Mathematica在高等数学中的简单应用

• 作 者: 陈静
• 出 处: 数学学习与研究
• 发表日期: 2015年1期
• 关键词: MATHEMATICA 高等数学 画图 计算

　　【摘要】讨论了利用Mathematica软件画图求极限以及单调性等，并用此软件进行计算.
　　【关键词】Mathematica;高等数学;画图;计算
　　高等数学是高等教育阶段一门重要的基础课，但由于其知识点多，逻辑性强，计算量大，抽象性高，不少同学觉得高等数学空洞、枯燥、乏味.为了增强同学们学习高等数学的兴趣，平时教学过程中结合现代信息技术教学，已成为一个必然趋势.而Mathematica软件使用简单，功能强大，借助它可以使课程更加形象化、生动化.
　　一、借助Mathematica软件画图解决问题
　　1.在极限中的应用
　　利用极限的定义来求极限的关键是先要画出函数的图像，对于画一些稍微复杂的函数的图像，我们就可以借助Mathematica软件来解决.
　　例1 求limx→0e1x.
　　解 Plot[Exp[1/x]，{x，-2，1}]
　　图 1
　　由此图观察，发现当x从0的左侧趋向于0时，函数值无限接近于0，当x从0的右侧趋向于0时，函数值无限增大，所以此函数在0处的极限不存在.
　　例2 利用极限的定义，通过画图来验证两个重要极限.
　　解 Plot[sin[x]/x，{x，-1，1}]
　　图 2
　　由此图可以看出，与第一个重要极限limx→0sinxx=1结论符合.
　　x=Table[（1 1/n）n，{n，1，50}];
　　ListPlot[x，PlotStyle→PointSize[0.01]]
　　图 3
　　可以在输入语句中，不断改变n的个数来观察图形，可以发现与第二个重要极限limn→∞1 1nn=e的结论吻合.
　　2.通过画图直接判断函数的单调区间、凹凸区间、极值点以及拐点等
　　对于函数表达式比较复杂，求导数计算量比较大的函数，利用Mathematica软件画图来观察函数的性质就相对简单.
　　例3 描绘f（x）=2 3x（x 1）2的图形，并观察出函数的单调区间、凹凸区间、极值点以及拐点.
　　解 先画出y=f（x）及其导函数的图形，观察单调区间以及极值点.
　　f[x]：=2 3x/（x 1）2;
　　Solve[f′[x]=0，x]
　　{{x→1}}
　　Plot[{f[x]，f′[x]}，{x，-5，5}，PlotStyle→{RGBColor[1，0，0]，RGBColor[0，1，0]}]
　　图 4
　　由画出的图像可知：此函数在（-∞，-1）和（1， ∞）上单调递减，在（-1，1）上单调递增;x=1为极大值点.
　　再画出y=f（x）及其二阶导函数的图形，观察其凹凸区间和拐点.
　　f[x_]：=2 3x（x 1）^2;
　　g[x_]=D[f[x]，{x，2}]
　　18x（1 x）4-12（1 x）3
　　Slove[g[x]=0，x]
　　{{x→2}}
　　Plot[{f[x]，g[x]}，{x，-5，5}，PlotStyle→{RGBColor[1，0，0]，RGBColor[0，0，1]}]
　　图 5
　　此函数在（-∞，-1）和（-1，2）上是凸的，在（2， ∞）上是凹的;拐点是x=2.
　　二、利用Mathematica软件计算，提高解题速度
　　1.求极限
　　Limit[f[x]，x-