浅谈数列的解题思路和技巧

• 作 者: 刘皓
• 出 处: 中学生数理化·学习研究
• 发表日期: 2016年5期
• 关键词: 解题思路 公式法 思维能力 通项公式 首项 重要科目

　　数列是高中数学中非常重要的一部分内容，它不仅与我们的生活息息相关，也是高考必考的一部分内容，尤其是数列这类问题的解题思想是非常重要的一类思想，对于培养同学们的思维能力也至关重要。由此可见，学好数列对学习高中数学是非常重要的，应当引起足够的重视。
　　例1用构造公式法进行求解数列，已知数列an满足：an+1=2an+3×2n，a1=2，求数列{an}的通项公式。
　　解析：an+1=2an+3×2n两边除以2n+1，得an+12n+1=an2n+32，则an+12n+1-an2n=32，故数列an2n是以a121=22=1为首项，以32为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得an2n=1+32（n-1），所以数列an的通项公式为an=32n-12×2n。
　　例2已知数列an满足：an+1=116（1+4an+1+24an），a1=1，求数列an的通项公式。
　　解析：令bn=1+24an，则b2n=1+24an，故an+1=124（b2n+1-1），则4b2n+1=bn+32。因为bn=1+24an≥0，故bn+1=1+24an-1≥0，则2bn+1=bn+3，即bn+1=12bn+32，可以转化为bn+1-3=12bn-3，所以bn-3是以b1-3=1+24a1-3=1+24×1-3=2为首项，以12为公比的等比数列，因此bn-3=212n-1=12n-2，则bn=12n-2+3，即1+24an=12n-2+3，得到an=2314n+12n+13。
　　例3已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2-1，数列{bn}满足：3n·bn+1=（n+1）·an+1-nan，且b1=3。
　　（1）求an，bn；
　　（2）设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn，并求满足Tn<7时n的最大值。
　　解析：（1）n≥2时，Sn=an+n2-1，Sn-1=an-1+（n-1）2-1，两式相减，得an-1=2n-1，所以an=2n+1。所以bn+1=4n+33n。所以当n≥2时，bn=4n-13n-1。又b1=3适合上式，所以bn=4n-13n-1。
　　（2）由（1）知，bn=4n-13n-1，所以Tn=31+73+1132+…+4n-53n-2+4n-13n-1①，13Tn=33+732+1133+…+4n-53n-1+4n-13n②，由①-②得23Tn=3+43+432+…+43n-1-4n-13n=5-4n-53n。所以Tn=152-4n+52·3n-1。Tn-Tn+1=4（n+1）+52·3n-4n+52·3n-1=-（4n+3）3n<0，所以Tn7，所以当Tn<7时，n的最大值为3。
　　高中阶段是同学们学习的重要阶段，数学更是高考的重要科目，数列是高中数学中的重要内容，不仅联系实际还是高考的重要题型。因此，掌握好数列的解题思路和技巧是非常重要的，本文以数列的通项公式实例分析了求解的思路和技巧，并且分析了数列求和的解题思路，对学生掌握和学好数列具有实际意义。