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在数学教学中,教师除了要进行基础知识和基本技能的教学外,还应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。
一、分类讨论思想
分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类,即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。在教学中,如果对学过的知识进行恰当的分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。分类讨论思想可使同学们运用已知信息进行开放性的联想,深化对知识的理解,培养同学们思维的灵活性,严密性和创造性。
二、数形结合思想
一般地,人们把代数称为“数”,而把几何称为“形”,数与形表面看是相互独立的,其实在一定条件下它们可以相互转化,数量问题可以转化为图形问题,图形问题也可以转化为数量问题。
数形结合在各年级中都得到充分的利用。例如,点与圆的位置关系,可以通过比较点到圆心的距离与圆半径两者的大小来确定;直线与圆的位置关系,可以通过比较圆心到直线的距离与圆半径两者的大小来确定;圆与圆的位置关系,可以通过比较两圆圆心的距离与两圆半径之和或之差的大小来确定。
在数学教学中,由数想形,以形助数的数形结合思想,具有可以使问题直观呈现的优点,有利于加深学生对知识的识记和理解;在解答数学题时,数形结合,有利于学生分析题中数量之间的关系,启迪思维,拓宽思路,迅速找到解决问题的方法,从而提高分析问题和解决问题的能力。
三、类比思想
所谓类比是指通过两个对象类似之处的比较而由已经获得的知识去引出新的猜测,把陌生的对象和熟悉的对象相类比,也即把未知的东西和已知的东西相对比,从而引出新的猜测。它可以培养学生举一反三的能力,通过新旧知识的类比,可以大大提高数学教学效果,提高学生的解题能力。如全等三角形是相似三角形在相似比为1时的特例,两个三角形相似和全等有它特定的内在联系,因此,全等三角形的识别方法可以类比相似三角形的识别方法。
四、整体思想
整体思想在初中教材中有很突出的体现,如在实数运算中,常把数字与前面的“ ,-”符号看成一个整体进行处理;又如用字母表示数就充分体现了整体思想,即一个字母不仅代表一个数,而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等。
五、归纳思想
归纳法是通过特例的分析引出普遍的结论。归纳法在数学发现中具有十分重要的作用。归纳法有不完全归纳法和完全归纳法(即数学归纳法)。在中学数学中,有些数学问题是直接建立在类比之上的归纳,这是比较容易联想到的;有些数学问题是建立在抽象分析之上的归纳。如在加法的基础上,利用相反数的概念,化归出减法法则,使加、减法统一起来,得到了代数和的概念;在乘法的基础上,利用倒数的概念,化归出除法法则,使互逆的两种运算得到统一。
六、变换思想
变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。解方程中的同解变换,定律、公式中的命题等价变换,幾何图形中的等积变换等等都包含了变换思想。具有优秀思维品质的一个重要特征,就是善于变换,从正反、互逆等进行变换考虑问题。但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题。因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器。
七、逻辑推理思想
数学方法的实质是正确思维活动的过程,它体现了逻辑学中的一些基本思维形式和思维方法。逻辑推理的思想方法在中学里主要是形式逻辑。在数学中的每个部分都离不开逻辑推理,在几何证明中尤为突出。逻辑推理可使我们了解概念与概念之间、命题与命题之间以及命题与结论之间的本质联系。逻辑推理方法可以保证数学中结论的充分确定性,在公理的基础上由逻辑推理而得出的结论必然是正确的。逻辑推理方法也是判断数学命题真假的有效方法。
总之,在数学教学中,只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想,同时注意渗透的过程,就一定能提高学生的学习效率和数学能力。
作者单位:西藏林芝地区八一中学
一、分类讨论思想
分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类,即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。在教学中,如果对学过的知识进行恰当的分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。分类讨论思想可使同学们运用已知信息进行开放性的联想,深化对知识的理解,培养同学们思维的灵活性,严密性和创造性。
二、数形结合思想
一般地,人们把代数称为“数”,而把几何称为“形”,数与形表面看是相互独立的,其实在一定条件下它们可以相互转化,数量问题可以转化为图形问题,图形问题也可以转化为数量问题。
数形结合在各年级中都得到充分的利用。例如,点与圆的位置关系,可以通过比较点到圆心的距离与圆半径两者的大小来确定;直线与圆的位置关系,可以通过比较圆心到直线的距离与圆半径两者的大小来确定;圆与圆的位置关系,可以通过比较两圆圆心的距离与两圆半径之和或之差的大小来确定。
在数学教学中,由数想形,以形助数的数形结合思想,具有可以使问题直观呈现的优点,有利于加深学生对知识的识记和理解;在解答数学题时,数形结合,有利于学生分析题中数量之间的关系,启迪思维,拓宽思路,迅速找到解决问题的方法,从而提高分析问题和解决问题的能力。
三、类比思想
所谓类比是指通过两个对象类似之处的比较而由已经获得的知识去引出新的猜测,把陌生的对象和熟悉的对象相类比,也即把未知的东西和已知的东西相对比,从而引出新的猜测。它可以培养学生举一反三的能力,通过新旧知识的类比,可以大大提高数学教学效果,提高学生的解题能力。如全等三角形是相似三角形在相似比为1时的特例,两个三角形相似和全等有它特定的内在联系,因此,全等三角形的识别方法可以类比相似三角形的识别方法。
四、整体思想
整体思想在初中教材中有很突出的体现,如在实数运算中,常把数字与前面的“ ,-”符号看成一个整体进行处理;又如用字母表示数就充分体现了整体思想,即一个字母不仅代表一个数,而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等。
五、归纳思想
归纳法是通过特例的分析引出普遍的结论。归纳法在数学发现中具有十分重要的作用。归纳法有不完全归纳法和完全归纳法(即数学归纳法)。在中学数学中,有些数学问题是直接建立在类比之上的归纳,这是比较容易联想到的;有些数学问题是建立在抽象分析之上的归纳。如在加法的基础上,利用相反数的概念,化归出减法法则,使加、减法统一起来,得到了代数和的概念;在乘法的基础上,利用倒数的概念,化归出除法法则,使互逆的两种运算得到统一。
六、变换思想
变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。解方程中的同解变换,定律、公式中的命题等价变换,幾何图形中的等积变换等等都包含了变换思想。具有优秀思维品质的一个重要特征,就是善于变换,从正反、互逆等进行变换考虑问题。但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题。因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器。
七、逻辑推理思想
数学方法的实质是正确思维活动的过程,它体现了逻辑学中的一些基本思维形式和思维方法。逻辑推理的思想方法在中学里主要是形式逻辑。在数学中的每个部分都离不开逻辑推理,在几何证明中尤为突出。逻辑推理可使我们了解概念与概念之间、命题与命题之间以及命题与结论之间的本质联系。逻辑推理方法可以保证数学中结论的充分确定性,在公理的基础上由逻辑推理而得出的结论必然是正确的。逻辑推理方法也是判断数学命题真假的有效方法。
总之,在数学教学中,只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想,同时注意渗透的过程,就一定能提高学生的学习效率和数学能力。
作者单位:西藏林芝地区八一中学