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荆州中学 复数基本上都是以小题的形式出现，难度也不大. 主要掌握好复数的基本概念及形如[a+bi(a,b∈R)]的复数，表示实数、虚数、纯虚数的充要条件，复数代数形式的加、减、乘、除运算即可.
题型一 复数的基本概念
理解复数的概念是掌握好复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等. 复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念来解答.
例1 已知[m∈R]，复数[z=m(m-2)m-1+(m2+][2m-3)i]，当[m]为何值时，（1）[z∈R]；（2）[z]是纯虚数；（3）[z]对应的点位于复平面第二象限；（4）[z]对应的点在直线[x+y+3=0]上.
分析 复数[z=a+bi(a,b∈R)]，当且仅当[b=0]时，[z∈R]；当且仅当[a=0]且[b≠0]时，[z]为纯虚数；当[a<0,b>0]时，[z]对应的点位于复平面的第二象限；复数[z]对应的点的坐标是直线方程的解时，这个点在这条直线上；同时注意计算中分母不为零.
解 （1）由[m2+2m-3=0m-1≠0]，
解得[m=-3]，
∴当[m=-3]时，[z∈R.]
（2）由[m(m-2)m-1=0m2+2m-3≠0,] 解得[m=0]或[m=2.]
[∴]当[m=0]或[m=2]时，[z]为纯虚数.
（3）由[m(m-2)m-1<0m2+2m-3>0,]
解得[m<-3]或[1 ∴当[m<-3]或[1 （4）由[m(m-2)m-1+(m2+2m-3)+3=0]，
得[m(m2+2m-4)m-1=0.]
解得[m=0]或[m=-1±5.]
[∴]当[m=0]或[m=-1±5]时，点[z]在直线[x+y][+3=0]上.
点拨 掌握好复数分类的充要条件，是解决此类问题的关键. 复数与复平面上的点是一一对应的，这为形与数之间的相互转化、为解决形或数问题提供了一条重要思路.
题型二 复数代数形式的运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比于多项式乘法，除法类比于分式的分子、分母有理化，注意[i2=-1.] 本章的热点是复数的运算，尤其是复数的乘、除运算，其中渗透着复数的模、共轭复数等概念. 熟练掌握运算法则、熟悉常见的运算结果，是迅速求解的关键.
例2 计算：（1）[(2+2i)4(1-3i)5]；
（2）[-23+i1+23i+(21-i)2012].
分析 （1）题若按复数乘除法和乘方法则直接计算，会显得非常繁锁. 若能结合题目特点，联想结论[(1±i)2=±2i]和[ω]的性质. 对于第（2）题，若注意到[-23+i=i(1+23i)]，运算将大为简化.
解 （1）原式
[=(1+i)42⋅(1-3i2)5=[(1+i)2]2-2(-12+32i)5=(2i)2-2ω5=-4-2ω2]
[=2ω=2(-12+32i)=-1+3i.]
其中[ω=-12+32i].
（2）原式
[=i(1+23i)1+23i+[(21-i)2]1006=i+(2-2i)1006=i+i1006=i+i4×251+2=i+i2=-1+i.]
点拨 代数形式的复数运算，基本思路是应用运算法则，但如果能通过对表达式结构特征的分析，灵活运用[i]的幂的性质、[ω=-12±32i]的性质及[1±i]的幂的性质等，可有效地简化运算. 特别是以下几点性质，应熟记：
（1）[i2=-1,i3=-i,i4=1]，
[i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0]（[n∈Z]）.
（2）[(1±i)2=±2i].
（3）[1+i1-i=i,1-i1+i=-i].
（4）若[ω1=-12+32i,ω2=-12-32i]，
则有[ω31=ω32=1]；[ω21=ω2; ω22=ω1]；
[ω21+ω1+1=0; ω22+ω2+1=0.]
题型三 复数的实数化思想
复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法. 桥梁是：设[z=x+yi(x,y∈R)]，依据是：复数相等的充要条件.
例3 已知关于[x]的方程[x2-(tanθ+i)x-][(2+i)=0]；
（1）若方程有实数根，求锐角[θ]和实数根；
（2）证明：对任意[θ≠kπ+π2(k∈Z)]，方程无纯虚数根.
分析 因为复数不能比较大小，所以当方程的系数不全是实数时，不能利用判别式[Δ]判定方程是否有实根. 一般方法是设出该实根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解.
解 （1）设实数根是[a]，
则[a2-(tanθ+i)a-(2+i)=0]，
即[a2-atanθ-2-(a+1)i=0]，
[∵a、tanθ∈R,∴a2-atanθ-2=0,a+1=0;]
[∴a=-1]，且[tanθ=1]，又[0<θ<π2,∴θ=π4]
（2）若方程存在纯虚数根，设为[bi(b∈R,b≠0)]，则[(bi)2-(tanθ+i)bi-(2+i)=0]，
即[-b2+b-2=0btanθ+1=0]，而此方程组无实数解.
[∴]对任意[θ≠kπ+π2(k∈Z)]，方程无纯虚数根.
点拨 这种解法是解这类方程的基本方法，利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化与划归的数学思想.
题型四 复数的几何意义
复数的几何意义包括三个方面：复数的表示（点和向量），复数模的几何意义及复数运算的几何意义. 复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法.
例4 已知复数[z1=i(1-i)3,]
（1）求[z1]；
（2）若[|z|=1]，求[|z-z1|]的最大值.
分析 由复数的几何意义可知，复数的实部、虚部分别为所对应点的横坐标、纵坐标.
解 （1）[z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i)]，
[∴|z1|=22+22=22.]
（2）法一：[∵|z|=1]，[∴]设[z=cosθ+isinθ,]
[|z-z1|][=|cosθ+isinθ-2+2i|]
[=(cosθ-2)2+(sinθ+2)2]
[=9+42sin(θ-π4)].
当[sin(θ-π4)=1]时，[|z-z1|2]取得最大值[9+42]，从而得到[|z-z1|]的最大值[22+1.]
法二：[|z|=1]可看成半径为1，圆心为（0，0）的圆，而[z1]对应坐标系中的点[(2,-2).]
[∴|z-z1|]的最大值即为点[(2,-2)]到圆上的点的最大距离，
由图可知：[|z-z1|max=22+1.]
点拨 [z]的几何意义是表示复数[z]对应的点[Z]与原点的距离，[|z-z0|]的几何意义是表示复数[z]和[z0]对应的点[Z]和[Z0]两点间的距离.
【练习】
1. 设[z]是复数，[a(z)]表示满足[zn=1]的最小正整数[n]，则对虚数单位[i]，[a(i)=] .
A. 8 B. 6
C. 4 D. 2
2. 在复平面内，复数[z=i(1+2i)]对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3. 若复数[z=(x2-1)+(x-1)i]为纯虚数，则实数[x]的值为（ ）
A. -1 B. 0
C. 1 D. -1或1
4. 已知[z1+i=2+i],则复数[z=] .
A. [-1+3i] B. [1-3i ]
C. [3+i ] D. [3-i]
5. [i]是虚数单位，若[1+7i2-i=a+bi(a,b∈R)]，则乘积[ab]的值是（ ）
A. －15 B. －3
C. 3 D. 15
6．已知复数[z]的实部为-1，虚部为2，则[5iz=] .
A. [2-i] B．[2+i]
C．[-2-i] D．[-2+i]
7. 若复数[z1=4+29i,][z2=6+29i,]其中[i]是虚数单位，则复数[(z1-z2)i]的实部为 .
8. 若复数[z]满足[z(1+i)=1-i]（[i]是虚数单位），则其共轭复数[z=] .
.9. 已知复数[z1=-1+2i,][z2=1-i,][z3=3-2i,]它们所对应的点分别为[A、B、C]．若[OC=xOA+][yOB]，则[x+y]的值是 ．
10. 设[z=12+32i,]那么[z+z2+z3+z4+z5+z6]= .
11. 已知实数[m、n]满足[m1+i=1-ni]，其中[i]是虚数单位，则双曲线[mx2-ny2=1]的离心率为 .
12. 若复数[z=(a-2)-3i]为纯虚数[(a∈R)]，则[a+i20071+ai]的值为 .
【参考答案】
1~6 CBABBA 7.[-20] 8.[i] 9. 5 10. [47] 11. [3] 12. [-i]
题型一 复数的基本概念
理解复数的概念是掌握好复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等. 复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念来解答.
例1 已知[m∈R]，复数[z=m(m-2)m-1+(m2+][2m-3)i]，当[m]为何值时，（1）[z∈R]；（2）[z]是纯虚数；（3）[z]对应的点位于复平面第二象限；（4）[z]对应的点在直线[x+y+3=0]上.
分析 复数[z=a+bi(a,b∈R)]，当且仅当[b=0]时，[z∈R]；当且仅当[a=0]且[b≠0]时，[z]为纯虚数；当[a<0,b>0]时，[z]对应的点位于复平面的第二象限；复数[z]对应的点的坐标是直线方程的解时，这个点在这条直线上；同时注意计算中分母不为零.
解 （1）由[m2+2m-3=0m-1≠0]，
解得[m=-3]，
∴当[m=-3]时，[z∈R.]
（2）由[m(m-2)m-1=0m2+2m-3≠0,] 解得[m=0]或[m=2.]
[∴]当[m=0]或[m=2]时，[z]为纯虚数.
（3）由[m(m-2)m-1<0m2+2m-3>0,]
解得[m<-3]或[1
得[m(m2+2m-4)m-1=0.]
解得[m=0]或[m=-1±5.]
[∴]当[m=0]或[m=-1±5]时，点[z]在直线[x+y][+3=0]上.
点拨 掌握好复数分类的充要条件，是解决此类问题的关键. 复数与复平面上的点是一一对应的，这为形与数之间的相互转化、为解决形或数问题提供了一条重要思路.
题型二 复数代数形式的运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比于多项式乘法，除法类比于分式的分子、分母有理化，注意[i2=-1.] 本章的热点是复数的运算，尤其是复数的乘、除运算，其中渗透着复数的模、共轭复数等概念. 熟练掌握运算法则、熟悉常见的运算结果，是迅速求解的关键.
例2 计算：（1）[(2+2i)4(1-3i)5]；
（2）[-23+i1+23i+(21-i)2012].
分析 （1）题若按复数乘除法和乘方法则直接计算，会显得非常繁锁. 若能结合题目特点，联想结论[(1±i)2=±2i]和[ω]的性质. 对于第（2）题，若注意到[-23+i=i(1+23i)]，运算将大为简化.
解 （1）原式
[=(1+i)42⋅(1-3i2)5=[(1+i)2]2-2(-12+32i)5=(2i)2-2ω5=-4-2ω2]
[=2ω=2(-12+32i)=-1+3i.]
其中[ω=-12+32i].
（2）原式
[=i(1+23i)1+23i+[(21-i)2]1006=i+(2-2i)1006=i+i1006=i+i4×251+2=i+i2=-1+i.]
点拨 代数形式的复数运算，基本思路是应用运算法则，但如果能通过对表达式结构特征的分析，灵活运用[i]的幂的性质、[ω=-12±32i]的性质及[1±i]的幂的性质等，可有效地简化运算. 特别是以下几点性质，应熟记：
（1）[i2=-1,i3=-i,i4=1]，
[i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0]（[n∈Z]）.
（2）[(1±i)2=±2i].
（3）[1+i1-i=i,1-i1+i=-i].
（4）若[ω1=-12+32i,ω2=-12-32i]，
则有[ω31=ω32=1]；[ω21=ω2; ω22=ω1]；
[ω21+ω1+1=0; ω22+ω2+1=0.]
题型三 复数的实数化思想
复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法. 桥梁是：设[z=x+yi(x,y∈R)]，依据是：复数相等的充要条件.
例3 已知关于[x]的方程[x2-(tanθ+i)x-][(2+i)=0]；
（1）若方程有实数根，求锐角[θ]和实数根；
（2）证明：对任意[θ≠kπ+π2(k∈Z)]，方程无纯虚数根.
分析 因为复数不能比较大小，所以当方程的系数不全是实数时，不能利用判别式[Δ]判定方程是否有实根. 一般方法是设出该实根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解.
解 （1）设实数根是[a]，
则[a2-(tanθ+i)a-(2+i)=0]，
即[a2-atanθ-2-(a+1)i=0]，
[∵a、tanθ∈R,∴a2-atanθ-2=0,a+1=0;]
[∴a=-1]，且[tanθ=1]，又[0<θ<π2,∴θ=π4]
（2）若方程存在纯虚数根，设为[bi(b∈R,b≠0)]，则[(bi)2-(tanθ+i)bi-(2+i)=0]，
即[-b2+b-2=0btanθ+1=0]，而此方程组无实数解.
[∴]对任意[θ≠kπ+π2(k∈Z)]，方程无纯虚数根.
点拨 这种解法是解这类方程的基本方法，利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化与划归的数学思想.
题型四 复数的几何意义
复数的几何意义包括三个方面：复数的表示（点和向量），复数模的几何意义及复数运算的几何意义. 复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法.
例4 已知复数[z1=i(1-i)3,]
（1）求[z1]；
（2）若[|z|=1]，求[|z-z1|]的最大值.
分析 由复数的几何意义可知，复数的实部、虚部分别为所对应点的横坐标、纵坐标.
解 （1）[z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i)]，
[∴|z1|=22+22=22.]
（2）法一：[∵|z|=1]，[∴]设[z=cosθ+isinθ,]
[|z-z1|][=|cosθ+isinθ-2+2i|]
[=(cosθ-2)2+(sinθ+2)2]
[=9+42sin(θ-π4)].
当[sin(θ-π4)=1]时，[|z-z1|2]取得最大值[9+42]，从而得到[|z-z1|]的最大值[22+1.]
法二：[|z|=1]可看成半径为1，圆心为（0，0）的圆，而[z1]对应坐标系中的点[(2,-2).]
[∴|z-z1|]的最大值即为点[(2,-2)]到圆上的点的最大距离，
由图可知：[|z-z1|max=22+1.]
点拨 [z]的几何意义是表示复数[z]对应的点[Z]与原点的距离，[|z-z0|]的几何意义是表示复数[z]和[z0]对应的点[Z]和[Z0]两点间的距离.
【练习】
1. 设[z]是复数，[a(z)]表示满足[zn=1]的最小正整数[n]，则对虚数单位[i]，[a(i)=] .
A. 8 B. 6
C. 4 D. 2
2. 在复平面内，复数[z=i(1+2i)]对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3. 若复数[z=(x2-1)+(x-1)i]为纯虚数，则实数[x]的值为（ ）
A. -1 B. 0
C. 1 D. -1或1
4. 已知[z1+i=2+i],则复数[z=] .
A. [-1+3i] B. [1-3i ]
C. [3+i ] D. [3-i]
5. [i]是虚数单位，若[1+7i2-i=a+bi(a,b∈R)]，则乘积[ab]的值是（ ）
A. －15 B. －3
C. 3 D. 15
6．已知复数[z]的实部为-1，虚部为2，则[5iz=] .
A. [2-i] B．[2+i]
C．[-2-i] D．[-2+i]
7. 若复数[z1=4+29i,][z2=6+29i,]其中[i]是虚数单位，则复数[(z1-z2)i]的实部为 .
8. 若复数[z]满足[z(1+i)=1-i]（[i]是虚数单位），则其共轭复数[z=] .
.9. 已知复数[z1=-1+2i,][z2=1-i,][z3=3-2i,]它们所对应的点分别为[A、B、C]．若[OC=xOA+][yOB]，则[x+y]的值是 ．
10. 设[z=12+32i,]那么[z+z2+z3+z4+z5+z6]= .
11. 已知实数[m、n]满足[m1+i=1-ni]，其中[i]是虚数单位，则双曲线[mx2-ny2=1]的离心率为 .
12. 若复数[z=(a-2)-3i]为纯虚数[(a∈R)]，则[a+i20071+ai]的值为 .
【参考答案】
1~6 CBABBA 7.[-20] 8.[i] 9. 5 10. [47] 11. [3] 12. [-i]