一类定点问题的证明与推广

• 作 者: 陶文平
• 出 处: 考试周刊
• 发表日期: 2017年43期
• 关键词: 圆锥曲线 抛物线 直线

　　摘要：圆锥曲线是高中数学的重点与难点，而曲线过定点问题是一类重要的题型，我们来研究一个抛物线过定点问题。
　　关键词：圆锥曲线；抛物线；直线
　　圆锥曲线是高中数学的重点与难點，而曲线过定点问题是一类重要的题型，我们来研究一个抛物线过定点问题。
　　例1已知抛物线y2=2px（p>0），原点为O，且直线l与抛物线相交于A，B点，若OA⊥OB.求证：直线l过定点.
　　为证明上述结论，先给出一个结论：
　　引理1：已知抛物线y2=2px（p>0），过x轴上一定点C（c，0）的直线与抛物线相交于A，B点，则yA·yB=-2pc（定值）或xA·xB=c2（定值）.
　　证明：设直线l：x=my c，联立x=my cy2=2px，消去x得，
　　y2-2pmy-2pc=0
　　所以yA·yB=-2pc，又yA2=2pxAyB2=2pxB，
　　所以xA·xB=yA22p·yB22p=（yA·yB）24p2=c2.
　　上述引理反过来也是成立的.
　　引理2：已知抛物线y2=2px（p>0），
　　（1） 若直线l与抛物线相交于A，B点，且yA·yB=-2pc（定值），则直线l必过x轴上一定点C（c，0）；
　　（2） 若直线l与抛物线相交于A，B点，且xA·xB=c2（定值），则直线l必过x轴上C1（-c，0），C2（c，0）中一点。
　　下用引理2来证明例1，
　　设A（xA，yA），B（xB，yB），由OA⊥OB，得xA·xB yA·yB=0，
　　又因为xA·xB=（yA·yB）24p2，所以（yA·yB）24p2 yA·yB=0.即（yA·yB）·（yA·yB4p2 1）=0.
　　因为yA·yB≠0，所以yA·yB=-4p2，
　　由引理2得，直线l必过x轴上一定点C（2p，0）.
　　例2已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点（2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，AF，BF的延长线与抛物线交于C，D两点，求证：CD过一定点。
　　证明：由于AB过点（2，0），由引理1可得，yA·yB=-8，（1）
　　再由BD过点（1，0），由引理1可得，yB·yD=-4，（2）
　　同理yA·yC=-4，（3）
　　由（1）（2）（3）得yC·yD=-2，
　　由引理2得，直线CD必过x轴上一定点M12，0.
　　推广到一般结论：已知抛物线y2=2px（p>0）有两个定点M（a，0），N（b，0），过点M的直线l交抛物线于A，B两点，AN，BN的延长线与抛物线交于C，D两点，求证：CD过一定点。
　　证明：由于AB过点M（a，0），由引理1可得，yA·yB=-2pa，（1）
　　再由BD过点N（b，0），由引理1可得，yB·yD=-2pb，（2）
　　同理yA·yC=-2pb，（3）
　　由（1）（2）（3）得yC·yD=-2pb2a，
　　由引理2得，直线CD必过x轴上一定点M（b2a，0）.