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摘 要：本文在一篇文章的启示下进行了思考，得到关于椭圆和双曲线在一种特定关系所具有的定值. 并将此结论进行延伸，得到双曲线和双曲线在类似关系下也具有定值.
关键词：定值；双曲线；椭圆
作者徐道发表在《数学教学》上的《一道高考题引出的特殊椭圆》一文通过对2010年山东省高考数学卷第21题的探究，得出了如下一条结论.
定理1：若椭圆C1与双曲线C2的顶点、焦点互置，F1，F2为椭圆C1的焦点，点P是双曲线C2上异于顶点的任一动点，直线PF1与椭圆C1交于A，B两点，直线PF2与椭圆C1交于C，D两点，则+为定值的充要条件是椭圆C1的离心率e=.
该定理的前提条件是：椭圆C1与双曲线C2的顶点、焦点互置. 如果解除这一前提条件，并且淡化点P在双曲线C2上，只考虑点P是异于两焦点F1，F2的任一动点，那么一定还需要椭圆的离心率为，才有+为定值吗？
为此，设椭圆方程为：+=1，又设直线PF1与直线PF2的斜率分别为k1，k2，显然k1与k2不可能都不存在. 若k1与k2中有一个不存在，比如k1不存在，则AB为确定值，且直线PF1的方程为：x=－c，当点P运动时，CD为变化值，+不可能为定值，反之亦然.所以，斜率k1与k2都存在.
将直线PF1的方程y=k1（x+c）代入椭圆方程+=1，整理得：
（a2k+b2）x2+2a2ckx+a2（c2k－b2）=0，
所以xA+xB=－.
再由焦半径公式有： AB=AF1+BF1=xA+xB+e，
所以AB=－•=，
同理CD=.
计算得+=•+=•=•=+•=+•+，
所以当kk=1时，+为定值1，从而+为定值. 这一定值并不取决于椭圆的离心率.
反之，要+为定值，即要使+为定值，显然不能得到kk=1. 比如+=（定值）时，只要（k－1）（k－1）=4即可. 所以说，kk=1是+为定值的充分不必要条件.
又因为点P为直线PF1与直线PF2的交点，所以联立y=k1（x+c），y=k2（x－c） 得y2=k1k2•（x2－c2）.
因为kk=1，所以k1k2=±1，于是y2= ±（x2－c2），即点P在双曲线x2－y2=c2或在圆x2+y2=c2上（x≠±c）.
当点P在双曲线x2－y2=c2上时，正好双曲线的顶点（±c，0）为椭圆+=1的焦点，如果双曲线与椭圆的顶点、焦点互置时，那么有a2=2c2，即椭圆的离心率为，这就是定理1的缘由，但由上述推导过程可以形成定理2，如下.
定理2：椭圆+=1的焦点F1，F2（其中c2=a2－b2），点P在双曲线x2－y2=c2或在圆x2+y2=c2上（xP≠±c）. 直线PF1与椭圆交于A，B两点，直线PF2与椭圆交于C，D两点，则+为定值.
双曲线也有定理2的类似结论，这里不做推导，只给出结论，有兴趣的读者可参照上述推导试着证明.
定理3：双曲线-=1的焦点F1，F2（其中c2=a2+b2），点P在双曲线x2－y2=c2或在圆x2+y2=c2上（xP≠±c）. 直线PF1与双曲线交于A，B两点，直线PF2与双曲线交于C，D两点，则+与?摇－?摇中必有一个取定值.
关键词：定值；双曲线；椭圆
作者徐道发表在《数学教学》上的《一道高考题引出的特殊椭圆》一文通过对2010年山东省高考数学卷第21题的探究，得出了如下一条结论.
定理1：若椭圆C1与双曲线C2的顶点、焦点互置，F1，F2为椭圆C1的焦点，点P是双曲线C2上异于顶点的任一动点，直线PF1与椭圆C1交于A，B两点，直线PF2与椭圆C1交于C，D两点，则+为定值的充要条件是椭圆C1的离心率e=.
该定理的前提条件是：椭圆C1与双曲线C2的顶点、焦点互置. 如果解除这一前提条件，并且淡化点P在双曲线C2上，只考虑点P是异于两焦点F1，F2的任一动点，那么一定还需要椭圆的离心率为，才有+为定值吗？
为此，设椭圆方程为：+=1，又设直线PF1与直线PF2的斜率分别为k1，k2，显然k1与k2不可能都不存在. 若k1与k2中有一个不存在，比如k1不存在，则AB为确定值，且直线PF1的方程为：x=－c，当点P运动时，CD为变化值，+不可能为定值，反之亦然.所以，斜率k1与k2都存在.
将直线PF1的方程y=k1（x+c）代入椭圆方程+=1，整理得：
（a2k+b2）x2+2a2ckx+a2（c2k－b2）=0，
所以xA+xB=－.
再由焦半径公式有： AB=AF1+BF1=xA+xB+e，
所以AB=－•=，
同理CD=.
计算得+=•+=•=•=+•=+•+，
所以当kk=1时，+为定值1，从而+为定值. 这一定值并不取决于椭圆的离心率.
反之，要+为定值，即要使+为定值，显然不能得到kk=1. 比如+=（定值）时，只要（k－1）（k－1）=4即可. 所以说，kk=1是+为定值的充分不必要条件.
又因为点P为直线PF1与直线PF2的交点，所以联立y=k1（x+c），y=k2（x－c） 得y2=k1k2•（x2－c2）.
因为kk=1，所以k1k2=±1，于是y2= ±（x2－c2），即点P在双曲线x2－y2=c2或在圆x2+y2=c2上（x≠±c）.
当点P在双曲线x2－y2=c2上时，正好双曲线的顶点（±c，0）为椭圆+=1的焦点，如果双曲线与椭圆的顶点、焦点互置时，那么有a2=2c2，即椭圆的离心率为，这就是定理1的缘由，但由上述推导过程可以形成定理2，如下.
定理2：椭圆+=1的焦点F1，F2（其中c2=a2－b2），点P在双曲线x2－y2=c2或在圆x2+y2=c2上（xP≠±c）. 直线PF1与椭圆交于A，B两点，直线PF2与椭圆交于C，D两点，则+为定值.
双曲线也有定理2的类似结论，这里不做推导，只给出结论，有兴趣的读者可参照上述推导试着证明.
定理3：双曲线-=1的焦点F1，F2（其中c2=a2+b2），点P在双曲线x2－y2=c2或在圆x2+y2=c2上（xP≠±c）. 直线PF1与双曲线交于A，B两点，直线PF2与双曲线交于C，D两点，则+与?摇－?摇中必有一个取定值.