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有人说：“数学就像一棵郁郁葱葱的参天大树，各知识点就是它的枝节. ”由此可见，数学各知识点之间联系密切，任何一个知识点出了问题都不能形成一个较完整的数学知识结构. 本文就平时学生习题中常出现的错误进行整理，希望同学们能够“以错为鉴”，避免再犯类似的错误.
一、 定义理解不透彻
例1 下列方程是一元二次方程的是______.
①x2 1=0，②x2=0，③x 1=0，④2x（x 2）=2x2，⑤ax2 bx c=0，⑥x2 2x =0.
【错解】①、②、③、④、⑤.
【剖析】一元二次方程满足的条件是：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数为2；（3）整式方程.一元二次方程的一般形式为ax2 bx c=0（a≠0）.③不是一元二次方程，因为没有注意到等号的两边应该都是整式；④不是一元二次方程，因为将方程整理为一般形式后，没有二次项；⑤不是一元二次方程，因为没有指出二次项系数a不为0；⑥是一元二次方程，和都是整式. 所以，是一元二次方程的有： ①、②、⑥.
二、 忽视二次项系数不为零
例2 方程（k 1）xk2 1 4x-5=0是关于x的一元二次方程，求k的值.
【错解】根据题意可得k2 1=2，∴k=±1.
【剖析】在解本题过程中忽略了一元二次方程二次项系数不为零的条件.
解：根据题意得，k2 1=2，∴k=±1，又k 1≠0，即k≠-1，∴k=1.
三、 混淆方程只有一个实数根与方程有两个相等的实数根
例3 关于x的方程（m2-1）x2 （2m 2）x 1=0只有一个实数根，求m的值.
【错解】∵关于x的方程只有一个实数根，
∴b2-4ac=（2m 2）2-4（m2-1）=8m 8=0，
∴m=-1.
【剖析】方程有一个实数根，暗示这个方程是一元一次方程，错解中误认为它与一元二次方程有两个相等的实数根是等同的.
解：∵关于x的方程只有一个实数根，
∴这个方程是一元一次方程，即m2-1=0且2m 2≠0. ∴m=1.
四、 方程类型不明确时，漏掉方程为一元一次方程的情况.
例4 （2012·山东德州）若关于x的方程ax2 2（a 2）x a=0有实数解，那么实数a的取值范围是______.
【错解】a≠0，
[2（a 2）]2-4·a·a≥0，
即a≠0，
a≥-1.
∴当a≥-1且a≠0时，方程有实根.
【剖析】已知条件中二次项系数是一个字母，方程有解并不意味着该方程一定为一元二次方程，上述解答过程只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况，忽略了该方程为一元一次方程的情况.
解：①当a=0时，方程4x=0，x=0；
②当a≠0时，一元二次方程有实根，
所以a≠0，
[2（a 2）]2-4·a·a≥0，
即a≠0，
a≥-1.
所以a≥-1且a≠0.
综合①、②，当a≥-1时，
方程ax2 2（a 2）x a=0有实数解.
五、 盲目“套用”求根公式
例5 用公式法解方程x2 7x=5.
【错解】∵a=1，b=7，c=5，
∴b2-4ac=72-4×1×5=29，
∴x==，
即x1=，x2=.
【剖析】用公式法求解一元二次方程时应先将方程化成一般形式ax2 bx c=0（a≠0），错解中没有将方程化成“一般式”，误认为常数项c=5.
解：移项得x2 7x-5=0，
∵a=1，b=7，c=-5，
∴b2-4ac=72-4×1×（-5）=69，
∴x==，
即x1=，x2=.
六、 误用性质导致丢根
例6 解方程：（x 1）2=2（x 1）.
【错解】方程两边同除以（x 1），得x 1=2，所以x=1.
【剖析】错解中，方程两边同除以因式x 1，没有考虑到x 1=0的情况，造成丢根.
解：原方程可变形为（x 1）2-2（x 1）=0，（x 1）（x 1-2）=0，（x 1）（x-1）=0，所以x1=1，x2=-1.
七、 忽视一元二次方程的根为负数
例7 已知α，β为一元二次方程x2 7x 5=0的两实数根，求 的值.
【错解】∵α，β为一元二次方程x2 7x 5=0的两实数根，
∴α β=-=-7，αβ==5，
∴ = ===-.
【剖析】由一元二次方程根与系数的关系得到α β=-=-7，αβ==5，这说明α，β同为负数，所以在对 化简时应注意符号问题.
解：∵α，β为一元二次方程x2 7x 5=0的两实数根，
∴α β=-=-7，αβ==5.
∴ = =
-=-=.
八、 忽略一元二次方程有实根的条件
例8 （2014·山东烟台）关于x的方程x2-mx 2m=0的两根的平方和是5，则m的值是（ ）.
A. -1或5 B. 1
C. 5 D. -1
【错解】设方程的两根为x1，x2，则x1 x2=m，x1·x2=2m，
∵x2 1 x2 2=5， ∴（x1 x2）2-2x1·x2=5，
∴m2-4m-5=0，
∴m1=5，m2=-1，故选A.
【剖析】当a=5时b2-4ac=（-5）2-4×1×10=-15<0，此时方程无解，错解中忽略了一元二次方程有实根时必须满足b2-4ac≥0这一条件.
解：设方程的两根为x1，x2，则x1 x2=m，x1·x2=2m，
∵x2 1 x2 2=5，
∴（x1 x2）2-2x1·x2=5，
∴m2-4m-5=0，∴m1=5，m2=-1.
∵b2-4ac=m2-8m≥0，
∴m≠5，故m=-1. 选 D.
九、 未充分利用题目中的条件
例9 如图1，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25 m），现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当AB的长度为多少时能使矩形花园的面积为300 m2.
【错解】设AB=x m，则BC=（50-2x） m.
根据题意得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15，
答：当AB的长为15米或10米时能使矩形花园的面积为300 m2.
【剖析】对于一些方程根的取舍问题，关键是要读懂题目的意思，充分考虑到题目给出的条件或者隐含条件. 错解中没有注意到围墙MN最长可利用25 m，当AB=10时，BC=50-2×10=30>25， 不符合题意，应舍去.
解：设AB=x m，则BC=（50-2x） m.
根据题意得，x（50-2x）=300，
解得：x1=10，x2=15.
当x=10时，BC=50-2×10=30>25，不合题意，舍去；
当x=15时，BC=50-2×15=20<25.
答：当AB的长为15 m时能使矩形花园的面积为300 m2.
相信同学们会结合以上错解剖析，诊断出自己的问题来“对症下药”，牢固地掌握一元二次方程的相关知识点，在考试中力争零失分！
小试身手
1. 已知关于x的一元二次方程x2 bx c=0有两个实数根，则下列关于判别式b2-4ac的判断正确的是（ ）.
A. b2-4c≥0 B. b2-4c=0
C. b2-4c<0 D. b2-4c>0
2. 已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x 1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）.
A. a>2 B. a<2
C. a<2且a≠1 D. a<-2
3. 下列一元二次方程两实数根和为 -4的是（ ）.
A. x2 2x-4=0 B. x2-4x 4=0
C. x2 4x 10=0 D. x2 4x-5=0
4. 方程（x-1）（x 2）=2（x 2）的根是（ ）.
A. 1，-2 B. 3，-2
C. 0，-2 D. 1
5. 某单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草. 如图2所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）.
（作者单位：江苏省丰县初级中学）
一、 定义理解不透彻
例1 下列方程是一元二次方程的是______.
①x2 1=0，②x2=0，③x 1=0，④2x（x 2）=2x2，⑤ax2 bx c=0，⑥x2 2x =0.
【错解】①、②、③、④、⑤.
【剖析】一元二次方程满足的条件是：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数为2；（3）整式方程.一元二次方程的一般形式为ax2 bx c=0（a≠0）.③不是一元二次方程，因为没有注意到等号的两边应该都是整式；④不是一元二次方程，因为将方程整理为一般形式后，没有二次项；⑤不是一元二次方程，因为没有指出二次项系数a不为0；⑥是一元二次方程，和都是整式. 所以，是一元二次方程的有： ①、②、⑥.
二、 忽视二次项系数不为零
例2 方程（k 1）xk2 1 4x-5=0是关于x的一元二次方程，求k的值.
【错解】根据题意可得k2 1=2，∴k=±1.
【剖析】在解本题过程中忽略了一元二次方程二次项系数不为零的条件.
解：根据题意得，k2 1=2，∴k=±1，又k 1≠0，即k≠-1，∴k=1.
三、 混淆方程只有一个实数根与方程有两个相等的实数根
例3 关于x的方程（m2-1）x2 （2m 2）x 1=0只有一个实数根，求m的值.
【错解】∵关于x的方程只有一个实数根，
∴b2-4ac=（2m 2）2-4（m2-1）=8m 8=0，
∴m=-1.
【剖析】方程有一个实数根，暗示这个方程是一元一次方程，错解中误认为它与一元二次方程有两个相等的实数根是等同的.
解：∵关于x的方程只有一个实数根，
∴这个方程是一元一次方程，即m2-1=0且2m 2≠0. ∴m=1.
四、 方程类型不明确时，漏掉方程为一元一次方程的情况.
例4 （2012·山东德州）若关于x的方程ax2 2（a 2）x a=0有实数解，那么实数a的取值范围是______.
【错解】a≠0，
[2（a 2）]2-4·a·a≥0，
即a≠0，
a≥-1.
∴当a≥-1且a≠0时，方程有实根.
【剖析】已知条件中二次项系数是一个字母，方程有解并不意味着该方程一定为一元二次方程，上述解答过程只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况，忽略了该方程为一元一次方程的情况.
解：①当a=0时，方程4x=0，x=0；
②当a≠0时，一元二次方程有实根，
所以a≠0，
[2（a 2）]2-4·a·a≥0，
即a≠0，
a≥-1.
所以a≥-1且a≠0.
综合①、②，当a≥-1时，
方程ax2 2（a 2）x a=0有实数解.
五、 盲目“套用”求根公式
例5 用公式法解方程x2 7x=5.
【错解】∵a=1，b=7，c=5，
∴b2-4ac=72-4×1×5=29，
∴x==，
即x1=，x2=.
【剖析】用公式法求解一元二次方程时应先将方程化成一般形式ax2 bx c=0（a≠0），错解中没有将方程化成“一般式”，误认为常数项c=5.
解：移项得x2 7x-5=0，
∵a=1，b=7，c=-5，
∴b2-4ac=72-4×1×（-5）=69，
∴x==，
即x1=，x2=.
六、 误用性质导致丢根
例6 解方程：（x 1）2=2（x 1）.
【错解】方程两边同除以（x 1），得x 1=2，所以x=1.
【剖析】错解中，方程两边同除以因式x 1，没有考虑到x 1=0的情况，造成丢根.
解：原方程可变形为（x 1）2-2（x 1）=0，（x 1）（x 1-2）=0，（x 1）（x-1）=0，所以x1=1，x2=-1.
七、 忽视一元二次方程的根为负数
例7 已知α，β为一元二次方程x2 7x 5=0的两实数根，求 的值.
【错解】∵α，β为一元二次方程x2 7x 5=0的两实数根，
∴α β=-=-7，αβ==5，
∴ = ===-.
【剖析】由一元二次方程根与系数的关系得到α β=-=-7，αβ==5，这说明α，β同为负数，所以在对 化简时应注意符号问题.
解：∵α，β为一元二次方程x2 7x 5=0的两实数根，
∴α β=-=-7，αβ==5.
∴ = =
-=-=.
八、 忽略一元二次方程有实根的条件
例8 （2014·山东烟台）关于x的方程x2-mx 2m=0的两根的平方和是5，则m的值是（ ）.
A. -1或5 B. 1
C. 5 D. -1
【错解】设方程的两根为x1，x2，则x1 x2=m，x1·x2=2m，
∵x2 1 x2 2=5， ∴（x1 x2）2-2x1·x2=5，
∴m2-4m-5=0，
∴m1=5，m2=-1，故选A.
【剖析】当a=5时b2-4ac=（-5）2-4×1×10=-15<0，此时方程无解，错解中忽略了一元二次方程有实根时必须满足b2-4ac≥0这一条件.
解：设方程的两根为x1，x2，则x1 x2=m，x1·x2=2m，
∵x2 1 x2 2=5，
∴（x1 x2）2-2x1·x2=5，
∴m2-4m-5=0，∴m1=5，m2=-1.
∵b2-4ac=m2-8m≥0，
∴m≠5，故m=-1. 选 D.
九、 未充分利用题目中的条件
例9 如图1，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25 m），现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当AB的长度为多少时能使矩形花园的面积为300 m2.
【错解】设AB=x m，则BC=（50-2x） m.
根据题意得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15，
答：当AB的长为15米或10米时能使矩形花园的面积为300 m2.
【剖析】对于一些方程根的取舍问题，关键是要读懂题目的意思，充分考虑到题目给出的条件或者隐含条件. 错解中没有注意到围墙MN最长可利用25 m，当AB=10时，BC=50-2×10=30>25， 不符合题意，应舍去.
解：设AB=x m，则BC=（50-2x） m.
根据题意得，x（50-2x）=300，
解得：x1=10，x2=15.
当x=10时，BC=50-2×10=30>25，不合题意，舍去；
当x=15时，BC=50-2×15=20<25.
答：当AB的长为15 m时能使矩形花园的面积为300 m2.
相信同学们会结合以上错解剖析，诊断出自己的问题来“对症下药”，牢固地掌握一元二次方程的相关知识点，在考试中力争零失分！
小试身手
1. 已知关于x的一元二次方程x2 bx c=0有两个实数根，则下列关于判别式b2-4ac的判断正确的是（ ）.
A. b2-4c≥0 B. b2-4c=0
C. b2-4c<0 D. b2-4c>0
2. 已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x 1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）.
A. a>2 B. a<2
C. a<2且a≠1 D. a<-2
3. 下列一元二次方程两实数根和为 -4的是（ ）.
A. x2 2x-4=0 B. x2-4x 4=0
C. x2 4x 10=0 D. x2 4x-5=0
4. 方程（x-1）（x 2）=2（x 2）的根是（ ）.
A. 1，-2 B. 3，-2
C. 0，-2 D. 1
5. 某单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草. 如图2所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）.
（作者单位：江苏省丰县初级中学）