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摘要：根据南丰蜜桔叶片的特征，将变形函数应用在矩形平面中模拟叶片形状。首先设计边界变形函数将矩形变形得到南丰蜜桔叶片轮廓形状；再将圆锥变形设计中脉；最后使用法向量的变形函数将平面叶片变形为曲面的效果。通过与真实图片的结果对比，表明其造型效果较好。
关键词：植物叶片；变形；几何形状
中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章編号：1009-3044（2015）29-0181-02
Realistic Modeling for Plant leaf of Nanfeng Orange
LU Lu， LU Ling
（School of Information Engineering， East China Institute of Technology， Nanchang 330013， China）
Abstract： According to the characteristics of plant leaf of Nanfeng orange， through the deformation of rectangular plane， we simulate the shape of orange leaf. First， the boundary of orange leaf be formed by deformation function. Second，the cone is deformed to form midrib. Finally， the deformation function in the normal vector will be used on the plane leaf and the leaf is rendered. By comparison with the results of real images， it shows that the effect is better.
Key words： plant leaf； deformation； geometry shape
1 绪论
植物叶片是植物的重要组成器官之一，也是植物获取能源的主要器官，它是植物进行光合作用和蒸腾作用的重要功能器官。叶片的生理和生态功能与它的形态密切相关，它的形态结构直接决定了这些功能的发挥。在很多虚拟场景表现中，叶片的真实感成为了评判虚拟场景真实感的标准之一。
植物真实感建模刚开始注重植物支架结构和骨架形状，后来才开始注重植物器官的细节造型。在叶片轮廓模拟方面，刘晓东等[1]基于NURB曲面对植物叶片进行造型，马珍杰等[2]是利用Bezier曲面对树叶进行造型，文献[3-4]用Bezier或B样条曲线生成叶片轮廓，并在此基础上进行分片细分形成叶片曲面。这种基于自由曲面的造型方法不利于叶片的锯齿轮廓造型。迟小羽等[5]引入了双层结构模型表达叶子的力学结构，建立了关于叶子基本结构的双层质点-弹簧，可以真实的展现叶子基本结构的变化。刘畅[6]从叶片的图像提取叶片的轮廓，从轮廓提取特征点并构成叶轮的拟合线。王立臣等[9]提出了基于图像的树叶仿真方法。文献[7-8]采用质点-弹簧模型的三维变形来仿真植物树叶枯萎、老化过程的几何形态变化。树叶的初始状态也是基于图像技术的建模。文献[9] 采用变形对植物叶片的形态进行造型。
综上所述，植物叶片曲面轮廓的模拟方法主要有四种：（1）通过交互给出曲面边界；（2）使用自曲曲面或曲线模拟边界轮廓；（3）基于图像的方法，从真实叶片的图像中获取轮廓；（4）基于变形的方法，从简单规则曲面入手，通过变形得到叶片轮廓。本文采用最后一种方法。
2 叶片的轮廓造型
用平面矩形参数方程定义叶片的初始轮廓，通过使用不同函数变形边界，可得到相应的叶片形状，参数方程如下式[9]：
x（u，v）=wu △x（u，v）
y（u，v）=hv △y（u，v）（-0.5≤u≤0.5，0≤v≤1） （1）
z（u，v）=0
式中：w、h—平面在x、y方向的长度。
△x、△y—变形函数
平面矩形的边界变形不仅仅只是边界点发生位移变化，而是平面上所有坐标点都要发生位置变化，只是边界点变化最大，中心点变化最小。
南丰蜜桔叶片图像如图1a所示，叶片的基本形状为椭圆形，其叶基与叶尖都是急尖型，叶缘为浅波型。
2.1 叶片基本形状模拟
矩形平面的参数设计为（单位为像素，下同）：w=220，h=70，如图1b所示。
在矩形平面的基础上，上下左右四边都进行正弦函数变形，式（1）中的变形函数定义如下：
△x （u，v）=2uAxsin（πv）
△y（u，v）=vAysin（π（u 0.5））-（1-v）Aysin（π（u 0.5））
式中Ax 控制椭圆形x方向的弯曲幅度，Ay控制椭圆形y方向的弯曲幅度。
根据南丰蜜桔叶片的特征，其相关参数设计为：Ax=35，Ay=20，如图1c所示。
2.2 叶基与叶尖模拟
叶基指的是叶片直接连接在叶柄的一端，是叶片的底部，叶尖是叶片和叶柄相连的另一端。根据南丰蜜桔叶片的急尖特点，采用线性函数在Y方向进行变形。
对于叶基： △yb（u，v）=-（1-v）hb（x（u1，v）-|x（u，v）|）/wb |u| 式中hb、wb分别控制叶基的高度和宽度，u1=wb/（2w）
对于叶尖：△yt（u，v）=vht（x（u2，v）-|x（u，v）|）/wt |u| 图1d中的参数值为：
hb= ht=10，wb =wt=20
2.3 叶缘的模拟
叶缘主要是指叶片的整个边缘形状，叶缘受叶肉的发育和叶脉的分布状态等的影响而表现出各种形状。南丰蜜桔叶缘是浅波型，用幅度较小且频率较大的正弦波模拟。如图1e所示的叶缘变形函数如下：
△xe（u，v）=usin（20πv）
2.4 叶片整体弯曲
从图1a中可以看出，南丰蜜桔叶片的轮廓沿垂直方向有较小的弯曲，采用小幅度一个周期的正弦函数变形（如图1f）：
△xh（u，v）=1.5sin（2πv）
最后南丰蜜桔叶片的轮廓模型如下：
x（u，v）=wu △x（u，v） △xe（u，v） △xh（u，v）
y（u，v）=hv △y（u，v） △yb（u，v） △yt（u，v） （-0.5≤u≤0.5，0≤v≤1） （2）
z（u，v）=0
（a） （b） （c） （d） （e）
图1 南丰蜜桔叶片的轮廓造型过程图
3 叶片的中脉造型
叶片中脉可用圆锥模拟，为了不使圆锥顶部过细，可修改圆锥中心轴在Y轴上的参数方程如下：
x（u，v）=r（1.5-v）cos（u）
y（u，v）=hv （0≤u≤2，0≤v≤1） （3）
z（u，v）=R（1.5-v）sin（u）
式（3）是以底面半径为1.5r，顶面半径为0.5r的圆台参数方程，如图2a所示。当中脉有一定弯曲时，可对其进行变形得到图2bc，主脉的高度与弯曲程度与叶片的变形相关。
南丰蜜桔叶片只有一条中从叶片基部到叶片顶部中脉，当通过矩形变形参数方程表示叶片几何形状时，主脉的参数与叶片参数相关，且中脉的变形与叶片变形基本相同。即
x（u’，v）=r（1.5-v）cos（u’） △xh（u’，v）
y（u’，v）=hv △y（u’，v） △yb（u’，v） △yt（u’，v） （0≤u’≤2，-0.1≤v≤1） （4）
z（u，v）=R（1.5-v）sin（u）
式（4）与式（2）变形函数不同处是中脉的变形只与y方向的变形相关，在x方向上只与整体叶片变开形相关。另外，中脉中的v参数与叶片中的v参数相同、u参数不同， u根据主脉的x值与叶片的宽度进行换算：
u’=x/w
（a） （b） （c）
图2 中脉造型
（a） （b） （c） （d）
图3 中脉与叶片合成
图3a为初始矩形及主脉，图3bc为造型后对称的叶片与主脉，图3d为弯曲的叶片及相应弯曲的主脉。
4 叶片的曲面造型
曲面变形是将一个二维的平面变形为空间曲面的过程。叶片并非都是平面形态，南丰蜜桔叶片就有一定弯度的，为了模拟这种弯曲可使用曲面变形。在式（2）的基础上变形为曲面的公式为：
x（u，v）=wu △x（u，v） △xe（u，v）
y（u，v）=hv △y（u，v） △yb（u，v） △yt（u，v） （-0.5≤u≤0.5，0≤v≤1） （5）
z（u，v）=g（u，v）
式中△g（u，v）为平面法向量方向的变形函数，由于初始平面是在XOY面上，所以法向量就是z方向，变形函数△g（u，v）仅改变z值。
图 4 葉片曲面变形过程图
5 结束语
本文采用的方法对南丰蜜桔叶片的造型简单快捷，模型中的系数与叶片的几何特征相关。根据实际叶片的长、宽、轮廓、弯曲等特征，就可方便确定模型中的系数， 参数易于调控，模拟效果好。该方法对于后续南丰蜜桔生长建模有一定的实用价值。
参考文献：
[1] 刘晓东，罗轶先，郭新宇. 基于NURB曲面的玉米叶生长过程中的形态建模[J].计算机工程与应用，2004，40（14）：201-204.
[2] 马珍杰，姜昱明.法国梧桐树叶片仿真[J].计算机仿真，2009，26（2）：221-224. .
[3] 陆声链，郭新宇，李长峰.3维植物叶片精确建模和绘制技术研究[J].中国图象图形学报，200914（4）：731-737.
[4] 迟小羽，盛斌，陈彦云，吴恩华.基于物理的植物叶子形态变化过程仿真造型[J]. 计算机图形学报，2009，32（2）：221-230.
[5] 刘畅，戴仕明，郭新宇，陆声链. 植物叶缘形态特征的建模和可视化研究[J].计算机工程与设计，2009，30（6）：1435-1440.
[6] 王立臣，淮永建，杨刚，罗岱. 虚拟植物叶片的可视化建模技术研究[J]. 计算机仿真，2011，27（5）：204-208.
[7] 汤颖，杨科峰. 虚拟三维树叶变形的可视化研究[J].计算机仿真，2011，28（5）：250-253.
[8] 唐勇，曹园园，陆声链，郭新宇.三维植物叶片萎蔫变化实时模拟[J].计算机辅助设计与图形学学报2013，25（11）：1643-1650.
[9] 陆玲，王蕾.植物叶脉可视化造型研究[J].农业机械学报，2011，42（6）：179-183.
[10] 陆玲，桂颖，李丽华.计算机图形学[M].电子工业出版社，2012.
关键词：植物叶片；变形；几何形状
中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章編号：1009-3044（2015）29-0181-02
Realistic Modeling for Plant leaf of Nanfeng Orange
LU Lu， LU Ling
（School of Information Engineering， East China Institute of Technology， Nanchang 330013， China）
Abstract： According to the characteristics of plant leaf of Nanfeng orange， through the deformation of rectangular plane， we simulate the shape of orange leaf. First， the boundary of orange leaf be formed by deformation function. Second，the cone is deformed to form midrib. Finally， the deformation function in the normal vector will be used on the plane leaf and the leaf is rendered. By comparison with the results of real images， it shows that the effect is better.
Key words： plant leaf； deformation； geometry shape
1 绪论
植物叶片是植物的重要组成器官之一，也是植物获取能源的主要器官，它是植物进行光合作用和蒸腾作用的重要功能器官。叶片的生理和生态功能与它的形态密切相关，它的形态结构直接决定了这些功能的发挥。在很多虚拟场景表现中，叶片的真实感成为了评判虚拟场景真实感的标准之一。
植物真实感建模刚开始注重植物支架结构和骨架形状，后来才开始注重植物器官的细节造型。在叶片轮廓模拟方面，刘晓东等[1]基于NURB曲面对植物叶片进行造型，马珍杰等[2]是利用Bezier曲面对树叶进行造型，文献[3-4]用Bezier或B样条曲线生成叶片轮廓，并在此基础上进行分片细分形成叶片曲面。这种基于自由曲面的造型方法不利于叶片的锯齿轮廓造型。迟小羽等[5]引入了双层结构模型表达叶子的力学结构，建立了关于叶子基本结构的双层质点-弹簧，可以真实的展现叶子基本结构的变化。刘畅[6]从叶片的图像提取叶片的轮廓，从轮廓提取特征点并构成叶轮的拟合线。王立臣等[9]提出了基于图像的树叶仿真方法。文献[7-8]采用质点-弹簧模型的三维变形来仿真植物树叶枯萎、老化过程的几何形态变化。树叶的初始状态也是基于图像技术的建模。文献[9] 采用变形对植物叶片的形态进行造型。
综上所述，植物叶片曲面轮廓的模拟方法主要有四种：（1）通过交互给出曲面边界；（2）使用自曲曲面或曲线模拟边界轮廓；（3）基于图像的方法，从真实叶片的图像中获取轮廓；（4）基于变形的方法，从简单规则曲面入手，通过变形得到叶片轮廓。本文采用最后一种方法。
2 叶片的轮廓造型
用平面矩形参数方程定义叶片的初始轮廓，通过使用不同函数变形边界，可得到相应的叶片形状，参数方程如下式[9]：
x（u，v）=wu △x（u，v）
y（u，v）=hv △y（u，v）（-0.5≤u≤0.5，0≤v≤1） （1）
z（u，v）=0
式中：w、h—平面在x、y方向的长度。
△x、△y—变形函数
平面矩形的边界变形不仅仅只是边界点发生位移变化，而是平面上所有坐标点都要发生位置变化，只是边界点变化最大，中心点变化最小。
南丰蜜桔叶片图像如图1a所示，叶片的基本形状为椭圆形，其叶基与叶尖都是急尖型，叶缘为浅波型。
2.1 叶片基本形状模拟
矩形平面的参数设计为（单位为像素，下同）：w=220，h=70，如图1b所示。
在矩形平面的基础上，上下左右四边都进行正弦函数变形，式（1）中的变形函数定义如下：
△x （u，v）=2uAxsin（πv）
△y（u，v）=vAysin（π（u 0.5））-（1-v）Aysin（π（u 0.5））
式中Ax 控制椭圆形x方向的弯曲幅度，Ay控制椭圆形y方向的弯曲幅度。
根据南丰蜜桔叶片的特征，其相关参数设计为：Ax=35，Ay=20，如图1c所示。
2.2 叶基与叶尖模拟
叶基指的是叶片直接连接在叶柄的一端，是叶片的底部，叶尖是叶片和叶柄相连的另一端。根据南丰蜜桔叶片的急尖特点，采用线性函数在Y方向进行变形。
对于叶基： △yb（u，v）=-（1-v）hb（x（u1，v）-|x（u，v）|）/wb |u|
对于叶尖：△yt（u，v）=vht（x（u2，v）-|x（u，v）|）/wt |u|
hb= ht=10，wb =wt=20
2.3 叶缘的模拟
叶缘主要是指叶片的整个边缘形状，叶缘受叶肉的发育和叶脉的分布状态等的影响而表现出各种形状。南丰蜜桔叶缘是浅波型，用幅度较小且频率较大的正弦波模拟。如图1e所示的叶缘变形函数如下：
△xe（u，v）=usin（20πv）
2.4 叶片整体弯曲
从图1a中可以看出，南丰蜜桔叶片的轮廓沿垂直方向有较小的弯曲，采用小幅度一个周期的正弦函数变形（如图1f）：
△xh（u，v）=1.5sin（2πv）
最后南丰蜜桔叶片的轮廓模型如下：
x（u，v）=wu △x（u，v） △xe（u，v） △xh（u，v）
y（u，v）=hv △y（u，v） △yb（u，v） △yt（u，v） （-0.5≤u≤0.5，0≤v≤1） （2）
z（u，v）=0
（a） （b） （c） （d） （e）
图1 南丰蜜桔叶片的轮廓造型过程图
3 叶片的中脉造型
叶片中脉可用圆锥模拟，为了不使圆锥顶部过细，可修改圆锥中心轴在Y轴上的参数方程如下：
x（u，v）=r（1.5-v）cos（u）
y（u，v）=hv （0≤u≤2，0≤v≤1） （3）
z（u，v）=R（1.5-v）sin（u）
式（3）是以底面半径为1.5r，顶面半径为0.5r的圆台参数方程，如图2a所示。当中脉有一定弯曲时，可对其进行变形得到图2bc，主脉的高度与弯曲程度与叶片的变形相关。
南丰蜜桔叶片只有一条中从叶片基部到叶片顶部中脉，当通过矩形变形参数方程表示叶片几何形状时，主脉的参数与叶片参数相关，且中脉的变形与叶片变形基本相同。即
x（u’，v）=r（1.5-v）cos（u’） △xh（u’，v）
y（u’，v）=hv △y（u’，v） △yb（u’，v） △yt（u’，v） （0≤u’≤2，-0.1≤v≤1） （4）
z（u，v）=R（1.5-v）sin（u）
式（4）与式（2）变形函数不同处是中脉的变形只与y方向的变形相关，在x方向上只与整体叶片变开形相关。另外，中脉中的v参数与叶片中的v参数相同、u参数不同， u根据主脉的x值与叶片的宽度进行换算：
u’=x/w
（a） （b） （c）
图2 中脉造型
（a） （b） （c） （d）
图3 中脉与叶片合成
图3a为初始矩形及主脉，图3bc为造型后对称的叶片与主脉，图3d为弯曲的叶片及相应弯曲的主脉。
4 叶片的曲面造型
曲面变形是将一个二维的平面变形为空间曲面的过程。叶片并非都是平面形态，南丰蜜桔叶片就有一定弯度的，为了模拟这种弯曲可使用曲面变形。在式（2）的基础上变形为曲面的公式为：
x（u，v）=wu △x（u，v） △xe（u，v）
y（u，v）=hv △y（u，v） △yb（u，v） △yt（u，v） （-0.5≤u≤0.5，0≤v≤1） （5）
z（u，v）=g（u，v）
式中△g（u，v）为平面法向量方向的变形函数，由于初始平面是在XOY面上，所以法向量就是z方向，变形函数△g（u，v）仅改变z值。
图 4 葉片曲面变形过程图
5 结束语
本文采用的方法对南丰蜜桔叶片的造型简单快捷，模型中的系数与叶片的几何特征相关。根据实际叶片的长、宽、轮廓、弯曲等特征，就可方便确定模型中的系数， 参数易于调控，模拟效果好。该方法对于后续南丰蜜桔生长建模有一定的实用价值。
参考文献：
[1] 刘晓东，罗轶先，郭新宇. 基于NURB曲面的玉米叶生长过程中的形态建模[J].计算机工程与应用，2004，40（14）：201-204.
[2] 马珍杰，姜昱明.法国梧桐树叶片仿真[J].计算机仿真，2009，26（2）：221-224. .
[3] 陆声链，郭新宇，李长峰.3维植物叶片精确建模和绘制技术研究[J].中国图象图形学报，200914（4）：731-737.
[4] 迟小羽，盛斌，陈彦云，吴恩华.基于物理的植物叶子形态变化过程仿真造型[J]. 计算机图形学报，2009，32（2）：221-230.
[5] 刘畅，戴仕明，郭新宇，陆声链. 植物叶缘形态特征的建模和可视化研究[J].计算机工程与设计，2009，30（6）：1435-1440.
[6] 王立臣，淮永建，杨刚，罗岱. 虚拟植物叶片的可视化建模技术研究[J]. 计算机仿真，2011，27（5）：204-208.
[7] 汤颖，杨科峰. 虚拟三维树叶变形的可视化研究[J].计算机仿真，2011，28（5）：250-253.
[8] 唐勇，曹园园，陆声链，郭新宇.三维植物叶片萎蔫变化实时模拟[J].计算机辅助设计与图形学学报2013，25（11）：1643-1650.
[9] 陆玲，王蕾.植物叶脉可视化造型研究[J].农业机械学报，2011，42（6）：179-183.
[10] 陆玲，桂颖，李丽华.计算机图形学[M].电子工业出版社，2012.