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摘要：运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考察的五种能力之一，极值问题涉及的范围广，考察频繁，教学中应引起足够重视。本文从数学角度对求解物理极值问题做些说明。
关键词：物理极值问题，数学知识，二次函数，三角函数，基本不等式，图解法，几何法
中图分类号：G4 文献标识码：A
一、二次函数求极值
例1、如图所示，小球B在A的正下方两球相距h，将A球以速率v1沿水平向右抛出，同时将小球B以速率v2沿竖直向上抛出，不考虑两球的大小及空气阻力，则两球在落地前球A与B之间的最短距离为（ ）
A.h B.h C.h D.h
小球甲做平抛运动，小球乙做竖直上抛运动，设经过时间t位移最短，根据运动学基本规律求出两球之间的距离的表达式，结合数学知识即可求解。
解：设经过时间t，A在竖直方向的距地面的高度为
A在水平方向的位移为x=v1t，B在水平方向的位移始终为0
乙在竖直方向做竖直上抛运动，距地面的高度为
两球在竖直方向的距离为y=hA﹣hB=h﹣v2t
两球之间的距离为==
根据二次函数极值知识可知当（二次函数求极值）时，s取最小值
二、三角函数求极值
例2、如图所示，变力F作用在不可伸长的绳子一端，绳子另一端连接到小车上，F通过光滑定滑轮拉动小车，使小车匀速向左前进，初始时，绳子和水平方向夹角为45°，小车与地面之间的动摩擦因数为μ，满足0<μ<1。拉动过程中，拉力F如何变化？
解：令绳子和水平方向夹角为θ（45°≤θ≤90°），由于小车匀速向左运动，小车受力平衡，水平方向：，豎直方向：，且，联立解得，，利用数学知识对于形如y=acosθ+bsinθ函数，进行三角转换，令tan则上式可写成
令，，则
，当α+θ=90°时，上式有最大值，即变力F有最小值，由于0<μ<1，所以α>45°，即初态α+θ>90°，所以随θ的增大而减小，变力F随θ的增大而增大，
三、基本不等式求极值
例3、在水平地面上有相距为S的两点AB，在B点的正上方不同高度水平抛出的小球，都落在地面上的A点。若要求落在A点的小球速度最小，则抛出点到B点的竖直高度是（不计空气阻力）（ ）
A. B. C.S D.2S
利用平抛运动位移公式h=，S=v0t，以及动能定理列出v和S的关系式，利用数学方法求出v最小时对于的竖直高度。
解：根据平抛运动规律
竖直方向上有：h=
水平方向上有：S=v0t
根据动能定理：mgh=mv2﹣mv02，
联立上面各式解得：v2=2gh+
当2gh=时，即当h=时v最小。
关键词：物理极值问题，数学知识，二次函数，三角函数，基本不等式，图解法，几何法
中图分类号：G4 文献标识码：A
一、二次函数求极值
例1、如图所示，小球B在A的正下方两球相距h，将A球以速率v1沿水平向右抛出，同时将小球B以速率v2沿竖直向上抛出，不考虑两球的大小及空气阻力，则两球在落地前球A与B之间的最短距离为（ ）
A.h B.h C.h D.h
小球甲做平抛运动，小球乙做竖直上抛运动，设经过时间t位移最短，根据运动学基本规律求出两球之间的距离的表达式，结合数学知识即可求解。
解：设经过时间t，A在竖直方向的距地面的高度为
A在水平方向的位移为x=v1t，B在水平方向的位移始终为0
乙在竖直方向做竖直上抛运动，距地面的高度为
两球在竖直方向的距离为y=hA﹣hB=h﹣v2t
两球之间的距离为==
根据二次函数极值知识可知当（二次函数求极值）时，s取最小值
二、三角函数求极值
例2、如图所示，变力F作用在不可伸长的绳子一端，绳子另一端连接到小车上，F通过光滑定滑轮拉动小车，使小车匀速向左前进，初始时，绳子和水平方向夹角为45°，小车与地面之间的动摩擦因数为μ，满足0<μ<1。拉动过程中，拉力F如何变化？
解：令绳子和水平方向夹角为θ（45°≤θ≤90°），由于小车匀速向左运动，小车受力平衡，水平方向：，豎直方向：，且，联立解得，，利用数学知识对于形如y=acosθ+bsinθ函数，进行三角转换，令tan则上式可写成
令，，则
，当α+θ=90°时，上式有最大值，即变力F有最小值，由于0<μ<1，所以α>45°，即初态α+θ>90°，所以随θ的增大而减小，变力F随θ的增大而增大，
三、基本不等式求极值
例3、在水平地面上有相距为S的两点AB，在B点的正上方不同高度水平抛出的小球，都落在地面上的A点。若要求落在A点的小球速度最小，则抛出点到B点的竖直高度是（不计空气阻力）（ ）
A. B. C.S D.2S
利用平抛运动位移公式h=，S=v0t，以及动能定理列出v和S的关系式，利用数学方法求出v最小时对于的竖直高度。
解：根据平抛运动规律
竖直方向上有：h=
水平方向上有：S=v0t
根据动能定理：mgh=mv2﹣mv02，
联立上面各式解得：v2=2gh+
当2gh=时，即当h=时v最小。