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【摘 要】习题是教材的重要组成部分，研究人教A版新教材中拓展性习题的数量、情境、活动等指标，解析其教学功能，并给出教学建议，真正发挥其教学功能，促进学生数学核心素养的形成.
【关键词】探究性习题;指标分析;教学功能
习题是教材的重要组成部分，是数学教学过程中组织学生学习，促进数学理解的重要载体.各版教材均设置了不同层次的习题来满足学生学习的个性化需求，引导学生展示数学理解力，满足学生自主探究的欲望，拓展学生的数学视野[1].人教A版新教材的习题分为“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”三个层次，其中，“拓广探索”习题着眼于鼓励学生数学探究和知识拓广，所选问题具有探究性、创造性与开放性.本文将此类习题称为拓展性习题，并以人教A版必修新教材中的拓展性习题为例，对该类习题的数量、情境、活动等指标进行分析，解析其教学功能，并提出在具体教学时的建议，敬请指正.
1 几个指标的分析
1.1 习题数量的分析将必修部分拓展性习题统计如下表（见表1）.由表1可知，人教A版必修新教材中的拓展性习题数量为108道，约占习题总数（共605道）的17.9%，拓展性习题主要分布在“三角函数”“平面向量”“指数函数与对数函数”“函数的概念与性质”“立体几何初步”等五个单元中，这是由这些章节在整个高中数学体系中的地位决定的，是后续学习的重要基础，因此很有必要通过一系列的探究、拓展来实现对知识的深刻理解和熟练掌握.
若与其他教材相比，“指数函数与对数函数”单元中的拓展性习题数量（共13道）比其它版教材（北师大版8道，苏教版7道，湘教版1道）都要高，一方面是因为人教A版本单元的教材定位是在掌握指数运算和对数运算的基础上，揭示两种运算下数值的变化特征，为后面研究指、对数函数两类模型的增长差异提供感性认识，如习题4.1第10题和习题4.3第9题.另一方面，人教A版教材在本章增加“不同函数增长的差异”和“函数的应用”两节内容，习题数量相应地随之增多.而“平面向量”这一单元的拓展性习题数量却远少于其他版本（如苏教版23道），这是因为人教A版教材将此类习题的重心放在“向量的数量积”这一核心运算上.
1.2 习题呈现的情境
拓展性习题的情境可根据情境的属性分为真实情境、虚设情境、纯数学情境[2]，其中真实情境取材于日常生活、外部现实世界（自然、艺术、体育、人文等），或文学作品、科幻作品等的故事情境，虚设情境是有一定现实依据的人为构造的情境.人教A版教材按此标准统计如下（见表2）.
从表2可以看出，新教材拓展性习题以纯数学情境为主要的呈现方式，以真实情境或虚设情境作为素材背景的拓展性习题约占总数的三分之一，这样的占比契合此类问题的训练目标.如果数量过多，则会加重学生信息表征的负荷，冲淡此类问题的核心旨意;如果数量过少，则易造成文本素材的呈现比较呆板且脱离生活实际，不利于学生数学应用意识的培养.由此可见，新教材在编写拓展性习题时准确把握了情境设置的“度”，一方面强调素材在探究和拓展方面发挥作用，另一方面强调以现实背景引出数学问题，注重数学与现实生活的密切联系.
1.3 解答习题的活动
教材在设计拓展性习题时，注重考虑为学生创造一定的数学活动条件和空间，学生在此过程中进行解答、写作、项目、阅读、实验等活动.按照文[2]的观点这些活动的含义如下（见表3）.
将教材中拓展性习题按上述活动类型分类统计如下（见表4）.由表4可知教材设置拓展性习题时充分考虑学生的认知水平和量力性原则，以传统的解答活动为主要的活动类型，习题结构完整，问题指向清楚，对相关知识起到了拓展与提升的作用.同时，新教材按照新课程理念设置了以项目、实验、阅读和写作等多元活动来引领学生学习的习题，通过不同类型的活动探究数学知识的本质，提升对知识的理解，促进学生深度学习.新教材注重引导学生通过阅读情境中的信息掌握新知和数学思想方法，培养学生数学阅读能力和知识迁移能力;新教材还设置了针对某一主题引领学生进行项目化学习，要求学生在此过程中进行调查、统计、分析与撰写报告等一系列实践与反思的活动，培养学生运用数学知识分析客观事实（现象）的能力，提高数学素养.但是，新教材在实验活动和写作活动这两类习题上数量相对偏少，占比仅为3.7%和1.8%.
2 教学功能解析
众所周知，拓展性习题在深化理解，巩固认知，拓宽视野等方面有着重要的功能.除此之外，这类习题还有一些隐性的教学功能值得研析.
2.1 承前启后，体现整体教学
有些拓展性习题具有承前启后的教学功能，若能在教学中注重开发利用，可极大提高教学的整体性，加强学生对知识的整体理解.题1 （习题1.4第6题）设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果△ABC为直角三角形，那么a2 b2=c2.反过来，如果a2 b2=c2，那么△ABC为直角三角形.由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a2 b2=c2.请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要條件，并证明.
这道题基于学生已有的认知和活动经验，不仅对已学知识（勾股定理）或方法（化斜为直）进行巩固与拓展，还为新知的学习提供探究准备，充分体现整体的教学理念，让学生在已有的经验中进行探究活动，更利于知识目标的达成.题1正是必修第2册P43学习余弦定理时旁白中的问题“你能用其他方法证明余弦定理吗？”的呼应.
2.2 联系现实，突出数学应用
正如前文分析，一些拓展性习题以现实生活为情境，充分体现了数学的应用价值，加强了数学与现实生活的联系，引领学生“用数学”去进行学习活动.
题2 （习题9.1第11题）你可能想了解全校同学生活、学习中的一些情况，例如，全校同学比较喜欢哪门课程，每月的零花钱平均是多少，喜欢看《新闻联播》的同学的比例是多少，每天大约什么时间起床，每天睡眠的平均时间是多少，等.选一些自己关心的问题，设计一份调查问卷，利用简单随机抽样方法调查你们学校的情况，并解释你所得到的结论.这道题与学生的生活密切相关，需要学生亲身实践，确定学习的主题、方向、方法，并用数学的方法分析，阐明自己的理解和观点.整个研究的过程就是“用数学”，少了枯燥的解题，多了丰富的应用，这样的学习经历对培养学生的综合实践能力和数学素养是大有裨益的. 2.3 文化渗透，突显数学价值
新课程标准倡导将数学文化渗透在日常教学中，包括将数学文化融入在习题中，这一点在新教材的拓展性习题中也得到体现.题3 （习题1.1第5题）集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念.关于集合论，希尔伯特赞誉为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.”请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.
作为高中数学学习的起始课，在习题中安排本题旨在让学生主动去了解“集合”，走进“集合论”，在拓宽知识的同时感受数学史料的乐趣，了解集合论的发展史，激发学习兴趣，有利于整个高中数学学习的心理趋向.
2.4 指导学习，引导深度学习
新教材中还设置了一类引导学生根据已学知识和经验进行再探究的拓展性习题.
题4 （习题5.3第10题）借助单位圆，还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系？由此还能得到三角函数值之间的哪些恒等关系？
这类习题体现的是学生在相同学习经验的基础上进行的“二次学习”，用已经积累的活动经验指导新的思维活动，这是一种反思性的学习体验，也是对自己原有思维进行的迁移活动，是培养学生自学能力和展示数学学习力的途径之一，这样的过程有利于培养学生的发散性思维，促进学生的深度学习.
3 教学建议
如何开发利用拓展性习题？笔者认为除了日常教学中重视运用此类问题进行探究性学习、专题学习外，还可以尝试以下教学组织与实施.
3.1 设计开放问题，培养发散思维
2020年全国高考新课程卷命制了结构不良试题，2021年八省联考填空题中出现开放题，这些无不指向新高考要求学生具备发散思维，而发散思维的培养需要教师在平时教学中设计开放性的问题，引导学生进行探究与思考.拓展性习题就是最佳的学材，以此作为引导学生进行发散性思维学习的载体和典型案例，使其在问题解决的过程中学习一类知识，掌握数学思想方法.
学生会根据自己所学知识进行发散联想，不同知识水平的学生写的求值问题必定不同，学生还会在交流中进行思维碰撞，诱发自己的二次思维，形成自己的发散性思维.同时，教学中还可以引导学生对续写的问题进行整体思维，寻找它们之间的关联，最终形成解决一类问题的“知识框图”，也是解决此类问题的“线路图”（如下图），大大提升知识的理解深度.
3.2 开发实际问题，引领项目学习
很多实际问题受时空、资金等因素影响，学生无法在学习时真实地完成，可以模拟问题情境，让学生以项目学习的视角开展探究与拓展性学习，引导他们运用所学数学知识对模拟的实际问题进行分析与解决，培养知识迁移能力，促进深度学习[3].案例2 （习题6.4第23题）根据实际需要，利用本节所学的知识完成一次有关测量的实习作业，并写出实习报告（包括测量问题、测量工具、测得数据和计算过程及结论）.
以此习题作为研究实际生活中“测量”问题的一个项目，具体实施时加入具体的生活情境，让学生在身临其境中经历项目学习的完整流程：测量的预设、测量的方案设计、测量的数据处理、测量结果的评估等.学生在实践中抽象出实际问题的数学对象，选择合适的数学模型进行研究，运用合理的数学工具进行分析等等，这一系列都直指数学核心素养：用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言描述世界.整个过程可能需要通过小组合作来完成，培养学生团队协作的精神.
最后需要指出的是，在实际教学中由于受急功近利的考试氛围影響，拓展性习题会处于高评价、低使用的尴尬境况，本文旨在呼吁一线教师重视拓展性习题的教学与研究，从学生长远发展考虑，真正发挥其教学功能，以此促进学生数学核心素养的形成.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]徐斌艳.高中数学教材探究内容分析指标体系及比较研究[J].课程·教材·教法，2012（10）：35-40.
[3]丁益民.结构不良试题的认识、功能与教学实施——以2020年新课程卷第17题为例[J].数学通讯，2021（02）：11-14.
作者简介 丁益民（1981—），男，中学高级教师，主要从事高中数学教材教法研究，曾获江苏省教学成果奖一等奖，江苏省教科研先进个人，苏州市学科带头人，在《中学数学杂志》等数学期刊发表论文百余篇.
【关键词】探究性习题;指标分析;教学功能
习题是教材的重要组成部分，是数学教学过程中组织学生学习，促进数学理解的重要载体.各版教材均设置了不同层次的习题来满足学生学习的个性化需求，引导学生展示数学理解力，满足学生自主探究的欲望，拓展学生的数学视野[1].人教A版新教材的习题分为“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”三个层次，其中，“拓广探索”习题着眼于鼓励学生数学探究和知识拓广，所选问题具有探究性、创造性与开放性.本文将此类习题称为拓展性习题，并以人教A版必修新教材中的拓展性习题为例，对该类习题的数量、情境、活动等指标进行分析，解析其教学功能，并提出在具体教学时的建议，敬请指正.
1 几个指标的分析
1.1 习题数量的分析将必修部分拓展性习题统计如下表（见表1）.由表1可知，人教A版必修新教材中的拓展性习题数量为108道，约占习题总数（共605道）的17.9%，拓展性习题主要分布在“三角函数”“平面向量”“指数函数与对数函数”“函数的概念与性质”“立体几何初步”等五个单元中，这是由这些章节在整个高中数学体系中的地位决定的，是后续学习的重要基础，因此很有必要通过一系列的探究、拓展来实现对知识的深刻理解和熟练掌握.
若与其他教材相比，“指数函数与对数函数”单元中的拓展性习题数量（共13道）比其它版教材（北师大版8道，苏教版7道，湘教版1道）都要高，一方面是因为人教A版本单元的教材定位是在掌握指数运算和对数运算的基础上，揭示两种运算下数值的变化特征，为后面研究指、对数函数两类模型的增长差异提供感性认识，如习题4.1第10题和习题4.3第9题.另一方面，人教A版教材在本章增加“不同函数增长的差异”和“函数的应用”两节内容，习题数量相应地随之增多.而“平面向量”这一单元的拓展性习题数量却远少于其他版本（如苏教版23道），这是因为人教A版教材将此类习题的重心放在“向量的数量积”这一核心运算上.
1.2 习题呈现的情境
拓展性习题的情境可根据情境的属性分为真实情境、虚设情境、纯数学情境[2]，其中真实情境取材于日常生活、外部现实世界（自然、艺术、体育、人文等），或文学作品、科幻作品等的故事情境，虚设情境是有一定现实依据的人为构造的情境.人教A版教材按此标准统计如下（见表2）.
从表2可以看出，新教材拓展性习题以纯数学情境为主要的呈现方式，以真实情境或虚设情境作为素材背景的拓展性习题约占总数的三分之一，这样的占比契合此类问题的训练目标.如果数量过多，则会加重学生信息表征的负荷，冲淡此类问题的核心旨意;如果数量过少，则易造成文本素材的呈现比较呆板且脱离生活实际，不利于学生数学应用意识的培养.由此可见，新教材在编写拓展性习题时准确把握了情境设置的“度”，一方面强调素材在探究和拓展方面发挥作用，另一方面强调以现实背景引出数学问题，注重数学与现实生活的密切联系.
1.3 解答习题的活动
教材在设计拓展性习题时，注重考虑为学生创造一定的数学活动条件和空间，学生在此过程中进行解答、写作、项目、阅读、实验等活动.按照文[2]的观点这些活动的含义如下（见表3）.
将教材中拓展性习题按上述活动类型分类统计如下（见表4）.由表4可知教材设置拓展性习题时充分考虑学生的认知水平和量力性原则，以传统的解答活动为主要的活动类型，习题结构完整，问题指向清楚，对相关知识起到了拓展与提升的作用.同时，新教材按照新课程理念设置了以项目、实验、阅读和写作等多元活动来引领学生学习的习题，通过不同类型的活动探究数学知识的本质，提升对知识的理解，促进学生深度学习.新教材注重引导学生通过阅读情境中的信息掌握新知和数学思想方法，培养学生数学阅读能力和知识迁移能力;新教材还设置了针对某一主题引领学生进行项目化学习，要求学生在此过程中进行调查、统计、分析与撰写报告等一系列实践与反思的活动，培养学生运用数学知识分析客观事实（现象）的能力，提高数学素养.但是，新教材在实验活动和写作活动这两类习题上数量相对偏少，占比仅为3.7%和1.8%.
2 教学功能解析
众所周知，拓展性习题在深化理解，巩固认知，拓宽视野等方面有着重要的功能.除此之外，这类习题还有一些隐性的教学功能值得研析.
2.1 承前启后，体现整体教学
有些拓展性习题具有承前启后的教学功能，若能在教学中注重开发利用，可极大提高教学的整体性，加强学生对知识的整体理解.题1 （习题1.4第6题）设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果△ABC为直角三角形，那么a2 b2=c2.反过来，如果a2 b2=c2，那么△ABC为直角三角形.由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a2 b2=c2.请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要條件，并证明.
这道题基于学生已有的认知和活动经验，不仅对已学知识（勾股定理）或方法（化斜为直）进行巩固与拓展，还为新知的学习提供探究准备，充分体现整体的教学理念，让学生在已有的经验中进行探究活动，更利于知识目标的达成.题1正是必修第2册P43学习余弦定理时旁白中的问题“你能用其他方法证明余弦定理吗？”的呼应.
2.2 联系现实，突出数学应用
正如前文分析，一些拓展性习题以现实生活为情境，充分体现了数学的应用价值，加强了数学与现实生活的联系，引领学生“用数学”去进行学习活动.
题2 （习题9.1第11题）你可能想了解全校同学生活、学习中的一些情况，例如，全校同学比较喜欢哪门课程，每月的零花钱平均是多少，喜欢看《新闻联播》的同学的比例是多少，每天大约什么时间起床，每天睡眠的平均时间是多少，等.选一些自己关心的问题，设计一份调查问卷，利用简单随机抽样方法调查你们学校的情况，并解释你所得到的结论.这道题与学生的生活密切相关，需要学生亲身实践，确定学习的主题、方向、方法，并用数学的方法分析，阐明自己的理解和观点.整个研究的过程就是“用数学”，少了枯燥的解题，多了丰富的应用，这样的学习经历对培养学生的综合实践能力和数学素养是大有裨益的. 2.3 文化渗透，突显数学价值
新课程标准倡导将数学文化渗透在日常教学中，包括将数学文化融入在习题中，这一点在新教材的拓展性习题中也得到体现.题3 （习题1.1第5题）集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念.关于集合论，希尔伯特赞誉为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.”请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.
作为高中数学学习的起始课，在习题中安排本题旨在让学生主动去了解“集合”，走进“集合论”，在拓宽知识的同时感受数学史料的乐趣，了解集合论的发展史，激发学习兴趣，有利于整个高中数学学习的心理趋向.
2.4 指导学习，引导深度学习
新教材中还设置了一类引导学生根据已学知识和经验进行再探究的拓展性习题.
题4 （习题5.3第10题）借助单位圆，还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系？由此还能得到三角函数值之间的哪些恒等关系？
这类习题体现的是学生在相同学习经验的基础上进行的“二次学习”，用已经积累的活动经验指导新的思维活动，这是一种反思性的学习体验，也是对自己原有思维进行的迁移活动，是培养学生自学能力和展示数学学习力的途径之一，这样的过程有利于培养学生的发散性思维，促进学生的深度学习.
3 教学建议
如何开发利用拓展性习题？笔者认为除了日常教学中重视运用此类问题进行探究性学习、专题学习外，还可以尝试以下教学组织与实施.
3.1 设计开放问题，培养发散思维
2020年全国高考新课程卷命制了结构不良试题，2021年八省联考填空题中出现开放题，这些无不指向新高考要求学生具备发散思维，而发散思维的培养需要教师在平时教学中设计开放性的问题，引导学生进行探究与思考.拓展性习题就是最佳的学材，以此作为引导学生进行发散性思维学习的载体和典型案例，使其在问题解决的过程中学习一类知识，掌握数学思想方法.
学生会根据自己所学知识进行发散联想，不同知识水平的学生写的求值问题必定不同，学生还会在交流中进行思维碰撞，诱发自己的二次思维，形成自己的发散性思维.同时，教学中还可以引导学生对续写的问题进行整体思维，寻找它们之间的关联，最终形成解决一类问题的“知识框图”，也是解决此类问题的“线路图”（如下图），大大提升知识的理解深度.
3.2 开发实际问题，引领项目学习
很多实际问题受时空、资金等因素影响，学生无法在学习时真实地完成，可以模拟问题情境，让学生以项目学习的视角开展探究与拓展性学习，引导他们运用所学数学知识对模拟的实际问题进行分析与解决，培养知识迁移能力，促进深度学习[3].案例2 （习题6.4第23题）根据实际需要，利用本节所学的知识完成一次有关测量的实习作业，并写出实习报告（包括测量问题、测量工具、测得数据和计算过程及结论）.
以此习题作为研究实际生活中“测量”问题的一个项目，具体实施时加入具体的生活情境，让学生在身临其境中经历项目学习的完整流程：测量的预设、测量的方案设计、测量的数据处理、测量结果的评估等.学生在实践中抽象出实际问题的数学对象，选择合适的数学模型进行研究，运用合理的数学工具进行分析等等，这一系列都直指数学核心素养：用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言描述世界.整个过程可能需要通过小组合作来完成，培养学生团队协作的精神.
最后需要指出的是，在实际教学中由于受急功近利的考试氛围影響，拓展性习题会处于高评价、低使用的尴尬境况，本文旨在呼吁一线教师重视拓展性习题的教学与研究，从学生长远发展考虑，真正发挥其教学功能，以此促进学生数学核心素养的形成.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]徐斌艳.高中数学教材探究内容分析指标体系及比较研究[J].课程·教材·教法，2012（10）：35-40.
[3]丁益民.结构不良试题的认识、功能与教学实施——以2020年新课程卷第17题为例[J].数学通讯，2021（02）：11-14.
作者简介 丁益民（1981—），男，中学高级教师，主要从事高中数学教材教法研究，曾获江苏省教学成果奖一等奖，江苏省教科研先进个人，苏州市学科带头人，在《中学数学杂志》等数学期刊发表论文百余篇.