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摘 要：本文通过建立一个光滑杆拉伸变形的有限元模型，研究了基于Hill各向异性理论的双颈缩现象。结果表明，沿拉伸方向的各向异性比可以控制颈缩变形，即只有当拉伸方向的各向异性比达到一定值时，双颈缩才会出现，否则只出现单颈缩。研究同时表明当加载方向同材料主方向的偏角很小时，双颈缩才会出现。当存在一个小的偏角时，塑性应力-应变曲线也会影响双颈缩现象。实验表明，双颈缩是由断裂应变和不同的蠕变应变速率造成的。
关键词：双颈缩，Hill模型，有限元分析
1介绍
在较早的工作[1，2]中，已经研究了一个圆棒在承受拉伸载荷作用下的力学性能，特别是颈缩现象的机理和几何特性。并且其特别关注了金属薄板的成型过程[3-6]和单颈缩现象[7-11]，但是却对正交各向异性材料例如单晶体材料拉伸过程中出现的双颈缩或着多重颈缩现象只是做了简单的描述。吴[ 12，13 ]在对单晶体的实验和模拟过程中发现，拉伸应变的程度将会影响颈缩位置和形成过程。近期张的结果[ 14 ]表明，单晶体的本构关系和双颈缩现象只能在具有完美[ 100 ]取向的晶体上观察到。镍基单晶高温合金的蠕变试验结果表明局部区域不均匀变形程度越高其应变越高[ 15 ]。到目前为止，关于双颈缩的形成条件的详细研究还很少，但它对研究双颈缩现象，找到其规律具有重要作用。
为了描述各向异性材料的力学性能，本文建立了两种本构模型[ 16 ]：一种是基于宏观实验，也就是唯象本构模型；另一重是基于微观塑性理论，即晶体滑移本构模型。早期的工作表明，由Hill[ 17 ]提出的以Hill屈服函数构建的模型已经被广泛应用于工程中。本文研究了基于Hill理论的双颈缩现象，并且提出了一些通过系统研究得到的基本准则。
为描述希尔模型中的正交各向异性材料，模型中的每个点的材料主轴由三个垂直对称面和三个相交确定。在变形过程这些轴的方向将会变化。
2.有限元模型
为了研究双颈缩，建立一圆棒模型，圆棒长度为50mm，直径为10mm（见图1）。在模型的两端，即X3 = 0和X3 = 50mm处施加径向约束，一端沿轴向固定，另一端施加恒定位移U，主轴根据符合基准坐标非偏差角设定。材料属性被假定为在弹性阶段各向同性，而在塑性阶段的正交各向异性。材料弹性模量为200GPa，泊松比为0.3，应力-应变曲线见图2。在本文中，所有的有限元模型都使用C3D8R单元，并通过ABAQUS准静态分析的大变形有限元求解器进行求解分析。
3. 结果与讨论
3.1双颈缩
根据有限元分析结果，发现沿拉伸轴的各向异性比R33控制颈缩变形。当各向异性比R33大于R11和R22时，颈缩出现在不同的位置。图3-5显示了在不同各向异性比值下，不同的颈缩形态。对于各向同性材料，变形模式为标准的单缩颈，如图3所示的杆的中位面的变形。对于各向异性材料，当各向异性比R33大于其他两个主方向时，双颈缩出现，如图5所示。这种状态类似于超塑形变形的结果，在颈缩在一些部位[12，18]扩展前，其已经出现在不同的部位了。图4和图5同时说明了网格尺寸对于应力影响不明显，颈缩部位几乎都在相同的距离上。截面A（图5b）的平均应力-应变曲线如图6所示。从图7看出，对于同一单元3380当各向异性比R33变化时，冯米塞斯等效应力对应的主应变也是变化的，并且最大等效应力值出现在各向异性比R33大于其他两个方向的值等于1.40时。
3.2偏差角
因为铸造缺陷的影响，正交各向异性单晶样品的晶体方向同拉伸轴方向总有大约0-15°的偏差，如图8所示。张[ 14 ]的研究结果表明，双颈缩只能在拥有完美方向[ 100 ]的晶体中才能观察到，哪怕一个非常小的偏差角也都将变形模式转换为单颈缩。但是模拟结果表明，当各向异性系数同图5、图9a中所示相同时，小的偏差角也能观察到双颈缩现象。但是当偏差角变大时，变形模式也会转变为单颈缩。
3.3 塑性应变-应力曲线对双颈缩的影响
正如同相同材料在不同温度下拥有不同的應力-应变关系一样，不同的各向异性材料具有不同的塑性应变-应力的关系。为了得到双颈缩和各向异性比之间的具体关系，本文对一种镍基单晶高温合金在850°的变形进行了研究（塑性应变-应力曲线如图10所示）。结果表明，在相同几何形状和边界条件下（如图5，图11所示），应力-应变曲线影响颈缩的分布。图11a和图3显示了相同的结果。通过比较图9和图12可知在存在小偏差角情况下，应力-应变曲线影响试件的变形。相比于4.1节的材料，单晶材料对偏差角更加敏感。
3.4实验现象
在拉伸蠕变实验，3种应力施加于GH3536合金试样。其断裂图如图13所示。图14显示了沿断裂试件长度方向截面的直径。两具有较高应变局部区域的不均匀变形情况见图13、图14。断裂区域在一端附近扩展（见图14中标记A，B，C）。再另一端附近缩小截面进行扩展（见图14中标记a，b，c）。另外，图4中标记的d位置也可以看作是一个具有更高局部应变的区域。
图15分别显示了在240，200和160MPa下，750℃的蠕变试验曲线。可以观察到，所有试件显示出了高断裂应变甚至有一些大于1.0。从图13-15看出，同较大的蠕变断裂应变相比，多重颈缩更加明显。此外，双颈缩或者多重颈缩的出现同应变水平密切相关[13，18]。如图16所示，比较240 MPA和200 MPA，蠕变应变率逐渐增加。但是当160 MPA时，由于应变的增加，蠕变应变率急剧上升。
4. 结论
通过模拟拉伸简单圆棒，研究了各向异性材料的颈缩变形行为。所研究的影响因素包括各向异性比，晶体方向和塑性应变和应力。沿拉伸轴的各向异性比是一个控制缩口的变形的重要因素。只有当各向异性比系数R33大于R11和R22时才会出现双颈缩现象，否则只出现单缩颈现象。当加载轴同材料主方向的偏差角小时，双颈缩出现，当偏差角大时，双颈缩消失。结果表明相比一般材料，单晶体材料的变形对偏差角更稳敏感。最后，蠕变拉伸试验结果表明双颈缩和多重颈缩是由断裂应变和不同的应变速率造成的。 参考文献
[1] N.K. Gupta， B.P. Ambasht， 材料力学，1（1982）219-228。
[2] J.A. Nemes， J. Eftis， International Journal of Plasticity，， 9 （1993） 243-270.
[3] H. Aretz， International Journal of Plasticity， 23 （2007） 798-840.
[4] M. Brunet， S. Mguil-Touchal， F. Morestin， Numerical and experimental analysis of necking in 3d. sheet forming processes using damage variable， in： M. Predeleanu， P. Gilormini （Eds.） Studies in Applied Mechanics， Elsevier， 1997， pp. 205-214.
[5] R. Hill， Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 49 （2001） 2055-2070.
[6] H. Aretz， International Journal of Plasticity， 24 （2008） 1457-1480.
[7] M. Brunig， Finite Elem Anal Des， 28 （1998） 303-319.
[8] M. Joun， I. Choi， J. Eom， M. Lee， Computational Materials Science， 41 （2007） 63-69.
[9] V.M. Segal， S. Ferrasse， F. Alford， Materials Science and Engineering a-Structural Materials Properties Microstructure and Processing， 422 （2006） 321-326.
[10] C.Y. Tang， J.P. Fan， T.C. Lee， J Mater Process Tech， 139 （2003） 510-513.
[11] 王心美， 岳珠峰， 燃气涡轮试验与研究 17 （2004） 33-35.
[12] 吴艳青，张克实， 材料力學，35 （2003） 1127-1138. [13] 吴艳青，张克实， 计算力学学报， 21 （2004） 81-87.
[14] F. Zhang， A.F. Bower， R.K. Mishra， K.P. Boyle， International Journal of Plasticity， 25 （2009） 49-69.
[15] N.K. Sinha， Materials Science and Engineering a-Structural Materials Properties Microstructure and Processing， 432 （2006） 129-141.
[16] 岳珠峰， 吕震宙， 郑长卿， 尹泽勇， 杨治国，机械强度， 18 （1996） 38-41.
[17] R. Hill， The mathematical theory of plasticity， Oxford University Press， London， 1950.
[18] S. Kotake， K. Ito， International Journal of Mechanical Sciences， 52 （2010） 339-342.
关键词：双颈缩，Hill模型，有限元分析
1介绍
在较早的工作[1，2]中，已经研究了一个圆棒在承受拉伸载荷作用下的力学性能，特别是颈缩现象的机理和几何特性。并且其特别关注了金属薄板的成型过程[3-6]和单颈缩现象[7-11]，但是却对正交各向异性材料例如单晶体材料拉伸过程中出现的双颈缩或着多重颈缩现象只是做了简单的描述。吴[ 12，13 ]在对单晶体的实验和模拟过程中发现，拉伸应变的程度将会影响颈缩位置和形成过程。近期张的结果[ 14 ]表明，单晶体的本构关系和双颈缩现象只能在具有完美[ 100 ]取向的晶体上观察到。镍基单晶高温合金的蠕变试验结果表明局部区域不均匀变形程度越高其应变越高[ 15 ]。到目前为止，关于双颈缩的形成条件的详细研究还很少，但它对研究双颈缩现象，找到其规律具有重要作用。
为了描述各向异性材料的力学性能，本文建立了两种本构模型[ 16 ]：一种是基于宏观实验，也就是唯象本构模型；另一重是基于微观塑性理论，即晶体滑移本构模型。早期的工作表明，由Hill[ 17 ]提出的以Hill屈服函数构建的模型已经被广泛应用于工程中。本文研究了基于Hill理论的双颈缩现象，并且提出了一些通过系统研究得到的基本准则。
为描述希尔模型中的正交各向异性材料，模型中的每个点的材料主轴由三个垂直对称面和三个相交确定。在变形过程这些轴的方向将会变化。
2.有限元模型
为了研究双颈缩，建立一圆棒模型，圆棒长度为50mm，直径为10mm（见图1）。在模型的两端，即X3 = 0和X3 = 50mm处施加径向约束，一端沿轴向固定，另一端施加恒定位移U，主轴根据符合基准坐标非偏差角设定。材料属性被假定为在弹性阶段各向同性，而在塑性阶段的正交各向异性。材料弹性模量为200GPa，泊松比为0.3，应力-应变曲线见图2。在本文中，所有的有限元模型都使用C3D8R单元，并通过ABAQUS准静态分析的大变形有限元求解器进行求解分析。
3. 结果与讨论
3.1双颈缩
根据有限元分析结果，发现沿拉伸轴的各向异性比R33控制颈缩变形。当各向异性比R33大于R11和R22时，颈缩出现在不同的位置。图3-5显示了在不同各向异性比值下，不同的颈缩形态。对于各向同性材料，变形模式为标准的单缩颈，如图3所示的杆的中位面的变形。对于各向异性材料，当各向异性比R33大于其他两个主方向时，双颈缩出现，如图5所示。这种状态类似于超塑形变形的结果，在颈缩在一些部位[12，18]扩展前，其已经出现在不同的部位了。图4和图5同时说明了网格尺寸对于应力影响不明显，颈缩部位几乎都在相同的距离上。截面A（图5b）的平均应力-应变曲线如图6所示。从图7看出，对于同一单元3380当各向异性比R33变化时，冯米塞斯等效应力对应的主应变也是变化的，并且最大等效应力值出现在各向异性比R33大于其他两个方向的值等于1.40时。
3.2偏差角
因为铸造缺陷的影响，正交各向异性单晶样品的晶体方向同拉伸轴方向总有大约0-15°的偏差，如图8所示。张[ 14 ]的研究结果表明，双颈缩只能在拥有完美方向[ 100 ]的晶体中才能观察到，哪怕一个非常小的偏差角也都将变形模式转换为单颈缩。但是模拟结果表明，当各向异性系数同图5、图9a中所示相同时，小的偏差角也能观察到双颈缩现象。但是当偏差角变大时，变形模式也会转变为单颈缩。
3.3 塑性应变-应力曲线对双颈缩的影响
正如同相同材料在不同温度下拥有不同的應力-应变关系一样，不同的各向异性材料具有不同的塑性应变-应力的关系。为了得到双颈缩和各向异性比之间的具体关系，本文对一种镍基单晶高温合金在850°的变形进行了研究（塑性应变-应力曲线如图10所示）。结果表明，在相同几何形状和边界条件下（如图5，图11所示），应力-应变曲线影响颈缩的分布。图11a和图3显示了相同的结果。通过比较图9和图12可知在存在小偏差角情况下，应力-应变曲线影响试件的变形。相比于4.1节的材料，单晶材料对偏差角更加敏感。
3.4实验现象
在拉伸蠕变实验，3种应力施加于GH3536合金试样。其断裂图如图13所示。图14显示了沿断裂试件长度方向截面的直径。两具有较高应变局部区域的不均匀变形情况见图13、图14。断裂区域在一端附近扩展（见图14中标记A，B，C）。再另一端附近缩小截面进行扩展（见图14中标记a，b，c）。另外，图4中标记的d位置也可以看作是一个具有更高局部应变的区域。
图15分别显示了在240，200和160MPa下，750℃的蠕变试验曲线。可以观察到，所有试件显示出了高断裂应变甚至有一些大于1.0。从图13-15看出，同较大的蠕变断裂应变相比，多重颈缩更加明显。此外，双颈缩或者多重颈缩的出现同应变水平密切相关[13，18]。如图16所示，比较240 MPA和200 MPA，蠕变应变率逐渐增加。但是当160 MPA时，由于应变的增加，蠕变应变率急剧上升。
4. 结论
通过模拟拉伸简单圆棒，研究了各向异性材料的颈缩变形行为。所研究的影响因素包括各向异性比，晶体方向和塑性应变和应力。沿拉伸轴的各向异性比是一个控制缩口的变形的重要因素。只有当各向异性比系数R33大于R11和R22时才会出现双颈缩现象，否则只出现单缩颈现象。当加载轴同材料主方向的偏差角小时，双颈缩出现，当偏差角大时，双颈缩消失。结果表明相比一般材料，单晶体材料的变形对偏差角更稳敏感。最后，蠕变拉伸试验结果表明双颈缩和多重颈缩是由断裂应变和不同的应变速率造成的。 参考文献
[1] N.K. Gupta， B.P. Ambasht， 材料力学，1（1982）219-228。
[2] J.A. Nemes， J. Eftis， International Journal of Plasticity，， 9 （1993） 243-270.
[3] H. Aretz， International Journal of Plasticity， 23 （2007） 798-840.
[4] M. Brunet， S. Mguil-Touchal， F. Morestin， Numerical and experimental analysis of necking in 3d. sheet forming processes using damage variable， in： M. Predeleanu， P. Gilormini （Eds.） Studies in Applied Mechanics， Elsevier， 1997， pp. 205-214.
[5] R. Hill， Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 49 （2001） 2055-2070.
[6] H. Aretz， International Journal of Plasticity， 24 （2008） 1457-1480.
[7] M. Brunig， Finite Elem Anal Des， 28 （1998） 303-319.
[8] M. Joun， I. Choi， J. Eom， M. Lee， Computational Materials Science， 41 （2007） 63-69.
[9] V.M. Segal， S. Ferrasse， F. Alford， Materials Science and Engineering a-Structural Materials Properties Microstructure and Processing， 422 （2006） 321-326.
[10] C.Y. Tang， J.P. Fan， T.C. Lee， J Mater Process Tech， 139 （2003） 510-513.
[11] 王心美， 岳珠峰， 燃气涡轮试验与研究 17 （2004） 33-35.
[12] 吴艳青，张克实， 材料力學，35 （2003） 1127-1138. [13] 吴艳青，张克实， 计算力学学报， 21 （2004） 81-87.
[14] F. Zhang， A.F. Bower， R.K. Mishra， K.P. Boyle， International Journal of Plasticity， 25 （2009） 49-69.
[15] N.K. Sinha， Materials Science and Engineering a-Structural Materials Properties Microstructure and Processing， 432 （2006） 129-141.
[16] 岳珠峰， 吕震宙， 郑长卿， 尹泽勇， 杨治国，机械强度， 18 （1996） 38-41.
[17] R. Hill， The mathematical theory of plasticity， Oxford University Press， London， 1950.
[18] S. Kotake， K. Ito， International Journal of Mechanical Sciences， 52 （2010） 339-342.