柯西不等式与最值

• 作 者: 叶彬
• 出 处: 中学生数理化·学习研究
• 发表日期: 2017年8期
• 关键词: 柯西不等式 最值问题 均值不等式 高中数学 利用

　　最值问题在高中数学中是经常遇到的一类题型，求最值的方法很多，但最常用的还是利用不等式规律，如均值不等式、柯西不等式等。下面就来谈谈利用柯西不等式求最值这种方法的应用。
　　柯西不等式：设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则：
　　（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n）。
　　当向量（a1，a2，…，an）与（b1，b2，…，bn）共线时，等号成立。
　　例1设实数a，b，c，d，e满足：
　　a+b+c+d+e=8，
　　a2+b2+c2+d2+e2=16。
　　求实数e的最大值。
　　解：将题设条件变形为：
　　a+b+c+d=8-e，
　　a2+b2+c2+d2=16-e2。
　　由柯西不等式得：（1·a+1·b+1·c+1·d）2
　　≤（12+12+12+12）（a2+b2+c2+d2）。
　　即（8-e）2≤4（16-e2）。
　　即5e2-16e≤0。
　　解得0≤e≤165。
　　所以，當a=b=c=d=65时，实数e取得最大值165。
　　点评：本题为了求出实数e的最大值，要想方设法构造成柯西不等式，然后才能利用柯西不等式求最大值。
　　例2△ABC的三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分别为x，y，z，求x2+y2+z2的最小值。
　　分析：因为P到三边的距离分别为x，y，z，从而可以想到三角形的面积，而计算三角形的面积时，根据条件易知用海伦公式最简单，最后利用柯西不等式可以求最值。
　　解：由△ABC的三边长分别为4，5，6得三角形周长的一半为：
　　p=4+5+62=152。
　　所以S△ABC=p（p-a）（p-b）（p-c）=1574。
　　因为S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC，
　　所以1574=12（4x+5y+6z）。
　　即4x+5y+6z=1572。
　　又因为 （a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n），
　　所以（4x+5y+6z）2≤（42+52+62）（x2+y2+z2）。
　　即152×74≤77（x2+y2+z2）。
　　所以x2+y2+z2≥22544。
　　即x2+y2+z2的最小值为22544。
　　点评：本题的解题关键在于把△ABC的面积表示成三个小三角形的面积之和，即S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC，从而得到4x+5y+6z=1572，最后即可利用柯西不等式求x2+y2+z2的最小值。
　　作者单位：江苏省沭阳高级中学