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发展思维能力是培养能力的核心，而思维能力主要是指：观察、试验比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；归纳，演绎和类比进行推理；合乎逻辑地准确地阐述自己的思想和观点；运用数学概念原理，思想和方法辨明数学关系.开放性问题是培养学生思维能力的一种有效的方法.开放性问题对培养探索精神，创新意识更为有效，并且可以有效检测与区分考生的数学素质和学习潜力，本文以开放题的由来特征、作用、出题原则、意义入手，总结了开放题的类型与解题思路，由点到面的介绍了开放题常见类型的解题方法.
数学开放题，又叫数学开放型题，或数学开放性题，学术界还没有统一的意义.从查阅的文献资料看，大致有以下三类：
1.答案不确定的数学问题称为开放题代表题，代表性的观点有：
（1）有几种正确答案的大都常有可能条件的问题，成为未完结的问题，开放问题……目的在于使之思索得出几种正确答案的方法和处理方法的能力和态度.
（2）答案不唯一的问题称为开放题，开放题的一个显著特征：答案多样性
2.条件不完全，结论不确定的数学问题称为开放题
代表性观点有：
（1）开放题是指题目的条件不完备或结论不明确，从而蕴含着多种可能性，要求解题者自行推断.
（2）数学开放题是相对于传统中条件完备结论确定的封闭题而言的，是指那些条件不完备，结论不确定的数学问题.
（3）数学开放题是指条件开放（条件在不断变化）
，
结论开放（多结论或无结论），策略开放可以采用多种方法和途径解决的问题（范黎明）
综上所述我认为：开放题是相对于明确条件和结论的封闭性问题而言的.
数学开放题应该是指条件开放（条件未知、条件不足、条件多余、条件有误等），结论开放（未结出结论、无结论、多结论），策略开放（可以采用多种方法和途径去解决）的问题.
从以上的种种论述可看出数学开放题有三个明显特征：一是条件开放，即开放题的条件不足，需要进行探索和补充，或是多的，需要进行多种选择；二是结论开放，即开放题没有明确的结论，或者有太多的结论；三是形式新颖，解法多渠道，多角度，多变换，有多种多样的解题策略.其中第一、第二是开放题的基本特征.至于第三条，既然条件和结论是开放的，那么必将有多种多样的解题策略，再者，有的封闭题也有多种解题策略，所以不能做为开放题的基本特征.因此开放题的含义应该是条件开放结论开放，策略开放的问题.这样的问题称数学开放题.
开放性问题有利于学生形成良好的思维品质和培养创造性地分析问题，解决问题的能力，其作用主要表现为以下几个方面：
①有利于培养学生观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理才能，有利于引发学生的求知欲和探求精神，增强进取心和自信心.
②这类问题的知识覆盖面广，综合性强，涉及较多的教学方法，如，反证法、特例法、数形结合法、命题转换法、分类法等.能充分拓宽学生的思维，培养学生思维的敏锐性、推理的严密性、联想的丰富性，以及用“已知”去探索”未知”的开拓性.
③有些开放性问题，它以其他学科为背景，有利于开放学科的联系，进而培养多学科综合思维模式，有利于高考选拔具有创新能力和创新意识的人才.
（1）开放性与封闭性相结合的原则（并非所有数学题越开放越好，开发与封闭相辅相成）
（2）宏观分析与微观把握相结合的原则（宏观的数学思想与微观的数学基础知识的辩证统一原则）
（3）数学习题的层次性原则，由于学生年龄特点，认知水平的阶段性，因此数学题必须符合学生心理特点，反映出梯度层次，做到既能面向大多数学生，又能有利于发展数学优生的特长.
开放性问题的意义有以下几种情况.
（1）给出条件，没有给出明确的结论，或者结论不确定，需要解题者探索结论，并加以证明，从而增强解题的探索能力.
例如，要把一张面值1元的人民币换成零钱，现有足够多的面值5角，2角，1角的人民币，请设计兑换方法.
（2）给出了结论，没有给出条件或条件不完备，需解题者分析出具体的条件，并加以证明或计算.从而增强解题者分析综合能力.
例如，有一块长方形的空地，长50米，宽30米，现在要在这块地上选建一个花园，使种草部分的面积占这块空地面积的三分之二，问该怎样设计花园的建造方案？
（3）改变已知问题条件，探讨结论相应地发生什么变化，或者改变已知问题的结论，操作条件相应地发生什么变化，进而增强解题者变化的思路.
例如，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD的中点，延长BE交AC于F点，求：AF与FC的关系.
引申1：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD的点，延长BE交AC于F点，若AE∶ED=m∶n，求AF∶FC的值.
引申2：在△ABC中，D为BC上的点，E为AD的点，延长BE交AC于F点，且BD∶CD=a∶b，AE∶ED=m∶n，求求AF∶FC的值.
（4）从实际问题出发，给出一些数据，经过对数据的分析，建立数学模型，从而解决问题，增强建模能力.
例如，比较下面算式的结果的大小：（在横线上先填“>”，“<”，“=” ）
42+32 2×4×3；
（-2）2+12 2×（-2）×1；
22+22 2×2×2
通过观察，归纳，写出能反映这种规律的一段结论并加以证明.
以上说明开发题的由来、含义特征、作用、出题原则和意义，开放题作为一种新题型，首先就应辨别其特征、作用，从而理解其意义，以便解决此类问题.
一、数学开放题的类型及思维对策 （一）数学开放题的类型
对开放题进行分类，有助于对其加深研究，学者们根据不同的标准，将开放题划分出不同的类型：
1. 依据开放题的解题目的，将开放题分为
（1）发现关系和法则的问题.
（2）分类的问题.
（3）数值化的问题.
2.依据命题要素，将开放题分为
（1）条件开放题型：一个数学开放题，若其未知的要素是设，则为条件开放题型.
（2）策略开放题型： 一个数学开放题，若其未知的要素是推理.则为策略开放题型.
（3）结论开放题型：一个数学开放题，若其未知的要素是判断，则为结论开放题.
（4）综合开放题型：有的问题只给出一定的情境，其条件，解题策略与结论都要求在情境中自行设定与寻找，这类题目为综合开放题.
3.依据数学开放题的开放度，将开放题划分为弱开放题、中开放题和强开放题.钱从新认为，答案情况只有两种为弱开放题.答案情况有多种，但总数是确定的开放题为中开放题.答案情况总数不确定的开放题为强开放题.龚雷对开放题的分类进行了研究，依据不同的标准，将开放题分为不同的类型.
按命题要素的发散倾向分为条件开放型、策略开放型、结论开放型、综合开放型；按解题目标的操作模式分为规律探索型、量化设计型、分类讨论型、构造对象型、数学建模型、问题探究型、情景研究型；按学习过程的价值分为知识巩固型、信息适移型、知识发生型；按问题答案的结构类型分为有限可列型、有限混沌型、无限离散型、无限连续型.
（二）数学开放题的思维对策
可以看出，由于所依据的标准不同，数学开放题的类型也就不同，就以下几种类型对开放题进行分析.
处理开放题的思维不同于处理封闭题的思维，要求解题者要有创新的精神，观察的能力和逻辑的严密性，具体说，常用的思维对策有：
1.寻求矛盾策略
凡涉及“是否存在”等一类的未下结论的开放题，我们总是先假设结论中相对的一方面成立，进而演绎推理.若出现矛盾，即否定了先前的假设，从而得出另一方面的结论.这种寻求矛盾或反例的策略，实际是证明题的某项必要条件不能达到.
图1
问题1：在证两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行时，（a∥c，b∥c则a∥b），我们可以先假设a与 b不平行，即a与b相交，交于O点.那么经过O有两条直线a、b都与c平行，这与平行公理相矛盾，所以假设不成立即a与b不相交所以a∥b.
2.主要条件推导的策略
把存在性命题当作解题来做，利用充要条件进行推理，将满足条件的数学对象求出来，好处是：推导过程本身就是验证过程.
问题2：已知关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m.
（1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c=0时，m≧4是否成立？并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a，m≧4总成立，求实数c及m的值.
解：当a=1，c=-3时原方程为x2+2x-3=0.
解得x1=1，x2=-3.
所以m=[1-（-3）]2=16>4即m≧4成立.
当a=2，c=0时原方程为2x2+4x=0.
x1+x2=-2， x1x2=0
所以m =（ x1-x2）2=（ x1+x2）2-4x1x2=4-0=4.
即m≧4成立.
（2）依题意，设原方程的两个实数根为x1，x2
则x1+x2=-2，x1x2=ca.
可得（x1-x2）2=4-4·ca
因为对于任意一个非零实数a都有4-4ca≧4，所以c=0.
而当c=0，时，Δ=4a2﹥0，
所以c=0，m=4.
3.特例探路的策略
有些开放题有条件而无结论或虽有结论而结论的正确与否需要确定，解决这类问题我们常常先研究特例或简单结果发现目标，结出证明.
问题3：
解方程组 x+y=z，
xy=z2.
解：根据根与系数的关系，可把看成一个一元二次方程的两根，设这个方程为k2-zk+z2=0.
（1）若Δ=z2-4z2<0，则方程组无解：
（2）若要方程组有解，则Δ=z2-4z2≥0.
即z2≤0，
所以z=0.
所以故z=0时x=y=0.
4.数形结合的策略
有些开放题，当以纯粹的数的形式出现时常常显得复杂与抽象，其结论的探求也比较困难.当其转化成形的问题，结论就明显得多了，有时也有相反的情况.
问题4：在劳技课上，老师请同学们在一张长为17 cm宽为16 cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为10 cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上），请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积.
通过画图求面积，自然也就想到图形的多种形式，从而把几种可能情况一一求出来.
5.划分与讨论的策略
在隐藏着的结论里，情况比较复杂，必须进行分类辨析方得出完美的结论.这类开放题常常含有待讨论的参数，实际上是将一个复杂问题分解为
难度分散的
若干问题，各个击破的机动的策略.
问题5：已知△ABC的两边AB、AC的长是一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5，问k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长. 分析：此题只要先求出k，就可以AB，AC，进而求出周长.
解：方程可化为
（x-k-1）（x-k-2）=0.
x1=k+1，x2= k+2.
设AB=k+1，AC=k+2，
显然AB≠AC.
要使△ABC是等腰三角形，则AB=BC，或AC=BC.
（1）若AB=BC，则k+1=5，所以k=4.
此时AC= k+2=6.
C△ABC=5+5+6=16.
（2）（1）若AC=BC，则k+2=5，所以=3
AB= k+1=4，
C△ABC=5+5+4=14.
总之，开放题的思维对象不应建立在概念定义、定理、例题、练习的知识框架中，要创造性地分析问题，解决问题.
二、开放题常见类型的解题方法
数学开放题的基本特征是题目的条件不完备或结论不确定（或多结论）.
数学命题可分为“假设-推理-判断”三部分，若未知的要素是判断，则称为结论开放题；若未知的要素是推理，则称为策略开放题；若只给出一定的情境，其条件，解题策略和结论要求解题者在情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题.
（一）结论开放题
这种类型的问题是在给定条件下探索结论的多样性，主要考察学生的发散思维和创造思维.以及所学基本知识分析解决问题的应用能力，这类问题常以两类重要的探索形式存在.
1.“归纳猜想型”问题
本节得出的探索性问题 ，常称为归纳猜想型问题，解答这类问题的一般思维是从所给条件出发，通过观察、分析、归纳、猜想出结论，然后对所猜想的结论加以证明.探索过程可以概括为归纳-猜想-证明.
问题6：在△ABC中，AD是中线，O是AD的中点，直线L过O点，过A、B、C三点分别作直线L的垂线，垂足分别是G、E、F.如图1（1），当直线L饶O旋转到与AD垂直时，
易证：BE+CF=2AG.
当直线L饶O旋转到与AD不垂直时，在图1（2）、图1（3）两种情况下，线段BE、CF、AC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对图1（3）的猜想给予证明.
分析：此类题主要是先弄清图1（1）结论得出过程，图1（2）、图1（3）的思路基
本类似.
图1（2）结论：BF+CF=2AG，
图1（3）结论：BE-CF=2AG.
图1
2.“存在猜想型”问题
对于结论不确定的探索性问题，称之为存在猜想型问题，此类问题在中考占重要比例，特别是在几何中.这类问题当出现“是否存在”“是否有”的问句.以示结论有待判断，解答这类代数问题的一般思路是假定结论是肯定的，再进行演绎推理，若论证出矛盾，即可否定假设，若推出合理结果，即假设成立，探索过程可概括为“假设-推证-定论”.
图2
问题7：已知如图2，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C的坐标为（0，6），AB=15，∠CBA>∠CAB，且tan∠CAB、tan∠CBA是关于x的方程x2+mx+n=0的两根.
（1）若∠ACB的角平分线交x轴于D，求直线CD的解析式.
（2）在（1）的条件下，直线CD上是否存在点M，过M点作BC的平行线，交x轴于N，使M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）如图，过D点作DE⊥AC，垂足为E，
所以AE=2DE=2EC，
因为DE∥BC， 所以DBAB=CEAC=13
所以DB=5，OD=2.
所以D点坐标为（-2，0）.
设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，6），D（-2，0）代入得k=3，b=6，
所以y=3x+6.
（2）存在，M1（3，5），M2（-3，-3）
策略开放题：解题方法多种多渠道.
如，巧用质数：质数是只能被1和它本身整除的数，利用这一特征，把一个质数解为“1”乘以它本身，从而解决问题.
问题7：已知x，y都是整数，且4x2-9y2=31，求x，y的值.
解：4x2-9y2=31，（2x+3y）（2x-3y）=31
所以2x+3y=31
2x-3y=1
解得x=8
y=5
.
（二）条件开放
在给定结论的情况下，探求条件的添加，这类题主要考察知识运用的灵活.
图3
例如，如图3，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件（ ），
使四边形AECF是平行四边形.
教育的基本作用，在于人人享有他们为充分发挥自己的才能和尽可能牢牢掌握自己的命运而需要的思想、判断、感情和想象方面的自由站，而数学教育不仅要让学生学会继续深造所必需的数学基本知识，基本方法，基本技能，也要给学生留下一个开放的空间，为学生设置研究性课题，搭建思维的平台，让学生在思维碰撞的过程中完善思维、提高能力.更重要的是让学生学会用数学的眼光看待世界，用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决现实生活中的问题.
开放题是一种新型问题，开放性数学教学是一种新的教学趋势，要解决此类问题就要掌握它的思维对策和解体方法、技巧.开放性问题有趣味性、有发展性、有层次性、所以它将在各学科上有更大发展，更广泛的应用.
数学开放题，又叫数学开放型题，或数学开放性题，学术界还没有统一的意义.从查阅的文献资料看，大致有以下三类：
1.答案不确定的数学问题称为开放题代表题，代表性的观点有：
（1）有几种正确答案的大都常有可能条件的问题，成为未完结的问题，开放问题……目的在于使之思索得出几种正确答案的方法和处理方法的能力和态度.
（2）答案不唯一的问题称为开放题，开放题的一个显著特征：答案多样性
2.条件不完全，结论不确定的数学问题称为开放题
代表性观点有：
（1）开放题是指题目的条件不完备或结论不明确，从而蕴含着多种可能性，要求解题者自行推断.
（2）数学开放题是相对于传统中条件完备结论确定的封闭题而言的，是指那些条件不完备，结论不确定的数学问题.
（3）数学开放题是指条件开放（条件在不断变化）
，
结论开放（多结论或无结论），策略开放可以采用多种方法和途径解决的问题（范黎明）
综上所述我认为：开放题是相对于明确条件和结论的封闭性问题而言的.
数学开放题应该是指条件开放（条件未知、条件不足、条件多余、条件有误等），结论开放（未结出结论、无结论、多结论），策略开放（可以采用多种方法和途径去解决）的问题.
从以上的种种论述可看出数学开放题有三个明显特征：一是条件开放，即开放题的条件不足，需要进行探索和补充，或是多的，需要进行多种选择；二是结论开放，即开放题没有明确的结论，或者有太多的结论；三是形式新颖，解法多渠道，多角度，多变换，有多种多样的解题策略.其中第一、第二是开放题的基本特征.至于第三条，既然条件和结论是开放的，那么必将有多种多样的解题策略，再者，有的封闭题也有多种解题策略，所以不能做为开放题的基本特征.因此开放题的含义应该是条件开放结论开放，策略开放的问题.这样的问题称数学开放题.
开放性问题有利于学生形成良好的思维品质和培养创造性地分析问题，解决问题的能力，其作用主要表现为以下几个方面：
①有利于培养学生观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理才能，有利于引发学生的求知欲和探求精神，增强进取心和自信心.
②这类问题的知识覆盖面广，综合性强，涉及较多的教学方法，如，反证法、特例法、数形结合法、命题转换法、分类法等.能充分拓宽学生的思维，培养学生思维的敏锐性、推理的严密性、联想的丰富性，以及用“已知”去探索”未知”的开拓性.
③有些开放性问题，它以其他学科为背景，有利于开放学科的联系，进而培养多学科综合思维模式，有利于高考选拔具有创新能力和创新意识的人才.
（1）开放性与封闭性相结合的原则（并非所有数学题越开放越好，开发与封闭相辅相成）
（2）宏观分析与微观把握相结合的原则（宏观的数学思想与微观的数学基础知识的辩证统一原则）
（3）数学习题的层次性原则，由于学生年龄特点，认知水平的阶段性，因此数学题必须符合学生心理特点，反映出梯度层次，做到既能面向大多数学生，又能有利于发展数学优生的特长.
开放性问题的意义有以下几种情况.
（1）给出条件，没有给出明确的结论，或者结论不确定，需要解题者探索结论，并加以证明，从而增强解题的探索能力.
例如，要把一张面值1元的人民币换成零钱，现有足够多的面值5角，2角，1角的人民币，请设计兑换方法.
（2）给出了结论，没有给出条件或条件不完备，需解题者分析出具体的条件，并加以证明或计算.从而增强解题者分析综合能力.
例如，有一块长方形的空地，长50米，宽30米，现在要在这块地上选建一个花园，使种草部分的面积占这块空地面积的三分之二，问该怎样设计花园的建造方案？
（3）改变已知问题条件，探讨结论相应地发生什么变化，或者改变已知问题的结论，操作条件相应地发生什么变化，进而增强解题者变化的思路.
例如，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD的中点，延长BE交AC于F点，求：AF与FC的关系.
引申1：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD的点，延长BE交AC于F点，若AE∶ED=m∶n，求AF∶FC的值.
引申2：在△ABC中，D为BC上的点，E为AD的点，延长BE交AC于F点，且BD∶CD=a∶b，AE∶ED=m∶n，求求AF∶FC的值.
（4）从实际问题出发，给出一些数据，经过对数据的分析，建立数学模型，从而解决问题，增强建模能力.
例如，比较下面算式的结果的大小：（在横线上先填“>”，“<”，“=” ）
42+32 2×4×3；
（-2）2+12 2×（-2）×1；
22+22 2×2×2
通过观察，归纳，写出能反映这种规律的一段结论并加以证明.
以上说明开发题的由来、含义特征、作用、出题原则和意义，开放题作为一种新题型，首先就应辨别其特征、作用，从而理解其意义，以便解决此类问题.
一、数学开放题的类型及思维对策 （一）数学开放题的类型
对开放题进行分类，有助于对其加深研究，学者们根据不同的标准，将开放题划分出不同的类型：
1. 依据开放题的解题目的，将开放题分为
（1）发现关系和法则的问题.
（2）分类的问题.
（3）数值化的问题.
2.依据命题要素，将开放题分为
（1）条件开放题型：一个数学开放题，若其未知的要素是设，则为条件开放题型.
（2）策略开放题型： 一个数学开放题，若其未知的要素是推理.则为策略开放题型.
（3）结论开放题型：一个数学开放题，若其未知的要素是判断，则为结论开放题.
（4）综合开放题型：有的问题只给出一定的情境，其条件，解题策略与结论都要求在情境中自行设定与寻找，这类题目为综合开放题.
3.依据数学开放题的开放度，将开放题划分为弱开放题、中开放题和强开放题.钱从新认为，答案情况只有两种为弱开放题.答案情况有多种，但总数是确定的开放题为中开放题.答案情况总数不确定的开放题为强开放题.龚雷对开放题的分类进行了研究，依据不同的标准，将开放题分为不同的类型.
按命题要素的发散倾向分为条件开放型、策略开放型、结论开放型、综合开放型；按解题目标的操作模式分为规律探索型、量化设计型、分类讨论型、构造对象型、数学建模型、问题探究型、情景研究型；按学习过程的价值分为知识巩固型、信息适移型、知识发生型；按问题答案的结构类型分为有限可列型、有限混沌型、无限离散型、无限连续型.
（二）数学开放题的思维对策
可以看出，由于所依据的标准不同，数学开放题的类型也就不同，就以下几种类型对开放题进行分析.
处理开放题的思维不同于处理封闭题的思维，要求解题者要有创新的精神，观察的能力和逻辑的严密性，具体说，常用的思维对策有：
1.寻求矛盾策略
凡涉及“是否存在”等一类的未下结论的开放题，我们总是先假设结论中相对的一方面成立，进而演绎推理.若出现矛盾，即否定了先前的假设，从而得出另一方面的结论.这种寻求矛盾或反例的策略，实际是证明题的某项必要条件不能达到.
图1
问题1：在证两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行时，（a∥c，b∥c则a∥b），我们可以先假设a与 b不平行，即a与b相交，交于O点.那么经过O有两条直线a、b都与c平行，这与平行公理相矛盾，所以假设不成立即a与b不相交所以a∥b.
2.主要条件推导的策略
把存在性命题当作解题来做，利用充要条件进行推理，将满足条件的数学对象求出来，好处是：推导过程本身就是验证过程.
问题2：已知关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m.
（1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c=0时，m≧4是否成立？并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a，m≧4总成立，求实数c及m的值.
解：当a=1，c=-3时原方程为x2+2x-3=0.
解得x1=1，x2=-3.
所以m=[1-（-3）]2=16>4即m≧4成立.
当a=2，c=0时原方程为2x2+4x=0.
x1+x2=-2， x1x2=0
所以m =（ x1-x2）2=（ x1+x2）2-4x1x2=4-0=4.
即m≧4成立.
（2）依题意，设原方程的两个实数根为x1，x2
则x1+x2=-2，x1x2=ca.
可得（x1-x2）2=4-4·ca
因为对于任意一个非零实数a都有4-4ca≧4，所以c=0.
而当c=0，时，Δ=4a2﹥0，
所以c=0，m=4.
3.特例探路的策略
有些开放题有条件而无结论或虽有结论而结论的正确与否需要确定，解决这类问题我们常常先研究特例或简单结果发现目标，结出证明.
问题3：
解方程组 x+y=z，
xy=z2.
解：根据根与系数的关系，可把看成一个一元二次方程的两根，设这个方程为k2-zk+z2=0.
（1）若Δ=z2-4z2<0，则方程组无解：
（2）若要方程组有解，则Δ=z2-4z2≥0.
即z2≤0，
所以z=0.
所以故z=0时x=y=0.
4.数形结合的策略
有些开放题，当以纯粹的数的形式出现时常常显得复杂与抽象，其结论的探求也比较困难.当其转化成形的问题，结论就明显得多了，有时也有相反的情况.
问题4：在劳技课上，老师请同学们在一张长为17 cm宽为16 cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为10 cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上），请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积.
通过画图求面积，自然也就想到图形的多种形式，从而把几种可能情况一一求出来.
5.划分与讨论的策略
在隐藏着的结论里，情况比较复杂，必须进行分类辨析方得出完美的结论.这类开放题常常含有待讨论的参数，实际上是将一个复杂问题分解为
难度分散的
若干问题，各个击破的机动的策略.
问题5：已知△ABC的两边AB、AC的长是一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5，问k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长. 分析：此题只要先求出k，就可以AB，AC，进而求出周长.
解：方程可化为
（x-k-1）（x-k-2）=0.
x1=k+1，x2= k+2.
设AB=k+1，AC=k+2，
显然AB≠AC.
要使△ABC是等腰三角形，则AB=BC，或AC=BC.
（1）若AB=BC，则k+1=5，所以k=4.
此时AC= k+2=6.
C△ABC=5+5+6=16.
（2）（1）若AC=BC，则k+2=5，所以=3
AB= k+1=4，
C△ABC=5+5+4=14.
总之，开放题的思维对象不应建立在概念定义、定理、例题、练习的知识框架中，要创造性地分析问题，解决问题.
二、开放题常见类型的解题方法
数学开放题的基本特征是题目的条件不完备或结论不确定（或多结论）.
数学命题可分为“假设-推理-判断”三部分，若未知的要素是判断，则称为结论开放题；若未知的要素是推理，则称为策略开放题；若只给出一定的情境，其条件，解题策略和结论要求解题者在情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题.
（一）结论开放题
这种类型的问题是在给定条件下探索结论的多样性，主要考察学生的发散思维和创造思维.以及所学基本知识分析解决问题的应用能力，这类问题常以两类重要的探索形式存在.
1.“归纳猜想型”问题
本节得出的探索性问题 ，常称为归纳猜想型问题，解答这类问题的一般思维是从所给条件出发，通过观察、分析、归纳、猜想出结论，然后对所猜想的结论加以证明.探索过程可以概括为归纳-猜想-证明.
问题6：在△ABC中，AD是中线，O是AD的中点，直线L过O点，过A、B、C三点分别作直线L的垂线，垂足分别是G、E、F.如图1（1），当直线L饶O旋转到与AD垂直时，
易证：BE+CF=2AG.
当直线L饶O旋转到与AD不垂直时，在图1（2）、图1（3）两种情况下，线段BE、CF、AC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对图1（3）的猜想给予证明.
分析：此类题主要是先弄清图1（1）结论得出过程，图1（2）、图1（3）的思路基
本类似.
图1（2）结论：BF+CF=2AG，
图1（3）结论：BE-CF=2AG.
图1
2.“存在猜想型”问题
对于结论不确定的探索性问题，称之为存在猜想型问题，此类问题在中考占重要比例，特别是在几何中.这类问题当出现“是否存在”“是否有”的问句.以示结论有待判断，解答这类代数问题的一般思路是假定结论是肯定的，再进行演绎推理，若论证出矛盾，即可否定假设，若推出合理结果，即假设成立，探索过程可概括为“假设-推证-定论”.
图2
问题7：已知如图2，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C的坐标为（0，6），AB=15，∠CBA>∠CAB，且tan∠CAB、tan∠CBA是关于x的方程x2+mx+n=0的两根.
（1）若∠ACB的角平分线交x轴于D，求直线CD的解析式.
（2）在（1）的条件下，直线CD上是否存在点M，过M点作BC的平行线，交x轴于N，使M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）如图，过D点作DE⊥AC，垂足为E，
所以AE=2DE=2EC，
因为DE∥BC， 所以DBAB=CEAC=13
所以DB=5，OD=2.
所以D点坐标为（-2，0）.
设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，6），D（-2，0）代入得k=3，b=6，
所以y=3x+6.
（2）存在，M1（3，5），M2（-3，-3）
策略开放题：解题方法多种多渠道.
如，巧用质数：质数是只能被1和它本身整除的数，利用这一特征，把一个质数解为“1”乘以它本身，从而解决问题.
问题7：已知x，y都是整数，且4x2-9y2=31，求x，y的值.
解：4x2-9y2=31，（2x+3y）（2x-3y）=31
所以2x+3y=31
2x-3y=1
解得x=8
y=5
.
（二）条件开放
在给定结论的情况下，探求条件的添加，这类题主要考察知识运用的灵活.
图3
例如，如图3，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件（ ），
使四边形AECF是平行四边形.
教育的基本作用，在于人人享有他们为充分发挥自己的才能和尽可能牢牢掌握自己的命运而需要的思想、判断、感情和想象方面的自由站，而数学教育不仅要让学生学会继续深造所必需的数学基本知识，基本方法，基本技能，也要给学生留下一个开放的空间，为学生设置研究性课题，搭建思维的平台，让学生在思维碰撞的过程中完善思维、提高能力.更重要的是让学生学会用数学的眼光看待世界，用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决现实生活中的问题.
开放题是一种新型问题，开放性数学教学是一种新的教学趋势，要解决此类问题就要掌握它的思维对策和解体方法、技巧.开放性问题有趣味性、有发展性、有层次性、所以它将在各学科上有更大发展，更广泛的应用.