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自从有了导数，在高中阶段研究函数便有了便捷工具，利用导数可以方便地研究函数的单调性（进而研究函数的极值、最值）.主要有正、逆两方面的应用：正用——分析函数的单调性；逆用——已知函数在某区间上的单调性，求参数的取值范围.
利用导数研究函数单调性，方法不一，选择恰当的方法，简洁明了；反之，虽然也可以进行到最后，但是需要大量的计算.本文将各类方法进行了总结，并点明了注意问题，分析了各方法的优点、缺点、适用范围.
一、 正用
例1求函数y=3x2-2lnx的单调递增区间.
解析：函数的定义域为（0，+∞）
∵ f′(x)=6x-2x=2(3x2-1)x
∴ 令f′(x)＞0，结合x＞0，得x＞33
∴ f(x)的单调递增区间为33,+∞
【方法总结】用导数方法求函数单调区间：首先，求函数定义域、求导f′(x)；然后令f′(x)＞0得到函数的递增区间，令f′(x)＜0得到函数的递减区间.
二、 逆用
例2已知函数f(x)=x2+mx(常数m∈R）在x∈［2，+∞）上单调递增，求m的取值范围.
【方法一】若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈(a,b)上恒成立，且f′(x)=0的点是孤立的；若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f′(x)≤0在x∈(a,b)上恒成立，且f′(x)=0的点是孤立的.恒成立问题可以转化成求最值问题.
解析：∵ 函数f(x)=x2+mx（常数m∈R）在x∈［2，+∞）上单调递增，
∴ f′(x)=2x3-mx2≥0在x∈［2，+∞）上恒成立
∴ m≤2x3在x∈［2，+∞）上恒成立
∴ m≤（2x3）min，x∈［2，+∞)
∵ 当x∈［2，+∞）时，y=2x3是增函数
∴ （2x3）min=16∴ m≤16
当m=16时，f′(x)≥0且f′(x)=0的点是孤立的（只有f′(2)=0），∴ m=16合题
∴ m的取值范围为（-∞，16］
适用性分析：这是解决“逆用”问题的基本方法.注意检验f′(x)=0的点是否孤立.
例如：（1） 已知函数g(x)=ax+1在［1，2］上是减函数，则a的取值范围是a＞0（a=0时，经检验不合题）.
（2） 若函数f(x)=cosx+px+q在x∈R上是减函数，则p的取值范围是p≤-1（p=-1时，f′(x)=0的点有无数个，但这些点是孤立的，故p=-1合题）
【方法二】首先用m表示出f(x)的单调递增区间（a,b），然后根据关系［2，+m）(a,b)得出m的取值范围.
解析：f(x)的定义域为{x|x≠0}
∵ f′(x)=2x3-mx2，令f′(x)＞0，得x＞3m2
∴ f(x)的单调递增区间为（3m2，+∞）
∵ f(x)在x∈［2，+∞）时单调递增
∴ 3m2≤2解得m≤16
∴ m的取值范围为（-∞，16］
适用性分析：该法思路清晰、简单明了，但有时涉及解无理不等式，需要分类讨论，运算量大.例如（例3）：已知函数f(x)=x3+mx2+x+1（a2＞3）在-23，-13上单调递减，求m的取值范围.利用该法需要解不等式组-a-a2-33≤-23
-a+a2-33≥-13，诸多不便.
那么，象上面的例3，该怎样解决呢？
【方法三】二次函数法，结合二次函数性质，寻求使得导数恒≥0（或恒≤0）成立的充要条件.
解析：∵ 函数f(x)=x3+mx2+x+1（a2＞3）在-23，-13上单调递减
∴ f′(x)=3x2+2mx+1≤0在x∈-23，-13上恒成立
∴ f′-23≤0
f′-13≤0即73-4m3≤0
43-2m3≤0解得m≥2
∴ m的取值范围是［2，+∞）
适用性分析：（1） 适用面窄，只有当f(x)是三次函数（此时，其导数为二次函数）时，才可用该法；（2） 列出的条件容易不充分（少条件）或不必要（多条件），需要进行严谨的分析.一般的解决二次函数问题可以从以下四个方面入手：① 开口方向② 对称轴③ 判别式④ 端点处函数值.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
利用导数研究函数单调性，方法不一，选择恰当的方法，简洁明了；反之，虽然也可以进行到最后，但是需要大量的计算.本文将各类方法进行了总结，并点明了注意问题，分析了各方法的优点、缺点、适用范围.
一、 正用
例1求函数y=3x2-2lnx的单调递增区间.
解析：函数的定义域为（0，+∞）
∵ f′(x)=6x-2x=2(3x2-1)x
∴ 令f′(x)＞0，结合x＞0，得x＞33
∴ f(x)的单调递增区间为33,+∞
【方法总结】用导数方法求函数单调区间：首先，求函数定义域、求导f′(x)；然后令f′(x)＞0得到函数的递增区间，令f′(x)＜0得到函数的递减区间.
二、 逆用
例2已知函数f(x)=x2+mx(常数m∈R）在x∈［2，+∞）上单调递增，求m的取值范围.
【方法一】若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈(a,b)上恒成立，且f′(x)=0的点是孤立的；若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f′(x)≤0在x∈(a,b)上恒成立，且f′(x)=0的点是孤立的.恒成立问题可以转化成求最值问题.
解析：∵ 函数f(x)=x2+mx（常数m∈R）在x∈［2，+∞）上单调递增，
∴ f′(x)=2x3-mx2≥0在x∈［2，+∞）上恒成立
∴ m≤2x3在x∈［2，+∞）上恒成立
∴ m≤（2x3）min，x∈［2，+∞)
∵ 当x∈［2，+∞）时，y=2x3是增函数
∴ （2x3）min=16∴ m≤16
当m=16时，f′(x)≥0且f′(x)=0的点是孤立的（只有f′(2)=0），∴ m=16合题
∴ m的取值范围为（-∞，16］
适用性分析：这是解决“逆用”问题的基本方法.注意检验f′(x)=0的点是否孤立.
例如：（1） 已知函数g(x)=ax+1在［1，2］上是减函数，则a的取值范围是a＞0（a=0时，经检验不合题）.
（2） 若函数f(x)=cosx+px+q在x∈R上是减函数，则p的取值范围是p≤-1（p=-1时，f′(x)=0的点有无数个，但这些点是孤立的，故p=-1合题）
【方法二】首先用m表示出f(x)的单调递增区间（a,b），然后根据关系［2，+m）(a,b)得出m的取值范围.
解析：f(x)的定义域为{x|x≠0}
∵ f′(x)=2x3-mx2，令f′(x)＞0，得x＞3m2
∴ f(x)的单调递增区间为（3m2，+∞）
∵ f(x)在x∈［2，+∞）时单调递增
∴ 3m2≤2解得m≤16
∴ m的取值范围为（-∞，16］
适用性分析：该法思路清晰、简单明了，但有时涉及解无理不等式，需要分类讨论，运算量大.例如（例3）：已知函数f(x)=x3+mx2+x+1（a2＞3）在-23，-13上单调递减，求m的取值范围.利用该法需要解不等式组-a-a2-33≤-23
-a+a2-33≥-13，诸多不便.
那么，象上面的例3，该怎样解决呢？
【方法三】二次函数法，结合二次函数性质，寻求使得导数恒≥0（或恒≤0）成立的充要条件.
解析：∵ 函数f(x)=x3+mx2+x+1（a2＞3）在-23，-13上单调递减
∴ f′(x)=3x2+2mx+1≤0在x∈-23，-13上恒成立
∴ f′-23≤0
f′-13≤0即73-4m3≤0
43-2m3≤0解得m≥2
∴ m的取值范围是［2，+∞）
适用性分析：（1） 适用面窄，只有当f(x)是三次函数（此时，其导数为二次函数）时，才可用该法；（2） 列出的条件容易不充分（少条件）或不必要（多条件），需要进行严谨的分析.一般的解决二次函数问题可以从以下四个方面入手：① 开口方向② 对称轴③ 判别式④ 端点处函数值.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文