论文部分内容阅读
【摘要】本文试对一道国外竞赛题进行多角度的探究.
【关键词】向量；复数；三角函数；解析几何；探究
问题在长、宽分别为7和8的矩形内，放置了如图1的5个大小相同的正方形，求正方形的边长.
图1 图2 图3 图4
解如图2，以B为原点，BC、BA为坐标轴建立直角坐标系.
设PQ=（a,-b），则PR=（b,a）．
PT=3PQ+PR=(3a+b,a-3b),SU=-2PQ+3PR=(-2a+3b,3a+2b)，
得方程组7=3a+b,
8=2b+3a.解出a=2,
b=1.
所以，正方形的边长为|PQ|=a2+b2=5．
以上内容摘自《日本奥赛选拔初试中的几何问题选》（袁桐《数学教学》）,上面解法是利用向量知识来求解，此外本题还可以从复数、三角函数和解析几何的角度进行探究.
1.从复数的角度探究
平面向量与复数是高中数学的重要内容，联系紧密.随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现.复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.
解如图2，以B为原点，BC、BA为坐标轴建立直角坐标系.
设PQ对应的复数为z1=a+bi(a,b∈R)，
则PR对应的复数为z2=i(a+bi)=-b+ai，
∴PT对应的复数为z3=3z1+z2=(3a-b)+(3b+a)i，
∴3a-b=7（1）
∴SU对应的复数为z4=3z2-2z1=(-3b-2a)+(3a-2b)i,
∴3a-2b=8（2）
由（1）（2）解得a=2,b=-1.
∴正方形的边长为a2+b2=5.
解后反思利用复数与平面向量的联系，由向量向复数表示上的转化，其特点是：转化为复数问题后能构造出复数的某些结论或某些代数公式，从而通过它们去实现目标完成.这样，借复数之力去解决相关问题，有返璞归真之感.
2.从三角函数角度探究
三角函数是以角为自变量的函数，它作为一种工具和其他知识如向量、几何、解三角形等知识联系密切.在以几何图形为背景的题目中，往往通过设角建立三角式，进行三角变换转化为三角函数问题来解决.
解如图3，作VM⊥AB，垂足为M，VN⊥BC，垂足为N，
RO⊥AD，垂足為O，RW⊥DC，垂足为W.
设∠APU=θ，小正方形边长为a(a>0).
易得AP=2acosθ，PM=2asinθ,MB=acosθ.
由AP+PM+MB=AB，得
2acosθ+2asinθ+acosθ=8,
即3acosθ+2asinθ=8.（1）
同理：AO=asinθ,OD=3acosθ.
由AO+OD=AD，得
asinθ+3acosθ=7.（2）
解（1）（2）两式，得
cosθ=2a,
sinθ=1a.由sin2θ+cos2θ=1可得a=5.
解后反思恰当地设角，引进三角函数可以简化问题的解决过程.这正是三角函数的魅力所在.
3.从解析几何角度探究
平面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征，但是解析几何题一般来说计算量较大且有一定的技巧性，需要“精打细算”.
解建立如图4所示的直角坐标系，设小正方形边长为a(a>0),则U(-a,2a),P(-a,0),Q(2a,a),S(a,-a).
设直线AD的斜率为k(k>0)，可得lAD∶y=kx+ka+2a;
lBC∶y=kx-ka-a；lAB∶y=-1kx-1ka；lDC∶y=-1kx+2ka+a.
由AB=8,得|2ka+3a|1+k2=8.（1）
由BC=7,得3ka+a1+1k2=7.（2）
求解（1）（2）两式可得k=12,
a=5.
解后反思：充分利用图形的直观性和平面几何相关知识来解答问题，体现出数形结合的思想方法.
数学教学离不开解题，激发学生对解题的兴趣，提高解题教学的效率，是值得研究的一个重要课题.实践让我们深切地体会到：在课堂教学中实施多角度的探究，根据内容选择和运用不同的探究方法，有助于学生体验探究的过程、感受成功的乐趣.
【参考文献】
袁桐.日本奥赛选拔初试中的几何问题选［J］．数学教学，2008(2).
【关键词】向量；复数；三角函数；解析几何；探究
问题在长、宽分别为7和8的矩形内，放置了如图1的5个大小相同的正方形，求正方形的边长.
图1 图2 图3 图4
解如图2，以B为原点，BC、BA为坐标轴建立直角坐标系.
设PQ=（a,-b），则PR=（b,a）．
PT=3PQ+PR=(3a+b,a-3b),SU=-2PQ+3PR=(-2a+3b,3a+2b)，
得方程组7=3a+b,
8=2b+3a.解出a=2,
b=1.
所以，正方形的边长为|PQ|=a2+b2=5．
以上内容摘自《日本奥赛选拔初试中的几何问题选》（袁桐《数学教学》）,上面解法是利用向量知识来求解，此外本题还可以从复数、三角函数和解析几何的角度进行探究.
1.从复数的角度探究
平面向量与复数是高中数学的重要内容，联系紧密.随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现.复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.
解如图2，以B为原点，BC、BA为坐标轴建立直角坐标系.
设PQ对应的复数为z1=a+bi(a,b∈R)，
则PR对应的复数为z2=i(a+bi)=-b+ai，
∴PT对应的复数为z3=3z1+z2=(3a-b)+(3b+a)i，
∴3a-b=7（1）
∴SU对应的复数为z4=3z2-2z1=(-3b-2a)+(3a-2b)i,
∴3a-2b=8（2）
由（1）（2）解得a=2,b=-1.
∴正方形的边长为a2+b2=5.
解后反思利用复数与平面向量的联系，由向量向复数表示上的转化，其特点是：转化为复数问题后能构造出复数的某些结论或某些代数公式，从而通过它们去实现目标完成.这样，借复数之力去解决相关问题，有返璞归真之感.
2.从三角函数角度探究
三角函数是以角为自变量的函数，它作为一种工具和其他知识如向量、几何、解三角形等知识联系密切.在以几何图形为背景的题目中，往往通过设角建立三角式，进行三角变换转化为三角函数问题来解决.
解如图3，作VM⊥AB，垂足为M，VN⊥BC，垂足为N，
RO⊥AD，垂足為O，RW⊥DC，垂足为W.
设∠APU=θ，小正方形边长为a(a>0).
易得AP=2acosθ，PM=2asinθ,MB=acosθ.
由AP+PM+MB=AB，得
2acosθ+2asinθ+acosθ=8,
即3acosθ+2asinθ=8.（1）
同理：AO=asinθ,OD=3acosθ.
由AO+OD=AD，得
asinθ+3acosθ=7.（2）
解（1）（2）两式，得
cosθ=2a,
sinθ=1a.由sin2θ+cos2θ=1可得a=5.
解后反思恰当地设角，引进三角函数可以简化问题的解决过程.这正是三角函数的魅力所在.
3.从解析几何角度探究
平面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征，但是解析几何题一般来说计算量较大且有一定的技巧性，需要“精打细算”.
解建立如图4所示的直角坐标系，设小正方形边长为a(a>0),则U(-a,2a),P(-a,0),Q(2a,a),S(a,-a).
设直线AD的斜率为k(k>0)，可得lAD∶y=kx+ka+2a;
lBC∶y=kx-ka-a；lAB∶y=-1kx-1ka；lDC∶y=-1kx+2ka+a.
由AB=8,得|2ka+3a|1+k2=8.（1）
由BC=7,得3ka+a1+1k2=7.（2）
求解（1）（2）两式可得k=12,
a=5.
解后反思：充分利用图形的直观性和平面几何相关知识来解答问题，体现出数形结合的思想方法.
数学教学离不开解题，激发学生对解题的兴趣，提高解题教学的效率，是值得研究的一个重要课题.实践让我们深切地体会到：在课堂教学中实施多角度的探究，根据内容选择和运用不同的探究方法，有助于学生体验探究的过程、感受成功的乐趣.
【参考文献】
袁桐.日本奥赛选拔初试中的几何问题选［J］．数学教学，2008(2).