论文部分内容阅读
高考定位
高考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题、三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等.函数与方程思想在高考中，无处不在，填空题与解答题中都会出现，是高考数学最最重要的思想方法之一.
方法指要
1.函数与方程思想的含义
（1）函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.
（2）方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.
2.函数与方程的思想在解题中的应用
（1）函数与不等式的相互转化，对于函数y=f（x），当y>0时，就化为不等式f（x）>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.
（2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题的方法是十分重要的.
（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及到二次方程与二次函数的有关理论.
（4）立体几何中有关线段、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
典例精析
一、利用函数与方程的思想解决方程根的问题
例1（1）如果方程cos2x-sinx a=0在（0，π2]上有解，则a的取值范围是.
（2）函数f（x）=lnx-x2 2x（x>0），x2-2x-3（x≤0）的零点个数为.
分析：（1）可分离变量为a=-cos2x sinx，转化为确定的相关函数的值域.
（2）转化为方程的根的个数或两个函数的图象的交点问题.
解：法1：设f（x）=-cos2x sinx（x∈（0，π2]）.
显然当且仅当a属于f（x）的值域时，a=f（x）有解.
因为f（x）=-（1-sin2x） sinx=（sinx 12）2-54，
且由x∈（0，π2]知sinx∈（0，1].易求得f（x）的值域为（-1，1].
故a的取值范围是（-1，1].
法2：令t=sinx，由x∈（0，π2]，可得t∈（0，1].
将方程变为t2 t-1-a=0.
依题意，该方程在（0，1]上有解.
设f（t）=t2 t-1-a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t=-12，
如图所示.
因此f（t）=0在（0，1]上有解等价于f（0）<0，f（1）≥0， 即-1-a<0，1-a≥0，所以-1 故a的取值范围是（-1，1].
（2）当x≤0时，f（x）=x2-2x-3，
由f（x）=0，即x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3.
因为x≤0，所以x=-1.此时函数f（x）只有一个零点.
当x>0时，f（x）=lnx-x2 2x，
令f（x）=0，得lnx=x2-2x，如图，分别作出函数y=lnx与y=x2-2x（x>0）的图象，由图可知两个函数图象有两个交点，所以此时函数f（x）有两个零点.
综上知，函数f（x）的零点有三个.
解后反思：方程有解问题一般有两种解法：一是通过参变量分离，转化为函数的值域问题；二是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.
二、利用函数与方程的思想解决不等式恒成立问题
例2设函数f（x）=cos2x sinx a-1，已知不等式1≤f（x）≤174对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是.
分析：本题中先利用参数a表示出最大值与最小值，其最大值小于或等于174，最小值大于或等于1，这样就满足了题目中的不等关系，从而求出参数的取值范围.把恒成立问题转化为最值问题是常用的思想方法.
解：f（x）=cos2x sinx a-1=1-sin2x sinx a-1=-（sinx-12）2 a 14.
因为-1≤sinx≤1，所以当sinx=12时，函数有最大值f（x）max=a 14，
当sinx=-1时，函数有最小值f（x）min=a-2.
因为1≤f（x）≤174对一切x∈R恒成立，
所以f（x）max≤174且f（x）min≥1，
即a 14≤174，a-2≥1，解得3≤a≤4，
所以a的取值范围是[3，4].
解后反思：（1）在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；（2）函数f（x）>0或f（x）<0恒成立，一般可转化为f（x）min>0或f（x）max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.
三、利用函数与方程思想求解数列中的最值问题
例3（1）已知数列{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5.则{an}前n项和Sn的最大值为.
（2）已知向量a=（2，-n），b=（Sn，n 1），n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列{anan 1an 4}的最大项的值为. 分析：（1）先列出关于a2和a5的方程组，通过解方程组求出数列的首项和公差，写出an.再求前n项和Sn，整理成关于n的二次函数，求其最大值.（2）先求数列{an}的通项公式，再将anan 1an 4表示成关于n的函数，并求其最大值.
解：（1）设{an}的公差为d，由已知条件，
a1 d=1，a1 4d=-5，解出a1=3，d=-2.所以an=a1 （n-1）d=-2n 5.
于是，Sn=na1 n（n-1）2d=-n2 4n=4-（n-2）2.
所以n=2时，Sn取到最大值4.
（2）依题意得a·b=0，即2Sn=n（n 1），Sn=n（n 1）2.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n 1）2-n（n-1）2=n；
又a1=1，因此an=n，
anan 1an 4=n（n 1）（n 4）=nn2 5n 4=1n 4n 5≤19，
当且仅当n=4n，n∈N*，即n=2时取等号，因此数列{anan 1an 4}的最大项的值是19.
解后反思：数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：
（1）数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.
（2）数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组an-1≤an，an≥an 1或an-1≥an，an≤an 1求解.
（3）数列中前n项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an≥0（an≤0）成立时最大的n值即可求解.
四、利用函数与方程思想求解解析几何中的方程，定值与最值问题
例4平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心，3为半径的圆与以F2为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程.
（2）设椭圆E：x24a2 y24b2=1，P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
（i）求|OQ||OP|的值；（ii）求△ABQ面积的最大值.
分析：（1）建立关于a，b，c的方程，进而求出a，b；（2）（i）对点P坐标舍而不求，并设|OQ||OP|=λ，求出Q点坐标，进而代入椭圆E方程，利用方程思想求出λ；（ii）把△ABQ面积表示成关于某个变量的函数，进而求出该函数的最大值.
解：（1）由题意知2a=4，则a=2，
又ca=32，a2-c2=b2，可得b=1，
所以椭圆C的方程为x24 y2=1.
（2）由（1）知，椭圆E的方程为x216 y24=1，
（i）设P（x0，y0），|OQ||OP|=λ，由题意知Q（-λx0，-λy0）.
因为x204 y20=1，且（-λx0）216 （-λy0）24=1，即λ24（x204 y20）=1，
所以λ=2，即|OQ||OP|=2.
（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2）.
将y=kx m代入椭圆E的方程，
可得（1 4k2）x2 8kmx 4m2-16=0，
由Δ>0，可得m2<4 16k2，①
则有x1 x2=-8km1 4k2，x1x2=4m2-161 4k2，
所以|x1-x2|=416k2 4-m21 4k2.
因为直线y=kx m与y轴交点的坐标为（0，m），
所以△OAB的面积S=12|m||x1-x2|
=216k2 4-m2|m|1 4k2
=2（16k2 4-m2）m21 4k2
=2（4-m21 4k2）×m21 4k2.
设m21 4k2=t.将y=kx m代入椭圆C的方程，
可得（1 4k2）x2 8kmx 4m2-4=0，
由Δ≥0，可得m2≤1 4k2.②
由①②可知0 因此S=2（4-t）t=2-t2 4t.
故S≤23，当且仅当t=1，即m2=1 4k2时，S取得最大值23，
由（i）知，△ABQ的面积为3S，
所以△ABQ面积的最大值为63.
解后反思：在解析几何中，方程问题和定点定值问题，一般采用方程思想求解，而最值问题常常采用函数思想.值得关注的是，解析几何中的最值是高考的热点，也是难点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
（作者：宋涛，如皋市第一中学）
高考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题、三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等.函数与方程思想在高考中，无处不在，填空题与解答题中都会出现，是高考数学最最重要的思想方法之一.
方法指要
1.函数与方程思想的含义
（1）函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.
（2）方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.
2.函数与方程的思想在解题中的应用
（1）函数与不等式的相互转化，对于函数y=f（x），当y>0时，就化为不等式f（x）>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.
（2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题的方法是十分重要的.
（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及到二次方程与二次函数的有关理论.
（4）立体几何中有关线段、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
典例精析
一、利用函数与方程的思想解决方程根的问题
例1（1）如果方程cos2x-sinx a=0在（0，π2]上有解，则a的取值范围是.
（2）函数f（x）=lnx-x2 2x（x>0），x2-2x-3（x≤0）的零点个数为.
分析：（1）可分离变量为a=-cos2x sinx，转化为确定的相关函数的值域.
（2）转化为方程的根的个数或两个函数的图象的交点问题.
解：法1：设f（x）=-cos2x sinx（x∈（0，π2]）.
显然当且仅当a属于f（x）的值域时，a=f（x）有解.
因为f（x）=-（1-sin2x） sinx=（sinx 12）2-54，
且由x∈（0，π2]知sinx∈（0，1].易求得f（x）的值域为（-1，1].
故a的取值范围是（-1，1].
法2：令t=sinx，由x∈（0，π2]，可得t∈（0，1].
将方程变为t2 t-1-a=0.
依题意，该方程在（0，1]上有解.
设f（t）=t2 t-1-a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t=-12，
如图所示.
因此f（t）=0在（0，1]上有解等价于f（0）<0，f（1）≥0， 即-1-a<0，1-a≥0，所以-1
（2）当x≤0时，f（x）=x2-2x-3，
由f（x）=0，即x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3.
因为x≤0，所以x=-1.此时函数f（x）只有一个零点.
当x>0时，f（x）=lnx-x2 2x，
令f（x）=0，得lnx=x2-2x，如图，分别作出函数y=lnx与y=x2-2x（x>0）的图象，由图可知两个函数图象有两个交点，所以此时函数f（x）有两个零点.
综上知，函数f（x）的零点有三个.
解后反思：方程有解问题一般有两种解法：一是通过参变量分离，转化为函数的值域问题；二是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.
二、利用函数与方程的思想解决不等式恒成立问题
例2设函数f（x）=cos2x sinx a-1，已知不等式1≤f（x）≤174对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是.
分析：本题中先利用参数a表示出最大值与最小值，其最大值小于或等于174，最小值大于或等于1，这样就满足了题目中的不等关系，从而求出参数的取值范围.把恒成立问题转化为最值问题是常用的思想方法.
解：f（x）=cos2x sinx a-1=1-sin2x sinx a-1=-（sinx-12）2 a 14.
因为-1≤sinx≤1，所以当sinx=12时，函数有最大值f（x）max=a 14，
当sinx=-1时，函数有最小值f（x）min=a-2.
因为1≤f（x）≤174对一切x∈R恒成立，
所以f（x）max≤174且f（x）min≥1，
即a 14≤174，a-2≥1，解得3≤a≤4，
所以a的取值范围是[3，4].
解后反思：（1）在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；（2）函数f（x）>0或f（x）<0恒成立，一般可转化为f（x）min>0或f（x）max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.
三、利用函数与方程思想求解数列中的最值问题
例3（1）已知数列{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5.则{an}前n项和Sn的最大值为.
（2）已知向量a=（2，-n），b=（Sn，n 1），n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列{anan 1an 4}的最大项的值为. 分析：（1）先列出关于a2和a5的方程组，通过解方程组求出数列的首项和公差，写出an.再求前n项和Sn，整理成关于n的二次函数，求其最大值.（2）先求数列{an}的通项公式，再将anan 1an 4表示成关于n的函数，并求其最大值.
解：（1）设{an}的公差为d，由已知条件，
a1 d=1，a1 4d=-5，解出a1=3，d=-2.所以an=a1 （n-1）d=-2n 5.
于是，Sn=na1 n（n-1）2d=-n2 4n=4-（n-2）2.
所以n=2时，Sn取到最大值4.
（2）依题意得a·b=0，即2Sn=n（n 1），Sn=n（n 1）2.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n 1）2-n（n-1）2=n；
又a1=1，因此an=n，
anan 1an 4=n（n 1）（n 4）=nn2 5n 4=1n 4n 5≤19，
当且仅当n=4n，n∈N*，即n=2时取等号，因此数列{anan 1an 4}的最大项的值是19.
解后反思：数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：
（1）数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.
（2）数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组an-1≤an，an≥an 1或an-1≥an，an≤an 1求解.
（3）数列中前n项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an≥0（an≤0）成立时最大的n值即可求解.
四、利用函数与方程思想求解解析几何中的方程，定值与最值问题
例4平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心，3为半径的圆与以F2为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程.
（2）设椭圆E：x24a2 y24b2=1，P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
（i）求|OQ||OP|的值；（ii）求△ABQ面积的最大值.
分析：（1）建立关于a，b，c的方程，进而求出a，b；（2）（i）对点P坐标舍而不求，并设|OQ||OP|=λ，求出Q点坐标，进而代入椭圆E方程，利用方程思想求出λ；（ii）把△ABQ面积表示成关于某个变量的函数，进而求出该函数的最大值.
解：（1）由题意知2a=4，则a=2，
又ca=32，a2-c2=b2，可得b=1，
所以椭圆C的方程为x24 y2=1.
（2）由（1）知，椭圆E的方程为x216 y24=1，
（i）设P（x0，y0），|OQ||OP|=λ，由题意知Q（-λx0，-λy0）.
因为x204 y20=1，且（-λx0）216 （-λy0）24=1，即λ24（x204 y20）=1，
所以λ=2，即|OQ||OP|=2.
（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2）.
将y=kx m代入椭圆E的方程，
可得（1 4k2）x2 8kmx 4m2-16=0，
由Δ>0，可得m2<4 16k2，①
则有x1 x2=-8km1 4k2，x1x2=4m2-161 4k2，
所以|x1-x2|=416k2 4-m21 4k2.
因为直线y=kx m与y轴交点的坐标为（0，m），
所以△OAB的面积S=12|m||x1-x2|
=216k2 4-m2|m|1 4k2
=2（16k2 4-m2）m21 4k2
=2（4-m21 4k2）×m21 4k2.
设m21 4k2=t.将y=kx m代入椭圆C的方程，
可得（1 4k2）x2 8kmx 4m2-4=0，
由Δ≥0，可得m2≤1 4k2.②
由①②可知0
故S≤23，当且仅当t=1，即m2=1 4k2时，S取得最大值23，
由（i）知，△ABQ的面积为3S，
所以△ABQ面积的最大值为63.
解后反思：在解析几何中，方程问题和定点定值问题，一般采用方程思想求解，而最值问题常常采用函数思想.值得关注的是，解析几何中的最值是高考的热点，也是难点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
（作者：宋涛，如皋市第一中学）