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摘 要：圆锥曲线部分是解析几何的核心内容，同时也是高考必考知识点，在每年的高考题中总会出现1～2道客观题和1道解答题。即使是客观题一般难度也较大，甚至于出现在选择题或填空题的最后一题，主要知识点为圆锥曲线的基本概念、性质、直线和圆锥曲线的位置关系，重点考查学生等价转化、数形结合、逻辑推理等能力。特别是近年随着向量等多个知识点的融入，综合性和技巧性越来越强，方法灵活多样，学生很难掌握解题的规律。在一次讲解课后作业过程中，笔者偶然发现了一个解决焦点弦相关问题的神级结论，这一结论会给我们解决这一类问题带来意想不到的“神奇”效果！
关键词：圆锥曲线；焦点弦；向量；神级结论
在人教版高中数学选修2-1作业本圆锥曲线部分出现了这样一道题：例：已知椭圆C：[x2a2 y2b2=1]（a>0，b>0）的离心率为[32]，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若[AF=3FB]，则k等于（ ）。
A.1 B.[2] C.[3] D.2
这道题让我有一种似曾相识的感觉，后来在2010年高考全国卷Ⅱ选择题第12题中找到了它的踪迹。作为一道高考压轴的选择题，我们可以看出这肯定是一道难题，是拉开学生客观题分数的一个秘密武器，同时也是一道值得挖掘的好题。
学生的解法一般如下：
解：∵椭圆C：[x2a2 y2b2=1]的离心率为[32]∴可设该椭圆的方程为： [x24b2 y2b2=1]，即[x2 4y2=4b2]。
设A（[x1]，[y1]），B（[x2]，[y2]），F（[3b]，[0]）。
由[AF=3FB]，可得[y1=-3y2]。
再设直线AB的方程为[x=my 3b]。代入椭圆方程可得[m2 4y2 23mby-b2=0]。
∴[y1 y2=-23mbm2 4y1.y2=b2m2 4]
又∵[y1=-3y2]，∴[-2y2=-23mbm2 4]，∴[]，[-3y22]=[-b2m2 43y22=b2m2 4]∴[b2m2 4]=[9m2b2（m2 4）2]∴[9m2=m2 4]。即[m=22]。
∴[k=1m=2]故选B。
点评：该解法中规中矩，对学生的计算能力要求比较高，但作为一道高考选择题的解法显然不是最优的。
同时也有少量同学提出了第二种解法：
取椭圆的左焦点[F1]，连接[AF1]，[BF1]。设[AF=m]，[BF]=n，直线AB的倾斜角为[θ]，则有[4c2 n2-4cncosπ-θ=（2a-n）24c2 m2-4cmcosπ-θ=（2a-m）2]
两式相减得[4c（m n）cosθ=4a（m-n）]，
又∵[m=3n]，∴cosθ[=12e=33]∴tanθ=[2]即k=[2]
点评：学生能想到利用椭圆的第一定义和余弦定理相结合来解决这个问题已经相当不错了，不过探索无止境，还会有更简便的方法吗？
由于现行教材对圆锥曲线的第二定义基本没有作要求了，所以学生也不会想到下面的解法：过A、B分别作椭圆的右准线的垂线，垂足分别为[A1]，[B1]，根据椭圆第二定义可得[AA1=3BB1]，不妨设[AA1=3]，[BB1=1]，则有[AF=3e]，[BF]=e，（e为椭圆的离心率），设直线AB的倾斜角为[θ]，（0<[θ]<[π2]），所以cosθ[=24e=33]，即tanθ=[2]∴k=[2]，故选B。
点评：相比第一、二种解法，第三种解法采用数型结合的思想，利用椭圆的第二定义巧妙地避开了直线与椭圆方程联立的较大运算量，在思路上要巧妙简洁的多。更重要的是这种解法还可以再继续挖掘的，里面还有一个更为巧妙的结论，或许这才是命题者的真实意图。
我们先把该题改编如下：例：已知椭圆C：[x2a2 y2b2=1]（a>0，b>0）的离心率为e，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若[AF=λFB]，求k的值？
顯然改动之后的题更具有一般性，然而从特殊到一般不正是数学上常用的一种思维方法吗？按照第三种解法的思路我们可以得到如下解法：过A、B分别作椭圆的右准线的垂线，垂足分别为[A1]，[B1]，所以[AA1=λBB1]，不妨设[AA1=λ]，[BB1=1]则有[AF=λe]，[BF]=e，（e为椭圆的离心率），设直线AB的倾斜角为θ，（0<[θ]<[π2]），所以cosθ[=λ-1（λ 1）e]，又因为tanθ=k，由[sinθcosθ=ksin2θ cos2θ=1]可得[cos2θ=11 k2]即[（λ-1）2（λ 1）2e2=11 k2]改写成[（λ-1）2（λ 1）2=e21 k2]的形式，这就得到了一个既神奇又美丽的结论。
我们很难想像焦点弦的比值[λ]，椭圆的离心率e，直线的斜率k之间竟然存在着如此美妙的关系。如果把上题中的[λ=3]，[e=32]代入，马上就得到k=[2]。一道高考的压轴选择题居然可以直接秒杀，这足以说明了这个公式的神奇。而且这个公式的适用范围还很广，我们可以同理证明对于抛物线、交点在同一支的双曲线也是适用的。如果上述圆锥曲线的焦点落在y轴上时，只需把公式里的[k]改成[1k]即可。
最后以2009年高考全国卷Ⅱ理科选择题第11题为例，我们感受下神级公式带来的秒杀快感。
原题如下：已知双曲线C：[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为[3]的直线与双曲线C相交于A、B两点，若[AF=4FB]，则双曲线C的离心率等于（ ）。
A.[65] B.[75] C.[85] D.[95]
我们把[λ=4]，[k=3]代入，即得[（4-1）2（4 1）2=e21 3]，解得e = [65]所以选A。
好题总是以平淡的形式出现，但是内涵丰富，在解法上具有很强的灵活性和多样性，从不同的角度切入，可以运用不同的数学知识与方法，可谓异彩纷呈。探索无止境，教学是一门遗憾艺术，解题也是如此。只有教师不断地深入教材，深刻把握教材的内在联系，不断探索，通过解题能力的不断提高，才能提高学生应对千变万化的高考数学题，为适应当前高考改革，提高教学质量走出一片新天地。
参考文献
[1]时宝军.中学数学教学参考，2010（9）.
[2]郭晓泉.新课程教研，2011（6）.
[3]朱恒元.解析几何专题讲座，2014（10）.
[4]许学文.一道高考数学压轴题的探索，2011（3）.
关键词：圆锥曲线；焦点弦；向量；神级结论
在人教版高中数学选修2-1作业本圆锥曲线部分出现了这样一道题：例：已知椭圆C：[x2a2 y2b2=1]（a>0，b>0）的离心率为[32]，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若[AF=3FB]，则k等于（ ）。
A.1 B.[2] C.[3] D.2
这道题让我有一种似曾相识的感觉，后来在2010年高考全国卷Ⅱ选择题第12题中找到了它的踪迹。作为一道高考压轴的选择题，我们可以看出这肯定是一道难题，是拉开学生客观题分数的一个秘密武器，同时也是一道值得挖掘的好题。
学生的解法一般如下：
解：∵椭圆C：[x2a2 y2b2=1]的离心率为[32]∴可设该椭圆的方程为： [x24b2 y2b2=1]，即[x2 4y2=4b2]。
设A（[x1]，[y1]），B（[x2]，[y2]），F（[3b]，[0]）。
由[AF=3FB]，可得[y1=-3y2]。
再设直线AB的方程为[x=my 3b]。代入椭圆方程可得[m2 4y2 23mby-b2=0]。
∴[y1 y2=-23mbm2 4y1.y2=b2m2 4]
又∵[y1=-3y2]，∴[-2y2=-23mbm2 4]，∴[]，[-3y22]=[-b2m2 43y22=b2m2 4]∴[b2m2 4]=[9m2b2（m2 4）2]∴[9m2=m2 4]。即[m=22]。
∴[k=1m=2]故选B。
点评：该解法中规中矩，对学生的计算能力要求比较高，但作为一道高考选择题的解法显然不是最优的。
同时也有少量同学提出了第二种解法：
取椭圆的左焦点[F1]，连接[AF1]，[BF1]。设[AF=m]，[BF]=n，直线AB的倾斜角为[θ]，则有[4c2 n2-4cncosπ-θ=（2a-n）24c2 m2-4cmcosπ-θ=（2a-m）2]
两式相减得[4c（m n）cosθ=4a（m-n）]，
又∵[m=3n]，∴cosθ[=12e=33]∴tanθ=[2]即k=[2]
点评：学生能想到利用椭圆的第一定义和余弦定理相结合来解决这个问题已经相当不错了，不过探索无止境，还会有更简便的方法吗？
由于现行教材对圆锥曲线的第二定义基本没有作要求了，所以学生也不会想到下面的解法：过A、B分别作椭圆的右准线的垂线，垂足分别为[A1]，[B1]，根据椭圆第二定义可得[AA1=3BB1]，不妨设[AA1=3]，[BB1=1]，则有[AF=3e]，[BF]=e，（e为椭圆的离心率），设直线AB的倾斜角为[θ]，（0<[θ]<[π2]），所以cosθ[=24e=33]，即tanθ=[2]∴k=[2]，故选B。
点评：相比第一、二种解法，第三种解法采用数型结合的思想，利用椭圆的第二定义巧妙地避开了直线与椭圆方程联立的较大运算量，在思路上要巧妙简洁的多。更重要的是这种解法还可以再继续挖掘的，里面还有一个更为巧妙的结论，或许这才是命题者的真实意图。
我们先把该题改编如下：例：已知椭圆C：[x2a2 y2b2=1]（a>0，b>0）的离心率为e，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若[AF=λFB]，求k的值？
顯然改动之后的题更具有一般性，然而从特殊到一般不正是数学上常用的一种思维方法吗？按照第三种解法的思路我们可以得到如下解法：过A、B分别作椭圆的右准线的垂线，垂足分别为[A1]，[B1]，所以[AA1=λBB1]，不妨设[AA1=λ]，[BB1=1]则有[AF=λe]，[BF]=e，（e为椭圆的离心率），设直线AB的倾斜角为θ，（0<[θ]<[π2]），所以cosθ[=λ-1（λ 1）e]，又因为tanθ=k，由[sinθcosθ=ksin2θ cos2θ=1]可得[cos2θ=11 k2]即[（λ-1）2（λ 1）2e2=11 k2]改写成[（λ-1）2（λ 1）2=e21 k2]的形式，这就得到了一个既神奇又美丽的结论。
我们很难想像焦点弦的比值[λ]，椭圆的离心率e，直线的斜率k之间竟然存在着如此美妙的关系。如果把上题中的[λ=3]，[e=32]代入，马上就得到k=[2]。一道高考的压轴选择题居然可以直接秒杀，这足以说明了这个公式的神奇。而且这个公式的适用范围还很广，我们可以同理证明对于抛物线、交点在同一支的双曲线也是适用的。如果上述圆锥曲线的焦点落在y轴上时，只需把公式里的[k]改成[1k]即可。
最后以2009年高考全国卷Ⅱ理科选择题第11题为例，我们感受下神级公式带来的秒杀快感。
原题如下：已知双曲线C：[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为[3]的直线与双曲线C相交于A、B两点，若[AF=4FB]，则双曲线C的离心率等于（ ）。
A.[65] B.[75] C.[85] D.[95]
我们把[λ=4]，[k=3]代入，即得[（4-1）2（4 1）2=e21 3]，解得e = [65]所以选A。
好题总是以平淡的形式出现，但是内涵丰富，在解法上具有很强的灵活性和多样性，从不同的角度切入，可以运用不同的数学知识与方法，可谓异彩纷呈。探索无止境，教学是一门遗憾艺术，解题也是如此。只有教师不断地深入教材，深刻把握教材的内在联系，不断探索，通过解题能力的不断提高，才能提高学生应对千变万化的高考数学题，为适应当前高考改革，提高教学质量走出一片新天地。
参考文献
[1]时宝军.中学数学教学参考，2010（9）.
[2]郭晓泉.新课程教研，2011（6）.
[3]朱恒元.解析几何专题讲座，2014（10）.
[4]许学文.一道高考数学压轴题的探索，2011（3）.