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一、思考问题不严密，凭直觉错用不等式的性质
例1 若[a>b>0]，且[a+mb+m]>[ab]，则[m]的取值范围是（ ）
A. [m][∈]R B. [m>0 ]
C. [m<0] D.[-b 错因分析 错用了不等式的性质．
正确解法 由[a+mb+m]>[ab]，
有[a+mb+m][-][ab][>0,]通分有[(b-a)mb(b+m)>0]，
[∵a>b>0,∴mm+b<0,][∴-b 点评 这题是由“向糖水中加入糖，糖水变甜了”这句话提炼的一个不等式变化后得到的. 此不等式为[a+mb+m][>ab]，但条件是[b>a>0且m>0]. 这题是选择题，可以利用上面的结论小题小做．
二、要注意不等式变形的等价性
例2 设[f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)][≤4,则f(-2)]的取值范围是（ ）
A. [5,11] B. [6,10]
C. [5,10] D. [6,11]
错因分析在解题过程中易出现由[1≤a-b≤2,][3≤a+b≤4,]解得[2≤a≤3,12≤b≤32,]从而得[5≤f(-2)=4a-2b≤11]的情况，导致此错误的原因是：多次运用同向不等式相加，导致了范围的扩大．
正确解法一待定系数法：
[f(-2)=(a+b)+][3(a-b)=f(1)+3f(-1)]，
易得[6≤f(-2)≤10.]
正确解法二 利用线性规划可以更好地解释误区分析中的错误．
点评利用线性规划来解决不等式的问题，非常直观，而且有时会起到意想不到的效果．
三、解一元二次不等式考虑问题要全面．
例3 若[a1a2=b1b2=c1c2]，[a1、a2、b1、b2、c1、c2]都不为零，则[a1x2+b1x+c1≥0]与[a2x2+b2x+c2][≥0]解集相同. 此命题是真命题吗？
错因分析 考虑问题不全面，比值可能为负. 此题还可以拓展：[a1x2+b1x+c1≥0]与[a2x2+b2x][+c2≥0]解集相同的等价条件是什么？除了以上的考虑外，则还需考虑解集为全体实数与空集的情况．
正确答案 不是.
例4已知关于[x]的不等式[(a2-4)x2+(a+2)x][-1≥0]的解集是空集，则实数[a]的取值范围为 .
错因分析 容易忽视[a=-2]的情况，因为题目没有强调这是一元二次不等式．
正确答案 [[-2,65).]
四、利用基本不等式时一定要保证条件缺一不可
（1)要求變量为正数；（2）要求和（积）为定值；（3）要保证等号取得到.
例5 已知[x2+2xy-1=0]，则[x+y∈] ．
错因分析 由已知有[y=1-x22x,x+y=12(x+1x)][≥1]，没有考虑到[x][<0]的情况．利用基本不等式解题一定要注意条件“一正，二定，三等号”，此题需要利用[y=x+1x]的单调性来解题.（此题还可以限制[x]的范围，比如[x≥2]，求[y]的范围）
正确解法[y=1-x22x,]
[x+y=12(x+1x)][∈][(-∞,][-1][⋃1,+∞)]．
例6 已知两个正变量[x、y]满足[x+y=4,]则使不等式[1x+4y≥m]恒成立的实数[m]的取值范围是 ．
错误原因一 条件[x+y]＝4不知如何使用．
错误原因二 [∵x、y是正数，][且x+y=4,]
[∴xy≤(x+y2)2=4.]
又由基本不等式得[1x+4y≥24xy,]而[xy≤4,][∴1xy≥14,∴1x+4y≥24xy≥2]，故[m][≤2.]
导致此种错误的原因是在整个求解过程中使用了两次基本不等式，而两个不等式等号成立的条件不一致. 导致最后的等号取不到，从而扩大了范围．
正确解法 [1x+4y=x+y4(1x+4y)]
[=14(5+yx+4xy)≥94]，
[∴m≤94]．
点评函数与不等式是紧密相关的，二者常常相互转化. 如求函数的定义域就是解不等式，求函数的值域常用基本不等式，判断函数的单调性也与不等式有关. 不等式恒成立的问题又常常转化为函数的最值问题解决．
五、忽略题设条件中隐含条件的挖掘
例7 [4x+4y-2(2x+2y)=0]，则[2x+2y∈]．
错误解法 由条件得
[(2x+2y)2-2⋅2x2y-2(2x+2y)=0]，
[∴(2x+2y)2][-2(2x+2y)][=2⋅2x2y≤2(2x+2y2)2]，
则有[2x+2y∈][0,4]．
此解法忽视[2⋅2x2y>0]．
正确解法 由条件得
[(2x+2y)2-2⋅2x2y-2(2x+2y)=0,]
[∴(2x+2y)2][-2(2x+2y)][=2⋅2x2y≤2(2x+2y2)2,]
且 [(2x+2y)2][-2(2x+2y)][=2⋅2x2y>0,]
[∴][2x+2y∈][2,4].
此题还可以转化为规划问题来求解.
点评解决难题常常用到转化与化归这种重要的数学思想，高考非常注重这种能力的考查.
[【练习】]
1. 若对于任意[x]∈R，都有[(m-2)x2-][2(m-2)x][-4<0]恒成立，则实数[m]的取值范围是 .
2. 不等式[log2(x+1x+6)≤3]的解集为 .
3．若实数[x、y]满足[4x2-5xy+4y2=5]，设[s=x2+y2]，则[1smax+1smin=]．
4．对于任意的[x>1]都有[ax+xx-1>b]成立，其中[a>0、b>0]，试求[a、b]之间应满足的关系．
5．已知[x1、x2]是方程[x2-(k-2)x+(k2+3k+5)][=0(k∈R)]的两个实根，则[x12+x22]的最大值为（ ）
A. 18 B. 19
C. [559] D. 不存在
6．已知实数[x、y]满足[xy=x-y]，则[x]的取值范围是 .
[【参考答案】]
1. [-2,2]2.[-3-22,-3+22⋃][1]
3. [85]4. [a+1>b(a>0，b>0)]
5. A 6. [{xx<0或x≥4}]
例1 若[a>b>0]，且[a+mb+m]>[ab]，则[m]的取值范围是（ ）
A. [m][∈]R B. [m>0 ]
C. [m<0] D.[-b
正确解法 由[a+mb+m]>[ab]，
有[a+mb+m][-][ab][>0,]通分有[(b-a)mb(b+m)>0]，
[∵a>b>0,∴mm+b<0,][∴-b
二、要注意不等式变形的等价性
例2 设[f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)][≤4,则f(-2)]的取值范围是（ ）
A. [5,11] B. [6,10]
C. [5,10] D. [6,11]
错因分析在解题过程中易出现由[1≤a-b≤2,][3≤a+b≤4,]解得[2≤a≤3,12≤b≤32,]从而得[5≤f(-2)=4a-2b≤11]的情况，导致此错误的原因是：多次运用同向不等式相加，导致了范围的扩大．
正确解法一待定系数法：
[f(-2)=(a+b)+][3(a-b)=f(1)+3f(-1)]，
易得[6≤f(-2)≤10.]
正确解法二 利用线性规划可以更好地解释误区分析中的错误．
点评利用线性规划来解决不等式的问题，非常直观，而且有时会起到意想不到的效果．
三、解一元二次不等式考虑问题要全面．
例3 若[a1a2=b1b2=c1c2]，[a1、a2、b1、b2、c1、c2]都不为零，则[a1x2+b1x+c1≥0]与[a2x2+b2x+c2][≥0]解集相同. 此命题是真命题吗？
错因分析 考虑问题不全面，比值可能为负. 此题还可以拓展：[a1x2+b1x+c1≥0]与[a2x2+b2x][+c2≥0]解集相同的等价条件是什么？除了以上的考虑外，则还需考虑解集为全体实数与空集的情况．
正确答案 不是.
例4已知关于[x]的不等式[(a2-4)x2+(a+2)x][-1≥0]的解集是空集，则实数[a]的取值范围为 .
错因分析 容易忽视[a=-2]的情况，因为题目没有强调这是一元二次不等式．
正确答案 [[-2,65).]
四、利用基本不等式时一定要保证条件缺一不可
（1)要求變量为正数；（2）要求和（积）为定值；（3）要保证等号取得到.
例5 已知[x2+2xy-1=0]，则[x+y∈] ．
错因分析 由已知有[y=1-x22x,x+y=12(x+1x)][≥1]，没有考虑到[x][<0]的情况．利用基本不等式解题一定要注意条件“一正，二定，三等号”，此题需要利用[y=x+1x]的单调性来解题.（此题还可以限制[x]的范围，比如[x≥2]，求[y]的范围）
正确解法[y=1-x22x,]
[x+y=12(x+1x)][∈][(-∞,][-1][⋃1,+∞)]．
例6 已知两个正变量[x、y]满足[x+y=4,]则使不等式[1x+4y≥m]恒成立的实数[m]的取值范围是 ．
错误原因一 条件[x+y]＝4不知如何使用．
错误原因二 [∵x、y是正数，][且x+y=4,]
[∴xy≤(x+y2)2=4.]
又由基本不等式得[1x+4y≥24xy,]而[xy≤4,][∴1xy≥14,∴1x+4y≥24xy≥2]，故[m][≤2.]
导致此种错误的原因是在整个求解过程中使用了两次基本不等式，而两个不等式等号成立的条件不一致. 导致最后的等号取不到，从而扩大了范围．
正确解法 [1x+4y=x+y4(1x+4y)]
[=14(5+yx+4xy)≥94]，
[∴m≤94]．
点评函数与不等式是紧密相关的，二者常常相互转化. 如求函数的定义域就是解不等式，求函数的值域常用基本不等式，判断函数的单调性也与不等式有关. 不等式恒成立的问题又常常转化为函数的最值问题解决．
五、忽略题设条件中隐含条件的挖掘
例7 [4x+4y-2(2x+2y)=0]，则[2x+2y∈]．
错误解法 由条件得
[(2x+2y)2-2⋅2x2y-2(2x+2y)=0]，
[∴(2x+2y)2][-2(2x+2y)][=2⋅2x2y≤2(2x+2y2)2]，
则有[2x+2y∈][0,4]．
此解法忽视[2⋅2x2y>0]．
正确解法 由条件得
[(2x+2y)2-2⋅2x2y-2(2x+2y)=0,]
[∴(2x+2y)2][-2(2x+2y)][=2⋅2x2y≤2(2x+2y2)2,]
且 [(2x+2y)2][-2(2x+2y)][=2⋅2x2y>0,]
[∴][2x+2y∈][2,4].
此题还可以转化为规划问题来求解.
点评解决难题常常用到转化与化归这种重要的数学思想，高考非常注重这种能力的考查.
[【练习】]
1. 若对于任意[x]∈R，都有[(m-2)x2-][2(m-2)x][-4<0]恒成立，则实数[m]的取值范围是 .
2. 不等式[log2(x+1x+6)≤3]的解集为 .
3．若实数[x、y]满足[4x2-5xy+4y2=5]，设[s=x2+y2]，则[1smax+1smin=]．
4．对于任意的[x>1]都有[ax+xx-1>b]成立，其中[a>0、b>0]，试求[a、b]之间应满足的关系．
5．已知[x1、x2]是方程[x2-(k-2)x+(k2+3k+5)][=0(k∈R)]的两个实根，则[x12+x22]的最大值为（ ）
A. 18 B. 19
C. [559] D. 不存在
6．已知实数[x、y]满足[xy=x-y]，则[x]的取值范围是 .
[【参考答案】]
1. [-2,2]2.[-3-22,-3+22⋃][1]
3. [85]4. [a+1>b(a>0，b>0)]
5. A 6. [{xx<0或x≥4}]