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数列与不等式的链接是考试中的热点话题，这类问题不仅能考查多方面的知识和技能、技巧，而且对于思维能力也提出了较高的要求，常成为试卷中的“制高点”.值得重视的有以下几种类型：证明不等式；比较大小；研究单调性；求最值；求取值范围等.
一、证明不等式
【例1】数列{an}中，an＝5n－4，证明不等式 － ＞1（m，n∈N*）.
【解析】分析法是证明不等式的一种重要方法，欲证原不等式，只要证 ＞ ＋1，即只要证5amn＞1＋aman＋2 ，而amn＝5mn－4，aman＝25mn－20（m＋n）＋16，故只要证5（5mn－4）＞1＋25mn－20（m＋n）＋16＋2 ，即只要证20m＋20n－37＞2 .
至此，如果“硬”要来个两边平方，将使题解陷入难以自拔的境地．静心思考一下，能否用其他方法化去式子中的根号呢？因为2 ?燮am+an＝5m＋5n－8，所以只要证20m＋20n－37＞5m＋5n－8，即15m＋15n＞29，m、n都是正整数，此式成立，则原式得证.
分析法加均值不等式征服了一道不太容易的证明题，由此可见其作用不可小视.
二、比较大小
【例2】设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n＝1，2，…）．
（Ⅰ）求q的取值范围；
（Ⅱ）设bn＝an+2－ an+1，记数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小．
【解析】（Ⅰ）当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝ ＞0，所以 ＞0，则得1-q＜01-qn＜0①或1-q＞01-qn＞0②
解①得q＞1；解②得－1＜q＜1，且q≠0，故q的取值范围为（－1，0）∪（0，＋∞）.
（Ⅱ）由已知得bn＝an（q2－ q），则可得Tn与Sn的关系Tn＝（q2－ q）Sn，用最基本的求差比较法得Tn－Sn＝（q2－ q－1）Sn，因为Sn＞0，且q∈（－1，0）∪（0，＋∞），所以当
1oq∈（－1，－ ）∪（2，+∞）时，Tn－Sn＞0，Tn＞Sn
2oq∈（－ ，0）∪（0，2）时，Tn－Sn＜0，Tn＜Sn
3oq＝－ ，或q＝2时，Tn－Sn＝0，Tn＝Sn.
将（Ⅰ）中所得的q的取值范围与Tn－Sn的值的三种情况结合起来，进行条分缕析的分类讨论，需要的是冷静深邃的思考.
三、研究单调性
【例3】已知数列{an}满足a1＝2a，an+1＝ （a≠0），bn＝ ，试判断并证明数列{an}的单调性.
【解析】由已知得bn＝ ＝＝
b2 n-1＞0（n＞1）.
欲研究数列的单调性，只要比较an+1与an的大小，作差得an+1－an＝ －an＝ .
1o当a＞0时，a1＞0，an＞0，又bn＞0，即 ＞0，所以an－a＞0，an＞a＞0，a2n－a2＞0，即an+1－an＜0，an+1＜an，此时数列是递减的；
2o当a＜0时，不难得an+1＞an，此时数列是递增的.
四、求最值
【例4】数列{an}中，a1＝ ，an＝2－ （n?叟2），求数列{an}中最大和最小项的值．
【解析】问题的基点是先求出数列的通项，由已知可得an－1＝ ，化为 ＝ ＋1，则{ } 是首项为－ ，公差为1的等差数列，所以an＝ ，那么an＝ ＋1，在直角坐标系中作出它的图像（如图1），则可知当n＝3时，有最小项，其值为a3＝－1；当n＝4时，有最大项，其值为a4＝3.若不用图形与数形结合的思想怎么解此题，读者不妨一试.
五、求取值范围
【例5】已知数列{an}的前n项和 Sn＝ （n≥2，b＞0,b≠1），若an+1＞an恒成立，求b的取值范围.
【解析】这是一道把关试题的关键部分，也是一种十分重要的题型.
由已知得an＝ （n≥2），由an+1＞an得 ＞ ，化得（b－1）[（n＋1）b－（n＋3）]＞0，则b＜1，或 b＞ ＝1＋ .
而当n＝2时， 的最大值为 ，所以b> ，故b的取值范围是（0，1）∪（ ，＋∞）.
（编校：赵 琳）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、证明不等式
【例1】数列{an}中，an＝5n－4，证明不等式 － ＞1（m，n∈N*）.
【解析】分析法是证明不等式的一种重要方法，欲证原不等式，只要证 ＞ ＋1，即只要证5amn＞1＋aman＋2 ，而amn＝5mn－4，aman＝25mn－20（m＋n）＋16，故只要证5（5mn－4）＞1＋25mn－20（m＋n）＋16＋2 ，即只要证20m＋20n－37＞2 .
至此，如果“硬”要来个两边平方，将使题解陷入难以自拔的境地．静心思考一下，能否用其他方法化去式子中的根号呢？因为2 ?燮am+an＝5m＋5n－8，所以只要证20m＋20n－37＞5m＋5n－8，即15m＋15n＞29，m、n都是正整数，此式成立，则原式得证.
分析法加均值不等式征服了一道不太容易的证明题，由此可见其作用不可小视.
二、比较大小
【例2】设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n＝1，2，…）．
（Ⅰ）求q的取值范围；
（Ⅱ）设bn＝an+2－ an+1，记数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小．
【解析】（Ⅰ）当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝ ＞0，所以 ＞0，则得1-q＜01-qn＜0①或1-q＞01-qn＞0②
解①得q＞1；解②得－1＜q＜1，且q≠0，故q的取值范围为（－1，0）∪（0，＋∞）.
（Ⅱ）由已知得bn＝an（q2－ q），则可得Tn与Sn的关系Tn＝（q2－ q）Sn，用最基本的求差比较法得Tn－Sn＝（q2－ q－1）Sn，因为Sn＞0，且q∈（－1，0）∪（0，＋∞），所以当
1oq∈（－1，－ ）∪（2，+∞）时，Tn－Sn＞0，Tn＞Sn
2oq∈（－ ，0）∪（0，2）时，Tn－Sn＜0，Tn＜Sn
3oq＝－ ，或q＝2时，Tn－Sn＝0，Tn＝Sn.
将（Ⅰ）中所得的q的取值范围与Tn－Sn的值的三种情况结合起来，进行条分缕析的分类讨论，需要的是冷静深邃的思考.
三、研究单调性
【例3】已知数列{an}满足a1＝2a，an+1＝ （a≠0），bn＝ ，试判断并证明数列{an}的单调性.
【解析】由已知得bn＝ ＝＝
b2 n-1＞0（n＞1）.
欲研究数列的单调性，只要比较an+1与an的大小，作差得an+1－an＝ －an＝ .
1o当a＞0时，a1＞0，an＞0，又bn＞0，即 ＞0，所以an－a＞0，an＞a＞0，a2n－a2＞0，即an+1－an＜0，an+1＜an，此时数列是递减的；
2o当a＜0时，不难得an+1＞an，此时数列是递增的.
四、求最值
【例4】数列{an}中，a1＝ ，an＝2－ （n?叟2），求数列{an}中最大和最小项的值．
【解析】问题的基点是先求出数列的通项，由已知可得an－1＝ ，化为 ＝ ＋1，则{ } 是首项为－ ，公差为1的等差数列，所以an＝ ，那么an＝ ＋1，在直角坐标系中作出它的图像（如图1），则可知当n＝3时，有最小项，其值为a3＝－1；当n＝4时，有最大项，其值为a4＝3.若不用图形与数形结合的思想怎么解此题，读者不妨一试.
五、求取值范围
【例5】已知数列{an}的前n项和 Sn＝ （n≥2，b＞0,b≠1），若an+1＞an恒成立，求b的取值范围.
【解析】这是一道把关试题的关键部分，也是一种十分重要的题型.
由已知得an＝ （n≥2），由an+1＞an得 ＞ ，化得（b－1）[（n＋1）b－（n＋3）]＞0，则b＜1，或 b＞ ＝1＋ .
而当n＝2时， 的最大值为 ，所以b> ，故b的取值范围是（0，1）∪（ ，＋∞）.
（编校：赵 琳）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”