等周三角形的性质

• 作 者: 章 伟
• 出 处: 中学数学杂志(初中版)
• 发表日期: 2010年2期
• 关键词: 三角形 平面几何图形 等周长 特征性质 初中数学 中考 问题 题型 内容 面积

　　三角形是最简单最基本的平面几何图形,也是初中数学中的重要内容.与三角形有关的例如形状、周长、面积等问题是中考中的热门题型.本文对“有相等周长的三角形”即“等周三角形”的特征性质进行研究.
　　定理1 在具有一公共边和相等周长的所有三角形中,等腰三角形有最大面积.
　　证明如下.
　　已知△ABC是以BC为底的等腰三角形,△BCD周长等于△ABC周长.求证:S△ABC>S△DBC.
　　证法1 因为△BCD周长等于△ABC周长,
　　所以AB+AC=DB+DC.
　　⑴若D点在边AC上,如图1
　　AB+AC=AB+AD+CD>BD+CD,
　　所以不合题意.
　　⑵若D点在△ABC内,如图2,
　　延长BD交AC于E,
　　AB+AC=AB+AE+EC>BE+EC
　　=BD+DE+EC>BD+CD,
　　所以不合题意.
　　则D点在△ABC外,如图3,设BD交AC于E,
　　在线段AE上或其延长线上取F点,使得
　　EF=ED.在线段BE上取G点,使得EG=EC.
　　显然,△EFG≌△EDC,
　　因为AB+AC=BD+CD=BG+GD+CD
　　=BG+CF+GF=BG+AC±AF+GF,
　　即AB=BG±AF+GF.
　　由图显然可知AB=BG-AF+GF,即F点在线段AE上,
　　所以S△ABC=S△ABE+S△BEC>S△CDE+S△BEC=S△BCD,所以定理得证.
　　证法2 用海伦公式证明,证法同定理2证明.
　　证法3 若边BC长度不变,因为△ABC周长不变,所以AB+AC为定值,且AB+AC>BC.所以A点在以B、C为焦点的椭圆上.
　　如图4,当A点在椭圆的上顶点时,△ABC的高最大,则面积最大.
　　所以定理得证.
　　推论 在具有一公共边和相等面积的所有三角形中,等腰三角形有最小周长.
　　定理2 如果两个三角形有一公共边和相同周长,则另外两边长度之差较小的三角形有较大面积.