论文部分内容阅读
摘要：现今，在实际工程设计中，关于现浇钢筋混凝土双向板楼盖常用的挠度计算方法有线弹性理论和等代框架法等。本文以1/2比例缩尺的现浇钢筋混凝土双向板肋梁楼盖中的中区格板、边区格板和角区格板试件为计算模型，分别按以上两种方法计算各区格板在正常使用均布荷载作用下的板跨中挠度值，并与试验值进行比较。分析结果表明：计算所得挠度值与试验值之间存在较大误差；对于钢筋混凝土双向板肋梁楼盖的适用性设计，有必要考虑支承梁的变形和开裂，以及板开裂的影响。
关键词：现浇钢筋混凝土双向板；线弹性理论；等代框架法；挠度计算
中图分类号：TU37 文献标识码：A 文章编号：
1 引言
目前，国内外关于钢筋混凝土双向板在正常使用阶段（带裂缝工作阶段）的短期刚度和挠度分析的文献资料较少，由于问题的复杂性，一般通过有限元分析程序加以分析计算，但其计算工作量大，对工程设计来说费时费力。因而在我国工程设计中，对于钢筋混凝土双向板挠度的计算主要采用弹性薄板法和等代框架法[1~5]。随着社会的发展，人们对建筑空间大小及形式的需求日益增大，楼盖结构不断向大跨度形式发展，对楼盖适用性方面的研究已形势所趋。因此，准确计算预测钢筋混凝土双向板在正常使用阶段的挠度，对于指导工程设计具有十分重要的意义。
本文基于现浇钢筋混凝土双向板肋梁楼盖中的中区格板、边区格板和角区格板在均布荷载作用下的挠度试验结果，将理论方法计算所得挠度值与试验结果进行比较，分析讨论这三种挠度计算方法存在的不足，为实际工程设计提供参考。
2 计算模型
2.1 试件设计与制作
结构原型为9区格双向板肋梁楼盖结构，考虑到试验加载条件的限制，故取中区格板、边区格板和角区格板进行试验。通过三维有限元分析对比可知，当区格板模型各边悬挑长度取为同方向板跨长的0.3倍时，三种区格板所得板的内力和变形与原型较为接近，因此，各边悬挑长度均取为0.3倍板的跨长。
在本文试验中，试件按原型结构的1/2比例缩尺，中区格板、边区格板和角区格板的平面尺寸分别为4.8m×5.76m、3.9m×5.76m和3.9m×4.68m，板厚均为80mm。柱网尺寸为为3.0m×3.6m，柱截面尺寸为b×h=250mm×250mm，柱高1.75m（包括梁板厚度在内），柱下端采用螺纹钢焊接相连。长、短跨方向支承肋梁截面尺寸b×h分别为200mm×360mm，200mm×300mm。混凝土强度等级为C30，弹性模量取3×104MPa，泊松比ν取为0.2。
梁纵筋采用HRB500级钢筋，直径为12mm，屈服强度为，极限强度为。柱纵筋采用HRB400级钢筋，直径为12mm，屈服强度为，极限强度为。梁、柱箍筋和板钢筋均采用HPB235级钢筋。中区格板试件几何尺寸及配筋情况如图1所示，另两个区格板与此相似。
图1 中区格板试件几何尺寸及配筋图
Fig.1 Dimensions and reinforcement details of the center slab
2.2 加載方式
试验楼盖采用分配梁的加载方式，通过素混凝土配重块、钢梁及液压千斤顶进行静力加载，以模拟竖向均布荷载，如图2所示。板自重2.0KN/m2，各区格板逐级加载，直至试件基本破坏。
2.3 试验结果
当所有混凝土配重块和型钢分配梁全部放置后（第一级竖向均布荷载），各区格板的梁、板均无裂缝出现。施加完第一级液压荷载（第二级竖向均布荷载）时，梁跨中出现竖向裂缝，而板未出现裂缝，板仍处于弹性状态。继续加载至第二级液压荷载（第三级竖向均布荷载）
(a)中区格板 (b)边区格板 (c)角区格板
图2 竖向均布荷载加载系统
Fig.2 Test set-up
时，梁底裂缝增多，并出现细纹，且板底出现裂缝，大致走向沿板对角线方向。随着荷载增加，板顶沿支承梁两侧出现通长裂缝，并延伸贯通。直至试件基本破坏，停止加载。各区格双向板肋梁楼盖在各级均布荷载作用下，梁、板跨中荷载-挠度曲线如图3所示。
（a）中区格板 (b)边区格板(c)角区格板
图3 各区格板梁、板的荷载—挠度曲线
Fig.3 Load-deflection Curves of beams and slabs for the three typical panels
由图3可知，楼板开裂前，荷载与挠度关系接近于一直线，楼板开裂时，板的抗弯刚度有较大降低，对应的变形曲线上发生明显的转折。在竖向均布荷载作用下，梁、板、柱三者协同工作，梁的变形在整个楼盖结构变形中占有较大比重，对板的内力和挠度有不可忽略的影响。
3 双向板挠度计算方法
3.1 线弹性设计法
线弹性设计法[1]假定钢筋混凝土结构的材料和构件都是均质线弹性体，应力与应变成正比。此法按弹性薄板理论计算，可以计算四边支承双向板任意点的内力和挠度，但计算较为复杂。在实际工程设计中，对于尺寸和荷载都很规整的结构，一般采用查表法计算求得板支座和跨中截面的最大内力以及板的跨中挠度。
3.1.1 单块双向板[2]
为了工程应用，对于矩形板已制成表格，以供计算查用。表中给出了承受均布荷载作用的双向板在六种不同边界支承情况下当泊松比时的弯矩系数和挠度系数。计算时，只需根据双向板实际支承情况和短跨与长跨的比值，直接查出板中心点的挠度系数，即可算得单区格双向板跨中挠度值：
表中系数（1）
（2）
式中：——单区格双向板跨中心挠度(mm)；
——均布荷载设计值（kN/m2）；
——短跨方向计算跨度（m）；
当时，表中挠度系数不变，刚度按公式计算即可。
3.1.2 多跨连续双向板(多区格双向板) [2]
多跨连续双向板由于按弹性理论[3] [4]的精确计算较为复杂，因此，在工程设计中一般采用以单区格板计算为基础的近似实用计算方法。即将多跨连续板的每一区格的计算转化为单区格双向板计算的问题，故可利用上述表格进行计算。该法采用了采用了如下两个假定：
（1）支承梁不产生竖向位移及扭转变形；
（2）双向板肋梁楼盖各区格沿同一方向相邻跨度的比值，以免产生过大的误差。
根据上述假定可将支承梁视为双向板的不动铰支座，从而使计算简化。
对于多跨连续板，通常将其等效为单区格双向板。对于各区各板均满布荷载，内区格板可按四边固定的双向板进行查表计算；至于边区格板和角区格板，其内支承可按固定支承考虑，而外边界支承则按实际情况考虑。按以上对应情况等效为单区格双向板后，查表计算相应区格板的跨中挠度。
3.2 等代框架法
等代框架法[5] [6]将结构沿纵向及横向分成以柱轴线为中心的连续框架。每一框架由一排柱和一个宽连续梁组成，梁或板梁包括以柱两侧区格的中心线为界的楼板部分。
采用该法计算任意一个区格板的挠度时，一次考虑一个方向的变形，然后将两个方向的挠度相加，可得任意相关控制点的总挠度。因此，区格板中心点的挠度等于一个方向柱上板带的跨中挠度与另一个方向中间板带的跨中挠度之和，即
（3）
或 （4）
式中：——区格板中心点的挠度；
、 ——柱上板带的跨中挠度；
、——中间板带的跨中挠度。
3.2.1 参考挠度
计算板区格在任一方向的变形时，先假设变形呈圆柱面，认为支座对转动和竖向位移均为完全固定，则区格板的参考挠度按下式计算：
（5）
式中：——区格板的参考挠度；
——计算方向的均布线荷载，按区格板全宽计算；
——区格板全宽（等代梁）的截面惯性矩，如果有柱轴线梁、柱顶板或柱帽，计算时均应考虑。
3.2.2 柱上板带和中间板带的跨中挠度
因沿板宽度方向实际弯矩的变化，以及因梁和不同板厚度等原因引起的刚度变化的影响，用参考挠度乘以修正系数来考虑，修正系数为各相应板带的与框架全宽的之比值。柱上板带的跨中挠度和中间板带的跨中挠度可分别按下列各式计算：
（6）
（7）
式中：——柱上板带承受的弯矩与等代梁弯矩之比，即柱上板带弯矩分配系数；
——中间板带弯矩分配系数；
——等代梁（全宽框架）的截面惯性矩；
——柱上板带的截面惯性矩；
——中间板带的截面惯性矩，相对应的有效截面见图4。
图4 挠度计算时的有效截面
Fig.4 Effective cross section of deflection calculation
3.2.3 支座转动引起的板带跨中挠度
上述支座按完全固定端考虑，为此，须修正等代框架在支座处的转角。等代柱在等代梁处的转角为
（8）
式中：——等代柱沿计算方向左、右兩侧等代梁的弯矩差；
——等代柱的抗弯刚度。
当求得两端转角后，即可计算与之相关的等代框架的跨中挠度。当一端转角为，远端为固定时，构件的跨中挠度为
（9）
其中，为计算方向板带的跨度。
3.2.4 考虑支座转角后的柱上板带和中间板带跨中挠度
柱上板带和中间板带的跨中总挠度可按下列公式计算为
（10）
（11）
式中：、分别为所计算区格板左、右两端支座转动角度所引起的板带跨中挠度。
3.2.5 区格板中心挠度
结构在另一方向的等代框架重复上述计算，则区格板中心点的总挠度为一个方向柱上板带的跨中挠度和另一个方向中间板带的跨中挠度之和。即
（12）
4 挠度计算结果比较
分别按上述两种常用挠度计算方法所得各区格板在正常使用荷载作用下的板跨中挠度计算值与试验值的比较见表1。可见，计算值偏小，且与试验值误差较大。
表1 板跨中挠度计算值与试验值的比较
Table 1 Comparison of calculated and experimental deflections at the mid-span
5 结论
（1）采用线弹性设计法计算现浇混凝土双向板楼盖在竖向荷载作用下的板跨中挠度时，支承梁的变形不可忽略。
（2）对于等代框架法计算现浇混凝土双向板肋梁楼盖在正常使用开裂阶段的柱上板带和中间板带的跨中挠度时，有必要考虑梁、板开裂对结构变形产生的影响。
参考文献
[1] 沈浦生. 楼盖结构设计原理[M]. 北京：科学出版社，2003.
[2] 梁兴文，史庆轩. 混凝土结构设计原理[M]. 北京：科学出版社，2004.
[3] 徐芝纶. 弹性力学[M]. 北京：高等教育出版社，2007.
[4] R.Sziland著，陈太平等译. 板的理论与分析[M]. 北京：中国铁道出版社，1984.
[5] H. Nilson. Design of Concrete structures [M]. The McGraw-Hill Companies, Inc. 1997，pp.59-64，189-205.
[6] R.Park and W. L.Gamble. Reinforced Concrete Slabs[M]. John Wiley and Sons, New York, 1980.
关键词：现浇钢筋混凝土双向板；线弹性理论；等代框架法；挠度计算
中图分类号：TU37 文献标识码：A 文章编号：
1 引言
目前，国内外关于钢筋混凝土双向板在正常使用阶段（带裂缝工作阶段）的短期刚度和挠度分析的文献资料较少，由于问题的复杂性，一般通过有限元分析程序加以分析计算，但其计算工作量大，对工程设计来说费时费力。因而在我国工程设计中，对于钢筋混凝土双向板挠度的计算主要采用弹性薄板法和等代框架法[1~5]。随着社会的发展，人们对建筑空间大小及形式的需求日益增大，楼盖结构不断向大跨度形式发展，对楼盖适用性方面的研究已形势所趋。因此，准确计算预测钢筋混凝土双向板在正常使用阶段的挠度，对于指导工程设计具有十分重要的意义。
本文基于现浇钢筋混凝土双向板肋梁楼盖中的中区格板、边区格板和角区格板在均布荷载作用下的挠度试验结果，将理论方法计算所得挠度值与试验结果进行比较，分析讨论这三种挠度计算方法存在的不足，为实际工程设计提供参考。
2 计算模型
2.1 试件设计与制作
结构原型为9区格双向板肋梁楼盖结构，考虑到试验加载条件的限制，故取中区格板、边区格板和角区格板进行试验。通过三维有限元分析对比可知，当区格板模型各边悬挑长度取为同方向板跨长的0.3倍时，三种区格板所得板的内力和变形与原型较为接近，因此，各边悬挑长度均取为0.3倍板的跨长。
在本文试验中，试件按原型结构的1/2比例缩尺，中区格板、边区格板和角区格板的平面尺寸分别为4.8m×5.76m、3.9m×5.76m和3.9m×4.68m，板厚均为80mm。柱网尺寸为为3.0m×3.6m，柱截面尺寸为b×h=250mm×250mm，柱高1.75m（包括梁板厚度在内），柱下端采用螺纹钢焊接相连。长、短跨方向支承肋梁截面尺寸b×h分别为200mm×360mm，200mm×300mm。混凝土强度等级为C30，弹性模量取3×104MPa，泊松比ν取为0.2。
梁纵筋采用HRB500级钢筋，直径为12mm，屈服强度为，极限强度为。柱纵筋采用HRB400级钢筋，直径为12mm，屈服强度为，极限强度为。梁、柱箍筋和板钢筋均采用HPB235级钢筋。中区格板试件几何尺寸及配筋情况如图1所示，另两个区格板与此相似。
图1 中区格板试件几何尺寸及配筋图
Fig.1 Dimensions and reinforcement details of the center slab
2.2 加載方式
试验楼盖采用分配梁的加载方式，通过素混凝土配重块、钢梁及液压千斤顶进行静力加载，以模拟竖向均布荷载，如图2所示。板自重2.0KN/m2，各区格板逐级加载，直至试件基本破坏。
2.3 试验结果
当所有混凝土配重块和型钢分配梁全部放置后（第一级竖向均布荷载），各区格板的梁、板均无裂缝出现。施加完第一级液压荷载（第二级竖向均布荷载）时，梁跨中出现竖向裂缝，而板未出现裂缝，板仍处于弹性状态。继续加载至第二级液压荷载（第三级竖向均布荷载）
(a)中区格板 (b)边区格板 (c)角区格板
图2 竖向均布荷载加载系统
Fig.2 Test set-up
时，梁底裂缝增多，并出现细纹，且板底出现裂缝，大致走向沿板对角线方向。随着荷载增加，板顶沿支承梁两侧出现通长裂缝，并延伸贯通。直至试件基本破坏，停止加载。各区格双向板肋梁楼盖在各级均布荷载作用下，梁、板跨中荷载-挠度曲线如图3所示。
（a）中区格板 (b)边区格板(c)角区格板
图3 各区格板梁、板的荷载—挠度曲线
Fig.3 Load-deflection Curves of beams and slabs for the three typical panels
由图3可知，楼板开裂前，荷载与挠度关系接近于一直线，楼板开裂时，板的抗弯刚度有较大降低，对应的变形曲线上发生明显的转折。在竖向均布荷载作用下，梁、板、柱三者协同工作，梁的变形在整个楼盖结构变形中占有较大比重，对板的内力和挠度有不可忽略的影响。
3 双向板挠度计算方法
3.1 线弹性设计法
线弹性设计法[1]假定钢筋混凝土结构的材料和构件都是均质线弹性体，应力与应变成正比。此法按弹性薄板理论计算，可以计算四边支承双向板任意点的内力和挠度，但计算较为复杂。在实际工程设计中，对于尺寸和荷载都很规整的结构，一般采用查表法计算求得板支座和跨中截面的最大内力以及板的跨中挠度。
3.1.1 单块双向板[2]
为了工程应用，对于矩形板已制成表格，以供计算查用。表中给出了承受均布荷载作用的双向板在六种不同边界支承情况下当泊松比时的弯矩系数和挠度系数。计算时，只需根据双向板实际支承情况和短跨与长跨的比值，直接查出板中心点的挠度系数，即可算得单区格双向板跨中挠度值：
表中系数（1）
（2）
式中：——单区格双向板跨中心挠度(mm)；
——均布荷载设计值（kN/m2）；
——短跨方向计算跨度（m）；
当时，表中挠度系数不变，刚度按公式计算即可。
3.1.2 多跨连续双向板(多区格双向板) [2]
多跨连续双向板由于按弹性理论[3] [4]的精确计算较为复杂，因此，在工程设计中一般采用以单区格板计算为基础的近似实用计算方法。即将多跨连续板的每一区格的计算转化为单区格双向板计算的问题，故可利用上述表格进行计算。该法采用了采用了如下两个假定：
（1）支承梁不产生竖向位移及扭转变形；
（2）双向板肋梁楼盖各区格沿同一方向相邻跨度的比值，以免产生过大的误差。
根据上述假定可将支承梁视为双向板的不动铰支座，从而使计算简化。
对于多跨连续板，通常将其等效为单区格双向板。对于各区各板均满布荷载，内区格板可按四边固定的双向板进行查表计算；至于边区格板和角区格板，其内支承可按固定支承考虑，而外边界支承则按实际情况考虑。按以上对应情况等效为单区格双向板后，查表计算相应区格板的跨中挠度。
3.2 等代框架法
等代框架法[5] [6]将结构沿纵向及横向分成以柱轴线为中心的连续框架。每一框架由一排柱和一个宽连续梁组成，梁或板梁包括以柱两侧区格的中心线为界的楼板部分。
采用该法计算任意一个区格板的挠度时，一次考虑一个方向的变形，然后将两个方向的挠度相加，可得任意相关控制点的总挠度。因此，区格板中心点的挠度等于一个方向柱上板带的跨中挠度与另一个方向中间板带的跨中挠度之和，即
（3）
或 （4）
式中：——区格板中心点的挠度；
、 ——柱上板带的跨中挠度；
、——中间板带的跨中挠度。
3.2.1 参考挠度
计算板区格在任一方向的变形时，先假设变形呈圆柱面，认为支座对转动和竖向位移均为完全固定，则区格板的参考挠度按下式计算：
（5）
式中：——区格板的参考挠度；
——计算方向的均布线荷载，按区格板全宽计算；
——区格板全宽（等代梁）的截面惯性矩，如果有柱轴线梁、柱顶板或柱帽，计算时均应考虑。
3.2.2 柱上板带和中间板带的跨中挠度
因沿板宽度方向实际弯矩的变化，以及因梁和不同板厚度等原因引起的刚度变化的影响，用参考挠度乘以修正系数来考虑，修正系数为各相应板带的与框架全宽的之比值。柱上板带的跨中挠度和中间板带的跨中挠度可分别按下列各式计算：
（6）
（7）
式中：——柱上板带承受的弯矩与等代梁弯矩之比，即柱上板带弯矩分配系数；
——中间板带弯矩分配系数；
——等代梁（全宽框架）的截面惯性矩；
——柱上板带的截面惯性矩；
——中间板带的截面惯性矩，相对应的有效截面见图4。
图4 挠度计算时的有效截面
Fig.4 Effective cross section of deflection calculation
3.2.3 支座转动引起的板带跨中挠度
上述支座按完全固定端考虑，为此，须修正等代框架在支座处的转角。等代柱在等代梁处的转角为
（8）
式中：——等代柱沿计算方向左、右兩侧等代梁的弯矩差；
——等代柱的抗弯刚度。
当求得两端转角后，即可计算与之相关的等代框架的跨中挠度。当一端转角为，远端为固定时，构件的跨中挠度为
（9）
其中，为计算方向板带的跨度。
3.2.4 考虑支座转角后的柱上板带和中间板带跨中挠度
柱上板带和中间板带的跨中总挠度可按下列公式计算为
（10）
（11）
式中：、分别为所计算区格板左、右两端支座转动角度所引起的板带跨中挠度。
3.2.5 区格板中心挠度
结构在另一方向的等代框架重复上述计算，则区格板中心点的总挠度为一个方向柱上板带的跨中挠度和另一个方向中间板带的跨中挠度之和。即
（12）
4 挠度计算结果比较
分别按上述两种常用挠度计算方法所得各区格板在正常使用荷载作用下的板跨中挠度计算值与试验值的比较见表1。可见，计算值偏小，且与试验值误差较大。
表1 板跨中挠度计算值与试验值的比较
Table 1 Comparison of calculated and experimental deflections at the mid-span
5 结论
（1）采用线弹性设计法计算现浇混凝土双向板楼盖在竖向荷载作用下的板跨中挠度时，支承梁的变形不可忽略。
（2）对于等代框架法计算现浇混凝土双向板肋梁楼盖在正常使用开裂阶段的柱上板带和中间板带的跨中挠度时，有必要考虑梁、板开裂对结构变形产生的影响。
参考文献
[1] 沈浦生. 楼盖结构设计原理[M]. 北京：科学出版社，2003.
[2] 梁兴文，史庆轩. 混凝土结构设计原理[M]. 北京：科学出版社，2004.
[3] 徐芝纶. 弹性力学[M]. 北京：高等教育出版社，2007.
[4] R.Sziland著，陈太平等译. 板的理论与分析[M]. 北京：中国铁道出版社，1984.
[5] H. Nilson. Design of Concrete structures [M]. The McGraw-Hill Companies, Inc. 1997，pp.59-64，189-205.
[6] R.Park and W. L.Gamble. Reinforced Concrete Slabs[M]. John Wiley and Sons, New York, 1980.