发生了某种对应关系,运用两个集合元素之间的对应关系来处理数学问题的思想就是对应思想。在初中数学中,数轴上的点与实数有一一对应关系,坐标平面内的点与有序实数对具有一一对应关系,函数自变量与因变量之间具有对应关系,这都是运用了对应思想。
三、函数与方程思想
函数描述了自然界中量与量之间的某种依存关系,反映了一事物随另一事物的变化而变化的客观规律。在解决某些数学问题时,常常要抽象出问题的数学特征,建立一个恰当的函数关系,再利用该函数的性质来达到解决问题的目的。这种通过建立函数关系,并运用函数性质来解决数学问题的思想就是函数思想。集合思想是函数思想的基础,对应思想是函数思想的本质。方程是含有未知数和已知数的等式,任何一个联系生产和生活的数学问题,都有已知和未知两种情况,把已知和未知间的关系通过方程表达出来,再利用解方程的方法求得未知,这就是方程思想。方程是初中代数的核心,而函数是高中代数的主要组成部分,方程问题也可用函数思想去解决,而许多函数问题也可用方程的思想去解决。
四、数形结合思想
数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。数和形本来就具有密切的联系,数量关系常常有它的几何意义,几何图形的大小和形状常用数量和数学关系来表示。因此,我们在研究数量关系时往往联系到图形,在研究图形时,常常将其数量化,使数量关系和对应的图形结合起来,这就是数形结合思想。数形结合思想应用广泛,并对数学的发展产生了巨大的作用和深远的影响。笛卡尔发明坐标系这一数学工具,运用代数方法研究几何图形,使问题变得直观,特点变得鲜明突出,从而易于找到解法。因此,数形结合思想为数学问题的解决开辟了一条新的途径。
五、分类思想
当一个数学问题难以解决时,有时可按照某一标准把这个问题分成若干种不同的情况,然后对每种情况分别进行讨论,这种解决数学问题的思想就是分类思想。运用分类思想处理数学问题时要注意两点:一是不能遗漏;二是不能重复。分类思想在数学中的应用是很广泛的,对解决某些问题具有显著的作用。在概念教学中,为了明确概念的外延,常常要运用分类思想对概念进行分类,比如对三角形、四边形、多边形、方程、函数进行分类;在平面几何中研究直线和直线、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时,运用了分类思想;在研究函数时分成一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等,进行分类研究。总之,在解决数学问题时,常常要用到分类思想。
六、统计思想
利用样本的特征来估计总体的特征,从局部的性质来估计整体的性质,通过对数据的描述和整理寻找规律,从偶然中寻找必然,从现象中寻找本质,这种处理数学问题的思想就是抽样统计思想,简称统计思想。运用统计思想来处理问题,关键是抽样的科学性,即样本的代表性。这种思想在科技领域、工农业生产、质量检验以及教育评估等各个方面都具有广泛的实际应用。
七、转化思想
客观事物总是在不断变化的,并在一定条件下相互转化,反映在数学上,就是转化思想。转化思想是数学思想的核心,其内涵十分丰富。高维向低维转化、复杂向简单转化、抽象向直观转化、多元向一元转化、高次向低次转化、未知向已知转化、数与形的转化、一般与特殊的转化,在数学中无时不有、无处不在。转化思想贯穿于各级各类教材的始终,贯穿于解题过程中,是最重要、应用最广泛的数学思想之一。
运用集合思想、对应思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类思想、统计思想、转化思想,去处理问题,其目的是完成复杂向简单、抽象向直观、未知向已知的转化。同时,从学习的认知结构理论可知,数学学习的过程是认知的过程,其实质是数学认知结构发展变化的过程,我们所说的转化思想是数学思想的核心和灵魂。
这些基本的数学思想相互联系,形成了统一的数学思想体系。它对认知结构的发展起着重要的作用,是把知识转化为能力的桥梁。由于它比数学知识更抽象、更概括,学生难以从教材中独立获取,因而,教师对数学思想的教学应予以高度重视,使学生在教师的引导下逐步感受、领悟、理解并掌握数学思想。
一、集合思想
集合是具有共同属性的一些事物的整体。集合论是近代数学的最基本的理论。运用集合论来解决数学问题的思想就是集合思想。在中学数学中,不等式的解集就是满足不等式的所有实数的集合。解方程组和不等式组运用了交集的概念,作加法可以说是运用了并集的概念,将有理数或实数进行分类,实际上运用了子集的概念。初中数学的不少章节都蕴涵着集合思想,集合思想已成为数学思想的基石,在数学教学中要认真领会和运用。
二、对应思想
对应思想本质上反映了两个集合的元素与元素之间的某种对应关系,当两个集合建立了某种对应时,这两个集合的元素和元素就发生了某种对应关系,运用两个集合元素之间的对应关系来处理数学问题的思想就是对应思想。在初中数学中,数轴上的点与实数有一一对应关系,坐标平面内的点与有序实数对具有一一对应关系,函数自变量与因变量之间具有对应关系,这都是运用了对应思想。
三、函数与方程思想
函数描述了自然界中量与量之间的某种依存关系,反映了一事物随另一事物的变化而变化的客观规律。在解决某些数学问题时,常常要抽象出问题的数学特征,建立一个恰当的函数关系,再利用该函数的性质来达到解决问题的目的。这种通过建立函数关系,并运用函数性质来解决数学问题的思想就是函数思想。集合思想是函数思想的基础,对应思想是函数思想的本质。方程是含有未知数和已知数的等式,任何一个联系生产和生活的数学问题,都有已知和未知两种情况,把已知和未知间的关系通过方程表达出来,再利用解方程的方法求得未知,这就是方程思想。方程是初中代数的核心,而函数是高中代数的主要组成部分,方程问题也可用函数思想去解决,而许多函数问题也可用方程的思想去解决。
四、数形结合思想
数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。数和形本来就具有密切的联系,数量关系常常有它的几何意义,几何图形的大小和形状常用数量和数学关系来表示。因此,我们在研究数量关系时往往联系到图形,在研究图形时,常常将其数量化,使数量关系和对应的图形结合起来,这就是数形结合思想。数形结合思想应用广泛,并对数学的发展产生了巨大的作用和深远的影响。笛卡尔发明坐标系这一数学工具,运用代数方法研究几何图形,使问题变得直观,特点变得鲜明突出,从而易于找到解法。因此,数形结合思想为数学问题的解决开辟了一条新的途径。
五、分类思想
当一个数学问题难以解决时,有时可按照某一标准把这个问题分成若干种不同的情况,然后对每种情况分别进行讨论,这种解决数学问题的思想就是分类思想。运用分类思想处理数学问题时要注意两点:一是不能遗漏;二是不能重复。分类思想在数学中的应用是很广泛的,对解决某些问题具有显著的作用。在概念教学中,为了明确概念的外延,常常要运用分类思想对概念进行分类,比如对三角形、四边形、多边形、方程、函数进行分类;在平面几何中研究直线和直线、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时,运用了分类思想;在研究函数时分成一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等,进行分类研究。总之,在解决数学问题时,常常要用到分类思想。
六、统计思想
利用样本的特征来估计总体的特征,从局部的性质来估计整体的性质,通过对数据的描述和整理寻找规律,从偶然中寻找必然,从现象中寻找本质,这种处理数学问题的思想就是抽样统计思想,简称统计思想。运用统计思想来处理问题,关键是抽样的科学性,即样本的代表性。这种思想在科技领域、工农业生产、质量检验以及教育评估等各个方面都具有广泛的实际应用。
七、转化思想
客观事物总是在不断变化的,并在一定条件下相互转化,反映在数学上,就是转化思想。转化思想是数学思想的核心,其内涵十分丰富。高维向低维转化、复杂向简单转化、抽象向直观转化、多元向一元转化、高次向低次转化、未知向已知转化、数与形的转化、一般与特殊的转化,在数学中无时不有、无处不在。转化思想贯穿于各级各类教材的始终,贯穿于解题过程中,是最重要、应用最广泛的数学思想之一。
运用集合思想、对应思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类思想、统计思想、转化思想,去处理问题,其目的是完成复杂向简单、抽象向直观、未知向已知的转化。同时,从学习的认知结构理论可知,数学学习的过程是认知的过程,其实质是数学认知结构发展变化的过程,我们所说的转化思想是数学思想的核心和灵魂。
这些基本的数学思想相互联系,形成了统一的数学思想体系。它对认知结构的发展起着重要的作用,是把知识转化为能力的桥梁。由于它比数学知识更抽象、更概括,学生难以从教材中独立获取,因而,教师对数学思想的教学应予以高度重视,使学生在教师的引导下逐步感受、领悟、理解并掌握数学思想。