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摘要：描述了数学语言与自然语言的联系与区别，阐述其概念、特点、发展阶段，并探讨了数学语言与数学思维之间的联系。
关键词：数学语言;数学思维
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1673-9094-（2018）11C-0016-03
一、自然语言与数学语言的联系与区别
自然语言（以下简称语言）是人类最重要的交际工具。它同思维有密切的联系，是思维的工具，是思想的直接现实，是人区别于其他动物的本质特征之一。任何一门学科都是建立在自然语言的基础之上的。我们的自然语言之中也包括了一部分非形式的数学语言，如“圆”“数”“加”“0”“1”“等于”“小于”“元素”“无限”等等，有的可以直接运用于我们的现实生活中，在自然语言中也包含了如何运用这些术语的规则。譬如，儿童在没有学习数学中有关概念时，他就可能知道：“天上有1个太阳”“太阳和月亮都是圆的”……其中“1”“圆”都是属于数学语言的范畴。通过运用这些术语，即可将世界上的事物和对象进行分类和量化。然而，在解释这些非形式的数学术语时，利用的是自然语言的语义。自然语言的规则和约定确定了这些术语间的内在关系，如“1小于2”以及“无限集合含有两个以上的元素”等。如果没有自然语言中对“1”“小于”“2”“无限”“集合”“元素”等词的解释和规定，就无法理解以上两句话。
这些非形式的数学语言为数学思维提供了必要的概念框架和理论基础，为数学的发展提供了可能。在其基础上又发展了数学特有的形式语言（如微积分、矩阵、向量等），从而构建起整个数学知识的蓝图。相应地，学生在学习数学语言时，也是按照这个程序，以自然语言中的这些非形式的数学语言为基础，逐渐建立起自己独特的数学语言。根据语言学的研究可以知道，自然语言具有符号性和社会性两大特点。但是常常又会有“数学语言叫作符号语言”这一说法。[1]这两处所指的“符号”看似相同，其实含义并不相同。自然语言中提到的符号是广义上的符号，包括字和词：由音和义结合成最小的单位语素（字），由语素生成词，词是语言运用最基本的单位。而数学中的符号仅仅指数字、字母、运算符号或关系符号。数学符号很少能够进行组合，一般只有一个含义;而语言符号则不同，可以是多义的并进行相同组合。将这两者区别，对于理解数学中不同的语言划分是大有裨益的。例如，可将数学语言按其外表特征划分为文字语言、符号语言、图形语言及图表语言等等。这里就将文字符号与数学符号这两种符号区别开来了。
从自然语言与数学语言的关系可以看出，在自然语言中包含着部分数学语言，但是两者又有不同之处。自然语言与数学语言有一个共同的子集——部分非形式的数学语言。在人们为了准确、清晰和简便地表述数学理论的需要下，数学语言产生和发展了。它是在以下三个方面对自然语言改进的结果：防止烦琐，克服同音现象（一词多义），扩充词能达意的可能性。狭义地说，数学语言是数学知识的载体，是进行数学思考和交流的工具，是数学思想的表现形式，是数学思维的最佳载体。
二、数学语言的概念、特点及重要发展阶段
数学语言是随着数学学科的诞生而产生的。数学知识体系是用数学语言表达的。对于数学语言这一概念，目前并没有统一定义。有学者认为，数学语言是表达数学对象之间的关系和形式的符号系统。有的学者认为，数学语言，狭义地说是指数学符号语言;广义地说，一切用以反映数量关系和空间形式的语言都是数学语言，包括借用的部分自然语言（含口头的、文字的日常用语）、符号语言和图像语言。 有的学者认为，数学语言就是简化自然语言，抽象出来的体现数学思维特点的特殊语言。[2]尽管这些定义各有侧重，但都在一定程度上反映了数学语言的实质是描述数学这一知识体系的。它是建立在数学这门学科的基础之上的。数学语言并不等于简化了的自然语言，而是自然语言的一种衍生物。数学语言是一种人工语言，或符号语言、形式語言，它的符号、规则，都是人工加以规定的，是先有规则，后有语句的。[3]例如，数理逻辑中的命题演算是一个形式系统，它先规定初始符号和形式规则，然后引出一系列命题。它是在自然语言的基础之上建立起来的一种人工语言。数学语言主要有以下几个特点：简洁性、精确性、抽象性和严谨性。
1.简洁性。简洁和精炼是数学语言显著特点之一，人们总是试图用较少的词汇来刻画所描述的数学对象。例如7个12相乘，我们固然可以写成12×12×12×12×12×12×12，但是熟练运用数学语言的人会将其写成127，这种表达方法就简洁得多，而且明白无误。简洁、精炼的数学语言有利于我们对数学事实进行归纳和概括，有利于我们进行逻辑推理。它不仅是普通语言无法替代的，而且构成了科学语言的基础。越来越多的学科用数学语言表述自己，这不仅是因为数学语言的简洁，而且是因为数学语言的精炼及其思想的普遍性与深刻性。
2.精确性。自然语言的语音、词汇和语法都会随着语言环境的不同而有多种解释。在数学语言中，每一个符号，每一个由符号组成的式子，每一个概念和命题都只有一个意思。虽然它们的表达方式有可能不同，但其含义是一致的，没有任何歧义。比如，点和直线的位置关系“点在直线l上”，可以说成“点A在直线l上”“点A属于l”“直线l过点A”等等。它们都可以表示为图1，仅仅表示了点A与直线l的一种位置关系，而没有其他含义。精确的数学语言无疑是思维得以顺利进行的前提条件。语言是思维的“外壳”，思维是语言的“内涵”，两者相依相存。从这一角度来看，数学语言的精确性体现了数学思维的周密性。
3.抽象性。数学的对象是量与空间形式，而量与空间形式本身就不是具体的某个事物，是事物的数量与空间关系的抽象。数学发展到一定阶段时，用形式化语言来表达这一对象，使其成为形式化、逻辑化的思维材料。反过来，这种抽象的语言使得数学抽象——舍弃了具体对象及现实关系中的特殊内容，而单单保留它们“纯粹”的数量关系和结构关系。数学的抽象性体现在概念的抽象性，数学语言的抽象性，解决问题方法的抽象性等诸多方面。也正是由于数学语言有抽象性这个特点，使它具有通用性，从而成为其他学科的通用语言。 4.严谨性。数学语言具有严谨性，主要体现在它具有严谨的逻辑结构。无论用数学语言来描述数学概念、数学命题，还是用数学语言描述数学推理或数学问题，无不具有严谨的逻辑结构。这是数学这门基础学科严谨性的保证，也是人们进行严谨的逻辑推理、论证的保证。反之，正是数学这门学科的特点，要求数学语言具有严谨的逻辑结构。如关于极限的定义，极限的思想可追溯到古代，但直到牛顿时代，人们还没有建立严格的极限定义。那时牛顿所运用的极限概念还只是直观性的语言描述。以数列为例，关于数列{an}，如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说{an}以A为极限。
人们很容易理解这种描述性语言，但它没有定量给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础，正因为当时缺少严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑和攻击。直到柯西与魏尔斯特拉斯建立了严格的极限定义，才定量、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系，至今仍可使用。
数学语言发展的重要阶段主要有：①建立自然数和分数的符号体系，特别是引入进位计数制和0这个特殊记号。由此人类可以简便地写出算术运算的算法。②代数符号的发展，用代数符号可以明显地表示出代数变形与解方程的法则。③与微积分学的产生有关的符号语言的发展。（用f’（x）与表示导数，用表示积分等等）④集合论与逻辑语言在现代数学中的普遍使用。⑤电子计算机的出现大大影响了数学语言的发展——数学语言应该便于在计算机中输入。
“数学的历史在一定意义上就可说是概念发展与演变的历史”，而概念又是与语言分不开的。从以上几个阶段可以看出，语言的发展尤其是符号的发展对数学这门学科的发展起到了不可估量的推动作用。莱布尼兹曾经写道：“记号是为了便于发现，它多半是在记号简洁地表示并能反映事物的內在本质的时候，这时思维活动以惊人的方式得到简化”。正是由于思维方式的简化，人们才有可能进一步深化数学思想与方法。事实上，按照不少数学教育学家的意见，对于某些数学语言的掌握就可被看成数学水平提高的一个主要标志。例如，对代数语言的掌握就标志着由小学数学水平到中学数学水平的过渡;对极限语言（ε-δ语言）的掌握则标志着由初等数学水平上升到了变量数学的水平。
三、数学语言与数学思维的联系
学习数学时，无论是听课、回答问题、讨论、阅读数学书籍，还是解决问题，都是以数学语言作为中介的，数学语言是数学内容和数学方法的载体。许多学生因为运用数学语言的能力较差，造成了阅读、理解、思维和表达上的障碍，导致了数学学习上的困难。马克思认为，语言是思维本身的要素……是思想的直接现实。数学语言同样与数学思维有着密切的联系，它不仅是数学思维的工具和载体，还可以促进、深化数学思维;反之，数学思维又可以创造数学语言。数学思维的特性之一是具有独特的形式化的符号语言。这种形式化的符号语言正是数学语言的特征之一。正是由于数学语言的严谨性和简洁性保证了数学思维的简洁性，数学家们才可以更加方便、流畅地表达和研究数学思想和数学方法，认识数学世界的奥秘，并把数学成果应用于人类各种实际问题。
国际教育署和国际教育学会联合出版的教育实践系列丛书中的《有效的数学教学》提出了数学有效教学的十条标准之一是数学语言，认为教师应该把数学语言和日常语言联系起来，通过直接讲解或示范的方式帮助学生学习数学语言，培养学生理解和使用数学语言，能够区别数学语言和日常语言中的不同含义。无疑，这也是我们目前数学教学和学习中需要做到的。
参考文献：
[1] 孙维张，刘富华.语言学概论[M].长春：吉林大学出版社，1991.
[2] 张乃达.数学思维教育学[M].南京：江苏教育出版社，1990.
[3] 郑毓信.数学方法论[M].桂林：广西教育出版社，1999.
责任编辑：许洁
Perceiving the Language Culture in Mathematics
ZHAO Wen-jing
（Jiangsu Phoenix Education Press， Nanjing 210009， Jiangsu Province）
Abstract： This paper describes the connection and differences between mathematical language and natural language， expounds the concepts， characteristics and development stages， and discusses the connection between mathematical language and mathematical thinking.
Key words： mathematical language; mathematical thinking
关键词：数学语言;数学思维
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1673-9094-（2018）11C-0016-03
一、自然语言与数学语言的联系与区别
自然语言（以下简称语言）是人类最重要的交际工具。它同思维有密切的联系，是思维的工具，是思想的直接现实，是人区别于其他动物的本质特征之一。任何一门学科都是建立在自然语言的基础之上的。我们的自然语言之中也包括了一部分非形式的数学语言，如“圆”“数”“加”“0”“1”“等于”“小于”“元素”“无限”等等，有的可以直接运用于我们的现实生活中，在自然语言中也包含了如何运用这些术语的规则。譬如，儿童在没有学习数学中有关概念时，他就可能知道：“天上有1个太阳”“太阳和月亮都是圆的”……其中“1”“圆”都是属于数学语言的范畴。通过运用这些术语，即可将世界上的事物和对象进行分类和量化。然而，在解释这些非形式的数学术语时，利用的是自然语言的语义。自然语言的规则和约定确定了这些术语间的内在关系，如“1小于2”以及“无限集合含有两个以上的元素”等。如果没有自然语言中对“1”“小于”“2”“无限”“集合”“元素”等词的解释和规定，就无法理解以上两句话。
这些非形式的数学语言为数学思维提供了必要的概念框架和理论基础，为数学的发展提供了可能。在其基础上又发展了数学特有的形式语言（如微积分、矩阵、向量等），从而构建起整个数学知识的蓝图。相应地，学生在学习数学语言时，也是按照这个程序，以自然语言中的这些非形式的数学语言为基础，逐渐建立起自己独特的数学语言。根据语言学的研究可以知道，自然语言具有符号性和社会性两大特点。但是常常又会有“数学语言叫作符号语言”这一说法。[1]这两处所指的“符号”看似相同，其实含义并不相同。自然语言中提到的符号是广义上的符号，包括字和词：由音和义结合成最小的单位语素（字），由语素生成词，词是语言运用最基本的单位。而数学中的符号仅仅指数字、字母、运算符号或关系符号。数学符号很少能够进行组合，一般只有一个含义;而语言符号则不同，可以是多义的并进行相同组合。将这两者区别，对于理解数学中不同的语言划分是大有裨益的。例如，可将数学语言按其外表特征划分为文字语言、符号语言、图形语言及图表语言等等。这里就将文字符号与数学符号这两种符号区别开来了。
从自然语言与数学语言的关系可以看出，在自然语言中包含着部分数学语言，但是两者又有不同之处。自然语言与数学语言有一个共同的子集——部分非形式的数学语言。在人们为了准确、清晰和简便地表述数学理论的需要下，数学语言产生和发展了。它是在以下三个方面对自然语言改进的结果：防止烦琐，克服同音现象（一词多义），扩充词能达意的可能性。狭义地说，数学语言是数学知识的载体，是进行数学思考和交流的工具，是数学思想的表现形式，是数学思维的最佳载体。
二、数学语言的概念、特点及重要发展阶段
数学语言是随着数学学科的诞生而产生的。数学知识体系是用数学语言表达的。对于数学语言这一概念，目前并没有统一定义。有学者认为，数学语言是表达数学对象之间的关系和形式的符号系统。有的学者认为，数学语言，狭义地说是指数学符号语言;广义地说，一切用以反映数量关系和空间形式的语言都是数学语言，包括借用的部分自然语言（含口头的、文字的日常用语）、符号语言和图像语言。 有的学者认为，数学语言就是简化自然语言，抽象出来的体现数学思维特点的特殊语言。[2]尽管这些定义各有侧重，但都在一定程度上反映了数学语言的实质是描述数学这一知识体系的。它是建立在数学这门学科的基础之上的。数学语言并不等于简化了的自然语言，而是自然语言的一种衍生物。数学语言是一种人工语言，或符号语言、形式語言，它的符号、规则，都是人工加以规定的，是先有规则，后有语句的。[3]例如，数理逻辑中的命题演算是一个形式系统，它先规定初始符号和形式规则，然后引出一系列命题。它是在自然语言的基础之上建立起来的一种人工语言。数学语言主要有以下几个特点：简洁性、精确性、抽象性和严谨性。
1.简洁性。简洁和精炼是数学语言显著特点之一，人们总是试图用较少的词汇来刻画所描述的数学对象。例如7个12相乘，我们固然可以写成12×12×12×12×12×12×12，但是熟练运用数学语言的人会将其写成127，这种表达方法就简洁得多，而且明白无误。简洁、精炼的数学语言有利于我们对数学事实进行归纳和概括，有利于我们进行逻辑推理。它不仅是普通语言无法替代的，而且构成了科学语言的基础。越来越多的学科用数学语言表述自己，这不仅是因为数学语言的简洁，而且是因为数学语言的精炼及其思想的普遍性与深刻性。
2.精确性。自然语言的语音、词汇和语法都会随着语言环境的不同而有多种解释。在数学语言中，每一个符号，每一个由符号组成的式子，每一个概念和命题都只有一个意思。虽然它们的表达方式有可能不同，但其含义是一致的，没有任何歧义。比如，点和直线的位置关系“点在直线l上”，可以说成“点A在直线l上”“点A属于l”“直线l过点A”等等。它们都可以表示为图1，仅仅表示了点A与直线l的一种位置关系，而没有其他含义。精确的数学语言无疑是思维得以顺利进行的前提条件。语言是思维的“外壳”，思维是语言的“内涵”，两者相依相存。从这一角度来看，数学语言的精确性体现了数学思维的周密性。
3.抽象性。数学的对象是量与空间形式，而量与空间形式本身就不是具体的某个事物，是事物的数量与空间关系的抽象。数学发展到一定阶段时，用形式化语言来表达这一对象，使其成为形式化、逻辑化的思维材料。反过来，这种抽象的语言使得数学抽象——舍弃了具体对象及现实关系中的特殊内容，而单单保留它们“纯粹”的数量关系和结构关系。数学的抽象性体现在概念的抽象性，数学语言的抽象性，解决问题方法的抽象性等诸多方面。也正是由于数学语言有抽象性这个特点，使它具有通用性，从而成为其他学科的通用语言。 4.严谨性。数学语言具有严谨性，主要体现在它具有严谨的逻辑结构。无论用数学语言来描述数学概念、数学命题，还是用数学语言描述数学推理或数学问题，无不具有严谨的逻辑结构。这是数学这门基础学科严谨性的保证，也是人们进行严谨的逻辑推理、论证的保证。反之，正是数学这门学科的特点，要求数学语言具有严谨的逻辑结构。如关于极限的定义，极限的思想可追溯到古代，但直到牛顿时代，人们还没有建立严格的极限定义。那时牛顿所运用的极限概念还只是直观性的语言描述。以数列为例，关于数列{an}，如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说{an}以A为极限。
人们很容易理解这种描述性语言，但它没有定量给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础，正因为当时缺少严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑和攻击。直到柯西与魏尔斯特拉斯建立了严格的极限定义，才定量、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系，至今仍可使用。
数学语言发展的重要阶段主要有：①建立自然数和分数的符号体系，特别是引入进位计数制和0这个特殊记号。由此人类可以简便地写出算术运算的算法。②代数符号的发展，用代数符号可以明显地表示出代数变形与解方程的法则。③与微积分学的产生有关的符号语言的发展。（用f’（x）与表示导数，用表示积分等等）④集合论与逻辑语言在现代数学中的普遍使用。⑤电子计算机的出现大大影响了数学语言的发展——数学语言应该便于在计算机中输入。
“数学的历史在一定意义上就可说是概念发展与演变的历史”，而概念又是与语言分不开的。从以上几个阶段可以看出，语言的发展尤其是符号的发展对数学这门学科的发展起到了不可估量的推动作用。莱布尼兹曾经写道：“记号是为了便于发现，它多半是在记号简洁地表示并能反映事物的內在本质的时候，这时思维活动以惊人的方式得到简化”。正是由于思维方式的简化，人们才有可能进一步深化数学思想与方法。事实上，按照不少数学教育学家的意见，对于某些数学语言的掌握就可被看成数学水平提高的一个主要标志。例如，对代数语言的掌握就标志着由小学数学水平到中学数学水平的过渡;对极限语言（ε-δ语言）的掌握则标志着由初等数学水平上升到了变量数学的水平。
三、数学语言与数学思维的联系
学习数学时，无论是听课、回答问题、讨论、阅读数学书籍，还是解决问题，都是以数学语言作为中介的，数学语言是数学内容和数学方法的载体。许多学生因为运用数学语言的能力较差，造成了阅读、理解、思维和表达上的障碍，导致了数学学习上的困难。马克思认为，语言是思维本身的要素……是思想的直接现实。数学语言同样与数学思维有着密切的联系，它不仅是数学思维的工具和载体，还可以促进、深化数学思维;反之，数学思维又可以创造数学语言。数学思维的特性之一是具有独特的形式化的符号语言。这种形式化的符号语言正是数学语言的特征之一。正是由于数学语言的严谨性和简洁性保证了数学思维的简洁性，数学家们才可以更加方便、流畅地表达和研究数学思想和数学方法，认识数学世界的奥秘，并把数学成果应用于人类各种实际问题。
国际教育署和国际教育学会联合出版的教育实践系列丛书中的《有效的数学教学》提出了数学有效教学的十条标准之一是数学语言，认为教师应该把数学语言和日常语言联系起来，通过直接讲解或示范的方式帮助学生学习数学语言，培养学生理解和使用数学语言，能够区别数学语言和日常语言中的不同含义。无疑，这也是我们目前数学教学和学习中需要做到的。
参考文献：
[1] 孙维张，刘富华.语言学概论[M].长春：吉林大学出版社，1991.
[2] 张乃达.数学思维教育学[M].南京：江苏教育出版社，1990.
[3] 郑毓信.数学方法论[M].桂林：广西教育出版社，1999.
责任编辑：许洁
Perceiving the Language Culture in Mathematics
ZHAO Wen-jing
（Jiangsu Phoenix Education Press， Nanjing 210009， Jiangsu Province）
Abstract： This paper describes the connection and differences between mathematical language and natural language， expounds the concepts， characteristics and development stages， and discusses the connection between mathematical language and mathematical thinking.
Key words： mathematical language; mathematical thinking