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摘 要：在学习之路上，学生犯形形色色的错误是在所难免的。事实上，形形色色的错误并不是学生学习之路上的绊脚石。相反，这些错误还是学生学习之路上的一块块垫脚石。如果学生能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么，他们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益。本文将在理论联系实际的基础上，浅显论述错题集在高中数学教学中的有效运用。
关键词：错题集；高中数学；教学运用
古语有云：“人谁无过，过而能改，善莫大焉。”過，即过错、错误。在学习、工作以及生活中，每个人都会不可避免地犯各种错误，此乃人之常情。对于智者而言，他们能够从错误中学习，以错误为云梯，持续不断成长。但是，对于愚者来说，他们则会在错误中迷失方向，以错误为羁绊，甚至一蹶不振。
对于广大高中学生而言，在数学学习过程中出现各种各样的错误是稀松平常的事情。犯错误是学习过程中的一种必然现象，而绝非偶然现象。正因为如此，无论是教师，还是学生，都应该直面错误，并积极主动地从错误中学习，以错误为梯，补足知识短板，进而提升学生的学习效率。下面笔者将在理论联系实际的基础上，浅显论述高中数学教学过程中错题集的有效运用。
一、 聚焦错误，回归教材内容
无论是哪一种错误，都有一定的根源。或者说，学生之所以会在学习过程中出现形形色色的错误，是因为他们在学习教材的过程中产生了知识盲点或能力短板等。如果学生的这些知识盲点不能够彻底清除，能力短板不能够及时补齐，那么，在以后的学习过程中，学生会重蹈覆辙，再次出现同样的错误。
有鉴于此，在高中数学教学过程中，当学生在做练习的过程中出现各种错误的时候，教师要指引学生以错误为焦点，以教材为参照，回归教材、查缺补漏。
例题1：已知α角是第三象限角，那么，2α，3α各是第几象限角？
一些学生在解答这道题目的时候出现了错误。教师在指正这些学生的错误的时候，绝对不应该局限于这道题目本身。而应该指引学生聚焦错误，回归教材再次重温高中数学必修四中的“任意角”这部分内容。在学生重温完这部分内容之后，学生就会清晰地认识到自己的错误。
在教师的指引下，学生聚焦错误，回归教材并重温了教材内容。如此一来，学生就能够彻底清除知识盲点以及全面补足能力短板等。
二、 分析错误，吃透教材内容
纠正学生的错误是教师日常教学的基本内容之一。教师在纠正学生的各种错误的时候，切不可仅仅停留在错误的表面。为了能够真正达到纠正错误之目的，并且让学生在今后的学习过程中再也不犯同样的错误，教师一定要对学生的各种错误“大做文章”，即要指导学生深入浅出地分析各种错误。
学生通过深入浅出地分析错误，他们就会深刻认识到自己的不足之处。或者说，学生就能够找准自身的知识薄弱点。如此一来，学生就要以错误为切入点，全力以赴地吃透教材。
例题2：a，b，c分别是一个三角形的三条边长，请你利用海伦-秦九韶公式设计一个三角形面积的计算算法，并画出程序框图表示。
某学生在解答这道题目的时候，首先计算出了P的值，然后将它代入了分式。这名学生的计算过程貌似是准确的，但是计算结果却是错误的。通过分析该学生在这道题中出现的错误，就会发现该学生的计算结果之所以会出错，是因为他在代入分式的过程中出现了错误。在分析清楚错误原因之后，教师就可以对症下药，让这名学生回顾与复习代入法的相关知识点。
学生以错误为切入点，一丝不苟地研读教材，并对教材内容有了更加深刻透彻地认识与理解。这样一来，错误就再也不是学生学习之路上的绊脚石。相反，错误还会成为学生成功之路上的垫脚石。
三、 发散错误，拓展教材内容
学生之所以会出现各种各样的错误，一则是因为学生对教材教学内容掌握得不够扎实牢固，再则是因为学生对于教材中的相关内容拓展延伸不到位。如果学生在学习教材教学内容的时候不能够适时适度地进行拓展的话，那么，在做练习的过程中，一旦遇到一些变式练习，学生就会一头雾水、不知所措，出现各种各样的错误也就成了意料之中的事情。
为此，在高中数学教学过程中，为了避免学生在今后的练习中再次出现类似的错误，教师要指引学生以错误为中心，适当地发散错误，据此对教材教学内容进行适度地拓展与延伸。
在例题2中，某学生出现错误的主要原因是对于代入法的相关知识理解不够透彻、掌握不够扎实。正因为如此，教师要让学生对代入法的相关知识进行复习与巩固。为了能够让学生扎实牢固地掌握代入法的相关知识，教师还应该指导学生做一些变式练习，即对代入法的相关知识进行拓展延伸。
由此可见，学生以错误为发散点，可以对教材教学内容进行适度地拓展延伸。通过对教材教学内容的适度拓展，学生对这方面数学知识的理解就会更加透彻。
四、 归类错误，梳理教材内容
在面对学生在学习过程中出现的形形色色的错误的时候，不管是教师，还是学生自己，绝对不能够一概而论。如果教师和学生对于各种错误不分青红皂白一概而论的话，那么，学生就很难从错误中学习。
事实上，学生在学习过程中出现的形形色色的错误是由各种各样的原因导致的。为了能够让学生更好地从形形色色的错误中学习，教师极有必要指导学生对形形色色的错误进行归类。
比如说，学生的有些错误是因为对于相关知识点掌握不够扎实，有些错误是因为对于相关知识点运用不够熟练，有些错误则是因为对于不同知识点之间的融会贯通做得不够好等。教师要经常指导学生根据不同的错误类型，对错误进行细致分类。事实上，学生在对错误进行分类的过程中不仅能够更加清晰地认识自己的错误，还能够对教材相关内容进行有序梳理。
显而易见，学生对各种错误进行归类的过程也是他们对教材知识点进行梳理的一个过程。通过对教材中知识点的清晰梳理，学生的学习效率也会得到显著提升。
苏联美学家卢那察尔斯基说：“犯错误乃是取得进步所必须交付的学费。”同样，在学习之路上，犯错误也是学生学习进步必须要交付的学费。正因为如此，每位高中学生在数学学习过程中一定要备好、用好错题本。
总而言之，在高中数学教学过程中，教师要引领学生聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误等。这样一来，学生就能够以错误为梯、补齐短板，进而大幅提升学习实效性了。
参考文献：
[1]顾伟强.“错题集”在高中数学教学中的应用[J].中学教学参考，2017（26）：36-37.
[2]雪保安.错题集在高中数学教学中的应用[J].数理化解题研究，2017（9）：242.
作者简介：
杜红英，青海省西宁市，青海省湟中县李家山中学。
关键词：错题集；高中数学；教学运用
古语有云：“人谁无过，过而能改，善莫大焉。”過，即过错、错误。在学习、工作以及生活中，每个人都会不可避免地犯各种错误，此乃人之常情。对于智者而言，他们能够从错误中学习，以错误为云梯，持续不断成长。但是，对于愚者来说，他们则会在错误中迷失方向，以错误为羁绊，甚至一蹶不振。
对于广大高中学生而言，在数学学习过程中出现各种各样的错误是稀松平常的事情。犯错误是学习过程中的一种必然现象，而绝非偶然现象。正因为如此，无论是教师，还是学生，都应该直面错误，并积极主动地从错误中学习，以错误为梯，补足知识短板，进而提升学生的学习效率。下面笔者将在理论联系实际的基础上，浅显论述高中数学教学过程中错题集的有效运用。
一、 聚焦错误，回归教材内容
无论是哪一种错误，都有一定的根源。或者说，学生之所以会在学习过程中出现形形色色的错误，是因为他们在学习教材的过程中产生了知识盲点或能力短板等。如果学生的这些知识盲点不能够彻底清除，能力短板不能够及时补齐，那么，在以后的学习过程中，学生会重蹈覆辙，再次出现同样的错误。
有鉴于此，在高中数学教学过程中，当学生在做练习的过程中出现各种错误的时候，教师要指引学生以错误为焦点，以教材为参照，回归教材、查缺补漏。
例题1：已知α角是第三象限角，那么，2α，3α各是第几象限角？
一些学生在解答这道题目的时候出现了错误。教师在指正这些学生的错误的时候，绝对不应该局限于这道题目本身。而应该指引学生聚焦错误，回归教材再次重温高中数学必修四中的“任意角”这部分内容。在学生重温完这部分内容之后，学生就会清晰地认识到自己的错误。
在教师的指引下，学生聚焦错误，回归教材并重温了教材内容。如此一来，学生就能够彻底清除知识盲点以及全面补足能力短板等。
二、 分析错误，吃透教材内容
纠正学生的错误是教师日常教学的基本内容之一。教师在纠正学生的各种错误的时候，切不可仅仅停留在错误的表面。为了能够真正达到纠正错误之目的，并且让学生在今后的学习过程中再也不犯同样的错误，教师一定要对学生的各种错误“大做文章”，即要指导学生深入浅出地分析各种错误。
学生通过深入浅出地分析错误，他们就会深刻认识到自己的不足之处。或者说，学生就能够找准自身的知识薄弱点。如此一来，学生就要以错误为切入点，全力以赴地吃透教材。
例题2：a，b，c分别是一个三角形的三条边长，请你利用海伦-秦九韶公式设计一个三角形面积的计算算法，并画出程序框图表示。
某学生在解答这道题目的时候，首先计算出了P的值，然后将它代入了分式。这名学生的计算过程貌似是准确的，但是计算结果却是错误的。通过分析该学生在这道题中出现的错误，就会发现该学生的计算结果之所以会出错，是因为他在代入分式的过程中出现了错误。在分析清楚错误原因之后，教师就可以对症下药，让这名学生回顾与复习代入法的相关知识点。
学生以错误为切入点，一丝不苟地研读教材，并对教材内容有了更加深刻透彻地认识与理解。这样一来，错误就再也不是学生学习之路上的绊脚石。相反，错误还会成为学生成功之路上的垫脚石。
三、 发散错误，拓展教材内容
学生之所以会出现各种各样的错误，一则是因为学生对教材教学内容掌握得不够扎实牢固，再则是因为学生对于教材中的相关内容拓展延伸不到位。如果学生在学习教材教学内容的时候不能够适时适度地进行拓展的话，那么，在做练习的过程中，一旦遇到一些变式练习，学生就会一头雾水、不知所措，出现各种各样的错误也就成了意料之中的事情。
为此，在高中数学教学过程中，为了避免学生在今后的练习中再次出现类似的错误，教师要指引学生以错误为中心，适当地发散错误，据此对教材教学内容进行适度地拓展与延伸。
在例题2中，某学生出现错误的主要原因是对于代入法的相关知识理解不够透彻、掌握不够扎实。正因为如此，教师要让学生对代入法的相关知识进行复习与巩固。为了能够让学生扎实牢固地掌握代入法的相关知识，教师还应该指导学生做一些变式练习，即对代入法的相关知识进行拓展延伸。
由此可见，学生以错误为发散点，可以对教材教学内容进行适度地拓展延伸。通过对教材教学内容的适度拓展，学生对这方面数学知识的理解就会更加透彻。
四、 归类错误，梳理教材内容
在面对学生在学习过程中出现的形形色色的错误的时候，不管是教师，还是学生自己，绝对不能够一概而论。如果教师和学生对于各种错误不分青红皂白一概而论的话，那么，学生就很难从错误中学习。
事实上，学生在学习过程中出现的形形色色的错误是由各种各样的原因导致的。为了能够让学生更好地从形形色色的错误中学习，教师极有必要指导学生对形形色色的错误进行归类。
比如说，学生的有些错误是因为对于相关知识点掌握不够扎实，有些错误是因为对于相关知识点运用不够熟练，有些错误则是因为对于不同知识点之间的融会贯通做得不够好等。教师要经常指导学生根据不同的错误类型，对错误进行细致分类。事实上，学生在对错误进行分类的过程中不仅能够更加清晰地认识自己的错误，还能够对教材相关内容进行有序梳理。
显而易见，学生对各种错误进行归类的过程也是他们对教材知识点进行梳理的一个过程。通过对教材中知识点的清晰梳理，学生的学习效率也会得到显著提升。
苏联美学家卢那察尔斯基说：“犯错误乃是取得进步所必须交付的学费。”同样，在学习之路上，犯错误也是学生学习进步必须要交付的学费。正因为如此，每位高中学生在数学学习过程中一定要备好、用好错题本。
总而言之，在高中数学教学过程中，教师要引领学生聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误等。这样一来，学生就能够以错误为梯、补齐短板，进而大幅提升学习实效性了。
参考文献：
[1]顾伟强.“错题集”在高中数学教学中的应用[J].中学教学参考，2017（26）：36-37.
[2]雪保安.错题集在高中数学教学中的应用[J].数理化解题研究，2017（9）：242.
作者简介：
杜红英，青海省西宁市，青海省湟中县李家山中学。