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数形结合思想是高中数学主要的四大思想之一，是每年高考试题必考的内容，高考试题常以下列方式出现：①研究方程根的情况，②讨论函数的值域，③求变量的取值范围，④解不等式．“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征．
笔者就常用的“以形定数”的工具归纳如下，以求抛砖引玉之效．
一、实数与数轴上的点的对应关系
例1已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是________．
解析：（1）a≤-2；
∵A={x|-2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用数轴上覆盖关系，因此有a≤-2．
点评：利用韦恩图和数轴可以直观地解决集合问题.
二、函数与图象的对应关系
例2设A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}，若CB，求实数a的取值范围．
分析：解决本题的关键是依靠二次函数在区间上的值域求法确定集合C，进而用不等式将CB这一集合语言加以转化．考生在确定z=x2，x∈的值域是易出错，不能分类而论．巧妙观察图象将是上策．不能漏掉a＜-2这一种特殊情形．
解：∵y=2x+3在上是增函数，∴B={y|-1≤y≤2a+3}．
作出函数z=x2的图象，其定义域右端点x=a有三种不同的位置关系：
①当-2≤a≤0时，如图1，a2≤z≤4，即｛z|a2≤z≤4｝．
要使CB，必须且只需2a+3≥4，解得a≥12，与-2≤a≤0矛盾．
②当0 要使CB，必须且只需2a+3≥40≤a≤2 ，解得12≤a≤2．
③当a>2时，如图3，0≤z≤a2，即｛z|0≤z≤a2｝．
要使CB，必须且只需a2≤2a+3a>2 ，解得2<a≤3．
④当a<-2时，A=Φ，此时B=C=Φ，CB成立．
综上所述，a的取值范围是(-∞,-2)∪12,3〗．
评注：解决集合问题首先要看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为数学语言，进而分析条件与结论的特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决．
对于二次函数在闭区间上的最值问题，应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，借助图象的直观形象，达到解决问题的目的．
三、曲线与方程的对应关系
例3若直线y=x+k与曲线x=1-y2恰有一个公共点，求k的取值范围．
解：（代数法）曲线方程可化为x2+y2=1(x≥0)，把y=x+k代入x2+y2=1(x≥0)
可得：2x2+2kx+k2-1=0（x≥0），由题意可知方程仅有一个非负根,
①当方程有等根时，即Δ=(2k)2-8(k2-1)=0，可得k=±2，当k=2时，方程可化为2x2+22x+1=0，得x=-22不合题意；当k=-2时，方程为2x2-22x+1=0
得x=22符合题意，可知k=-2；
②当方程根为x=0时，得k2-1=0，k=±1，当k=-1时，方程为2x2-2x=0，得方程两个根为x1=0，x2=1不合题意应舍去；当k=1时，方程为2x2+2x=0，得方程两个根为x1=0，x2=-1适合题意，可知k=1；
③当方程根为一正一负时，只需x1x2=k2-12<0，可得-1 综上所述：所求 k的取值范围为k=-2或-1<k≤1．
（几何法）曲线x=1-y2是单位圆x2+y2=1的右半圆（x≥0），
k是直线y=x+k在y轴上的截距．在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：
直线与曲线相切时，k=-2，由图形：可得k=-2或-1
上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几何法即一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用．
例4已知a＞0且a≠1,试求使方程2log(x-ak)=log(x2-a2)有解的实数k的取值范围．
解：原方程等价于0＜x-ak＝x2-a2
构造曲线C:y=x2-a2,直线l:y= x-ak
从而使问题转化为直线l和双曲线C:x2-y2=a2(y≥0)x轴上半部分有交点，求实数k的取值范围,如图所示：
有三条临界直线l1,l2,l3
①当l在l1和l2之间时，直线l在y轴上的截距
-ak满足-a＜-ak＜0时L与C有一个交点，解之可得0＜k＜1.
②当l在l3上方时，直线l在y轴上的截距-ak满足a＜-ak时l与C有一个交点，解之可得k＜-1.
综合①②可得，所求k的取值范围是{k|k<-1或0
例5求函数y=2t+4+6-t的值域．
解：设m=2t+4,n=6-t,则m2+n2=16 (0≤m≤4,0≤n≤22).
原函数可变形为y=m+n, y表示直线在n轴上的截距，结合图形可知ymin=22,ymax=26.
点评：这两道题目可以建立目标函数，然后利用求函数最值的方法解决，但利用椭圆曲线定义数形结合求解，事半功倍，迅速而准确．
四、概念本身的几何意义
例6求函数f(x)=x2+4+x2+2x+1的最小值．
分析：f(x)=(x-0)2+(0-2)2+(x+1)2+(0-0)2
∴f(x)的值是动点P(x,0)到两个定点A(0,2)与B(-1,0)的距离之和．由图知（图略），当且仅当P与B重合（即x=-1）时，f(x)min=f(-1)=5.
推广：若把动点P的活动范围从x轴上放宽到整个坐标平面，就可解下面的思考题.
思考题：求函数f(x,y)=x2+y2-4y+4+x2+y2+2x+1的最小值．请读者不妨一试．
五、所给等式的结构有明显几何意义
例7已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α-β≠kπ, k∈Z)
求证：cos2α-β2=c2a2+b2．
分析：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力,属较难的题目．解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程．进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上．考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一．如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二．
证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图．
从而：｜AB｜2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2cos(α-β)
又∵单位圆的圆心到直线l的距离d=|c|a2+b2
由平面几何知识知｜OA｜2-(12｜AB｜)2=d2即1-2-2cos(α-β)4=d2=c2a2+b2
∴cos2α-β2=c2a2+b2．
评析：解答此类题目的技巧与方法就是：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题．
例8求函数y=sinx+2cosx-2的值域．
分析：本题可以把函数化为关于x的三角函数，然后利用其有界性求值域，但其运算量大，对学生的运算能力有较高要求，有一定难度．此题可看成过两点M（cosx,sinx）,N(2,-2)构成直线的斜率的范围，又M（cosx,sinx）在一个单位圆上，故可构造图像求此函数值域．
解：y=sinx+2cosx-2的形式类似于斜率公式k=y2-y1x2-x1
y=sinx+2cosx-2表示过两点M（cosx,sinx）,P(2,-2)构成直线的斜率
由于点M在单位圆x2+y2=1上，如图，
显然kPA≤y≤kPB，设过P的圆的切线方程为y+2=k(x-2)
则有|2k+2|k2+1=1，解得k=-4±73，即kPA=-4-73，
kPB=-4+73，∴-4-73≤y≤-4+73
∴函数值域为-4-73，-4+73〗.
评注：本题考查了三角函数值域与直线斜率之间的内在联系，同时考查了学生数形结合的能力．
在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质、化简的形式通过构造思想融于函数的图象之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种思维策略．
数形结合思想方法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面:
(1)以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.
(2)以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些数学问题，可起到事半功倍的效果．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事非”． “数”与“形”反映了事物两个方面的属性．我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．解题时放开我们的思维，多动动脑子，挖掘事物的本质，有机地把数形结合起来，会给我们带来无限的惊喜．
（作者：束颖春,江苏省苏州第十中学）
笔者就常用的“以形定数”的工具归纳如下，以求抛砖引玉之效．
一、实数与数轴上的点的对应关系
例1已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是________．
解析：（1）a≤-2；
∵A={x|-2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用数轴上覆盖关系，因此有a≤-2．
点评：利用韦恩图和数轴可以直观地解决集合问题.
二、函数与图象的对应关系
例2设A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}，若CB，求实数a的取值范围．
分析：解决本题的关键是依靠二次函数在区间上的值域求法确定集合C，进而用不等式将CB这一集合语言加以转化．考生在确定z=x2，x∈的值域是易出错，不能分类而论．巧妙观察图象将是上策．不能漏掉a＜-2这一种特殊情形．
解：∵y=2x+3在上是增函数，∴B={y|-1≤y≤2a+3}．
作出函数z=x2的图象，其定义域右端点x=a有三种不同的位置关系：
①当-2≤a≤0时，如图1，a2≤z≤4，即｛z|a2≤z≤4｝．
要使CB，必须且只需2a+3≥4，解得a≥12，与-2≤a≤0矛盾．
②当0
③当a>2时，如图3，0≤z≤a2，即｛z|0≤z≤a2｝．
要使CB，必须且只需a2≤2a+3a>2 ，解得2<a≤3．
④当a<-2时，A=Φ，此时B=C=Φ，CB成立．
综上所述，a的取值范围是(-∞,-2)∪12,3〗．
评注：解决集合问题首先要看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为数学语言，进而分析条件与结论的特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决．
对于二次函数在闭区间上的最值问题，应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，借助图象的直观形象，达到解决问题的目的．
三、曲线与方程的对应关系
例3若直线y=x+k与曲线x=1-y2恰有一个公共点，求k的取值范围．
解：（代数法）曲线方程可化为x2+y2=1(x≥0)，把y=x+k代入x2+y2=1(x≥0)
可得：2x2+2kx+k2-1=0（x≥0），由题意可知方程仅有一个非负根,
①当方程有等根时，即Δ=(2k)2-8(k2-1)=0，可得k=±2，当k=2时，方程可化为2x2+22x+1=0，得x=-22不合题意；当k=-2时，方程为2x2-22x+1=0
得x=22符合题意，可知k=-2；
②当方程根为x=0时，得k2-1=0，k=±1，当k=-1时，方程为2x2-2x=0，得方程两个根为x1=0，x2=1不合题意应舍去；当k=1时，方程为2x2+2x=0，得方程两个根为x1=0，x2=-1适合题意，可知k=1；
③当方程根为一正一负时，只需x1x2=k2-12<0，可得-1
（几何法）曲线x=1-y2是单位圆x2+y2=1的右半圆（x≥0），
k是直线y=x+k在y轴上的截距．在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：
直线与曲线相切时，k=-2，由图形：可得k=-2或-1
上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几何法即一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用．
例4已知a＞0且a≠1,试求使方程2log(x-ak)=log(x2-a2)有解的实数k的取值范围．
解：原方程等价于0＜x-ak＝x2-a2
构造曲线C:y=x2-a2,直线l:y= x-ak
从而使问题转化为直线l和双曲线C:x2-y2=a2(y≥0)x轴上半部分有交点，求实数k的取值范围,如图所示：
有三条临界直线l1,l2,l3
①当l在l1和l2之间时，直线l在y轴上的截距
-ak满足-a＜-ak＜0时L与C有一个交点，解之可得0＜k＜1.
②当l在l3上方时，直线l在y轴上的截距-ak满足a＜-ak时l与C有一个交点，解之可得k＜-1.
综合①②可得，所求k的取值范围是{k|k<-1或0
例5求函数y=2t+4+6-t的值域．
解：设m=2t+4,n=6-t,则m2+n2=16 (0≤m≤4,0≤n≤22).
原函数可变形为y=m+n, y表示直线在n轴上的截距，结合图形可知ymin=22,ymax=26.
点评：这两道题目可以建立目标函数，然后利用求函数最值的方法解决，但利用椭圆曲线定义数形结合求解，事半功倍，迅速而准确．
四、概念本身的几何意义
例6求函数f(x)=x2+4+x2+2x+1的最小值．
分析：f(x)=(x-0)2+(0-2)2+(x+1)2+(0-0)2
∴f(x)的值是动点P(x,0)到两个定点A(0,2)与B(-1,0)的距离之和．由图知（图略），当且仅当P与B重合（即x=-1）时，f(x)min=f(-1)=5.
推广：若把动点P的活动范围从x轴上放宽到整个坐标平面，就可解下面的思考题.
思考题：求函数f(x,y)=x2+y2-4y+4+x2+y2+2x+1的最小值．请读者不妨一试．
五、所给等式的结构有明显几何意义
例7已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α-β≠kπ, k∈Z)
求证：cos2α-β2=c2a2+b2．
分析：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力,属较难的题目．解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程．进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上．考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一．如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二．
证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图．
从而：｜AB｜2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2cos(α-β)
又∵单位圆的圆心到直线l的距离d=|c|a2+b2
由平面几何知识知｜OA｜2-(12｜AB｜)2=d2即1-2-2cos(α-β)4=d2=c2a2+b2
∴cos2α-β2=c2a2+b2．
评析：解答此类题目的技巧与方法就是：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题．
例8求函数y=sinx+2cosx-2的值域．
分析：本题可以把函数化为关于x的三角函数，然后利用其有界性求值域，但其运算量大，对学生的运算能力有较高要求，有一定难度．此题可看成过两点M（cosx,sinx）,N(2,-2)构成直线的斜率的范围，又M（cosx,sinx）在一个单位圆上，故可构造图像求此函数值域．
解：y=sinx+2cosx-2的形式类似于斜率公式k=y2-y1x2-x1
y=sinx+2cosx-2表示过两点M（cosx,sinx）,P(2,-2)构成直线的斜率
由于点M在单位圆x2+y2=1上，如图，
显然kPA≤y≤kPB，设过P的圆的切线方程为y+2=k(x-2)
则有|2k+2|k2+1=1，解得k=-4±73，即kPA=-4-73，
kPB=-4+73，∴-4-73≤y≤-4+73
∴函数值域为-4-73，-4+73〗.
评注：本题考查了三角函数值域与直线斜率之间的内在联系，同时考查了学生数形结合的能力．
在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质、化简的形式通过构造思想融于函数的图象之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种思维策略．
数形结合思想方法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面:
(1)以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.
(2)以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些数学问题，可起到事半功倍的效果．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事非”． “数”与“形”反映了事物两个方面的属性．我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．解题时放开我们的思维，多动动脑子，挖掘事物的本质，有机地把数形结合起来，会给我们带来无限的惊喜．
（作者：束颖春,江苏省苏州第十中学）