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【摘要】在团体比赛中,比赛阵容的合理性会直接影响成败。在确定比赛阵容时,主要参照运动员的竞技水平。本文根据10名运动员的竞技水平和赛程规定确定最佳参赛阵容。
【关键词】0-1整数线性规划 非线性规划 正态分布 中心极限定律
【中图分类号】G837 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)06-0044-01
1 问题提出
有一场由四个项目(高低杠、平衡木、跳马、自由体操) 组成的女子体操团体赛,赛程规定:每个队至多允许10名运动员参赛,每一个项目可以有6名选手参加。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和,总分最多的代表队为优胜者。此外,还规定每个运动员只能参加全能比赛(四项全参加) 与单项比赛这两类中的一类,参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三个单项。每个队应有4人参加全能比赛,其余运动员参加单项比赛。在已经测出的10名运动员参加各个项目的成绩,且已预测出本次夺冠的团体总分估计为不少于236.2分的前提下,建立模型求出该队为了夺冠所应排出的阵容,并分析以该阵容出战,其夺冠的前景和得分前景,以及它有90％的把握所战胜对手的水平。
2 问题分析
由于运动员参加各个项目的成绩会直接影响比赛成绩,因此在确定一个高效的比赛阵容,必须首先知道各运动员的各单项得分情况。每个运动员的各项得分不确定,可让运动员凭借这4个得分和概率情况参赛,以赛程规则和取得估计冠军分为约束,建立非线性规划模型,求得最佳阵容。由每个运动员的4个得分情况都是相互独立并且服从正态分布,可知团队总得分也应服从正态分布。再应用相关的概率论知识便可求的其得分前景和取胜把握。
3 模型假设
所给选手竞技得分情况都真实可靠;所有参赛队员比赛时不受其他环境和人为因素影响;裁判的评分公正,没有个人倾好;对本次夺冠的团体总分估计客观真实;各选手参赛时不会出现舞弊情况;各选手参赛时不会违反比赛规则,中途退场。
4 模型建立与求解
4.1 夺冠模型的建立与求解
通过对问题的分析得知,每个运动员参赛时4个得分都有可能会发生。根据已知的夺冠队分数不低于236.2分,可以算出代表队要夺冠各个项目的平均得分为不低于9.8417。首先对数据进行处理,把每个队员的各项得分按照分数从低到高排列,用k=1,2,3,4记运动员参加项目得到了第k种分数,可以看出代表队要夺冠就必须至少得到第3个分数。xijk表示第i个人以第k个得分参加第j个项目所得分数。引入0-1变量qikj,
建立如下的整数规划模型:
对这个模型做几点解释:第1个约束表示每个队员比赛时得到4种分数的概率总和要小于1;第2个约束表示每一个项目可以有6名选手参加;第3、4个约束用yi标记第i个人参加全能赛,从而表示每个队应有4人参加全能比赛。第5个约束表示团队总分大于236.2。
为了便与Lingo求解,可把目标函数
等价的改写为
。
采用Lingo软件求解模型,可得目标函数的最大值为P=4.32×10-19以及满足约束的最佳阵容。
4.2 夺冠前景与得分前景
从模型的结果P=4.32×10-19可以看出,该代表队无论以什么阵容出场,获得冠军的可能性几乎是不可能的。根据每个运动员参加每个项目的得分均值,可以得到以该阵容出场时,得分的数学期望为222.9。
记Cij为第j个人参加第i个项目的得分的随机变量,总得分随机变量。假设总得分Z服从正态分布,类似地可以求得最乐观情形下,该队的总得分为236.9。所以。因为各个Cij均为相互独立的随机变量,所以总分的期望值
总分的方差为
,由上面已求得的E(Z)=222.45,可计算出
所以该代表队的总得分大体服从[212.3,236.9]的正态分布,其中期望为222.45,方差为3.6572。
4.3 取胜把握
虽然由上面的结果知该队很难夺冠,但可以求出以上述阵容出场有90％把握得到的分数,既而求得它有90％的把握所能战胜的手的水平。要求得上面的分数,就是求满足的分数z。
由概率论的中心极限定理得
根据标准正态分布表可得
,z=217.73,因此该代表队有90%的把握取得217.73分。
本文的模型很好的解决了教练在运动员现有的竞技水平下,如何排出最佳阵容取得最高成绩的问题。本文虽然建立的是非线性规划模型,但我们利用指数函数与对数函数的性质巧妙地转化成了线性规划问题,方便了问题的求解。此外对各阵容得分统计发现,团体总分服从正态分布。根据中心极限定理算得的有90%战胜的对手分数具有一定的可信度。同时也可以在对手水平已知的情况下,较准确的预测出团队取胜的概率。
参考文献
[1] 姜启源.谢金星.叶俊.数学模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社.2003.
[2] 韩中庚.数学建模方法及其应用.[M].北京:高等教育出版社.2005.
[3] 朱德通.最优化模型与实验.[M].上海:同济大学出版社.2003.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】0-1整数线性规划 非线性规划 正态分布 中心极限定律
【中图分类号】G837 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)06-0044-01
1 问题提出
有一场由四个项目(高低杠、平衡木、跳马、自由体操) 组成的女子体操团体赛,赛程规定:每个队至多允许10名运动员参赛,每一个项目可以有6名选手参加。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和,总分最多的代表队为优胜者。此外,还规定每个运动员只能参加全能比赛(四项全参加) 与单项比赛这两类中的一类,参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三个单项。每个队应有4人参加全能比赛,其余运动员参加单项比赛。在已经测出的10名运动员参加各个项目的成绩,且已预测出本次夺冠的团体总分估计为不少于236.2分的前提下,建立模型求出该队为了夺冠所应排出的阵容,并分析以该阵容出战,其夺冠的前景和得分前景,以及它有90％的把握所战胜对手的水平。
2 问题分析
由于运动员参加各个项目的成绩会直接影响比赛成绩,因此在确定一个高效的比赛阵容,必须首先知道各运动员的各单项得分情况。每个运动员的各项得分不确定,可让运动员凭借这4个得分和概率情况参赛,以赛程规则和取得估计冠军分为约束,建立非线性规划模型,求得最佳阵容。由每个运动员的4个得分情况都是相互独立并且服从正态分布,可知团队总得分也应服从正态分布。再应用相关的概率论知识便可求的其得分前景和取胜把握。
3 模型假设
所给选手竞技得分情况都真实可靠;所有参赛队员比赛时不受其他环境和人为因素影响;裁判的评分公正,没有个人倾好;对本次夺冠的团体总分估计客观真实;各选手参赛时不会出现舞弊情况;各选手参赛时不会违反比赛规则,中途退场。
4 模型建立与求解
4.1 夺冠模型的建立与求解
通过对问题的分析得知,每个运动员参赛时4个得分都有可能会发生。根据已知的夺冠队分数不低于236.2分,可以算出代表队要夺冠各个项目的平均得分为不低于9.8417。首先对数据进行处理,把每个队员的各项得分按照分数从低到高排列,用k=1,2,3,4记运动员参加项目得到了第k种分数,可以看出代表队要夺冠就必须至少得到第3个分数。xijk表示第i个人以第k个得分参加第j个项目所得分数。引入0-1变量qikj,
建立如下的整数规划模型:
对这个模型做几点解释:第1个约束表示每个队员比赛时得到4种分数的概率总和要小于1;第2个约束表示每一个项目可以有6名选手参加;第3、4个约束用yi标记第i个人参加全能赛,从而表示每个队应有4人参加全能比赛。第5个约束表示团队总分大于236.2。
为了便与Lingo求解,可把目标函数
等价的改写为
。
采用Lingo软件求解模型,可得目标函数的最大值为P=4.32×10-19以及满足约束的最佳阵容。
4.2 夺冠前景与得分前景
从模型的结果P=4.32×10-19可以看出,该代表队无论以什么阵容出场,获得冠军的可能性几乎是不可能的。根据每个运动员参加每个项目的得分均值,可以得到以该阵容出场时,得分的数学期望为222.9。
记Cij为第j个人参加第i个项目的得分的随机变量,总得分随机变量。假设总得分Z服从正态分布,类似地可以求得最乐观情形下,该队的总得分为236.9。所以。因为各个Cij均为相互独立的随机变量,所以总分的期望值
总分的方差为
,由上面已求得的E(Z)=222.45,可计算出
所以该代表队的总得分大体服从[212.3,236.9]的正态分布,其中期望为222.45,方差为3.6572。
4.3 取胜把握
虽然由上面的结果知该队很难夺冠,但可以求出以上述阵容出场有90％把握得到的分数,既而求得它有90％的把握所能战胜的手的水平。要求得上面的分数,就是求满足的分数z。
由概率论的中心极限定理得
根据标准正态分布表可得
,z=217.73,因此该代表队有90%的把握取得217.73分。
本文的模型很好的解决了教练在运动员现有的竞技水平下,如何排出最佳阵容取得最高成绩的问题。本文虽然建立的是非线性规划模型,但我们利用指数函数与对数函数的性质巧妙地转化成了线性规划问题,方便了问题的求解。此外对各阵容得分统计发现,团体总分服从正态分布。根据中心极限定理算得的有90%战胜的对手分数具有一定的可信度。同时也可以在对手水平已知的情况下,较准确的预测出团队取胜的概率。
参考文献
[1] 姜启源.谢金星.叶俊.数学模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社.2003.
[2] 韩中庚.数学建模方法及其应用.[M].北京:高等教育出版社.2005.
[3] 朱德通.最优化模型与实验.[M].上海:同济大学出版社.2003.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”