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【摘要】求解抽象型函数问题的解题思想，常需将几种解题思想综合运用，“多管齐下”.对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，有时会收到事半功倍的效果.对抽象型函数问题的解题思想的探求，可以提高学生的解题能力，培养学生思维的灵活性，从而达到创新思维能力的培养.
【关键词】赋值；构造；分类讨论；类比联想；归纳猜想
1.合理赋值，构造方程
例1 是否存在函数f（x）同时满足下列三个条件：(1)f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy（x，y∈R）；(2)f（0）=a（a为常数）；(3)fπ2=b（b为常数）?若存在，求f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.
分析 条件(1)中x，y的任意性，隐含着x，y既可“换元”，又可“赋值”，结合条件(2)和(3)，可望构造出函数方程组，从而求得函数表达式.
令x=0，y=t，得f（t）+f（-t）=2acost.①
令x=π2+t，y=π2，得f（π+t）+f（t）=0.②
令x=π2，y=t+π2，得f（π+t）+f（-t）=-2bsint.③
将①+②-③，得f（x）=acost+bsint，故存在f（x）=acost+bsint符合题意.
2.挖掘隐含，分类讨论
例2 设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，问是否存在实数k，使不等式f（k+sin2x）≥f［（k-4）（sinx+cosx）］对任意x∈R恒成立？并说明理由.
分析 令sinx+cosx=t，则sin2x=t2-1，原不等式对一切x∈R恒成立，等价于不等式μ（t）=t2-（k-4）t+（k-1）≥0对任意t∈［-22,22］恒成立，下列分三种情况讨论：
（1）当Δ＜0时，μ（t）≥0，对t∈［-22,22］恒成立，由Δ=（k-4）2-4（k-1）=（k-2）（k-10）＜0，得2＜k＜10.
（2）当Δ=0时，k=2或k=10，此时抛物线t2-（k-4）t+（k-1）的顶点横坐标t=-1或t=3，μ（t）≥0对任意t∈［-22,22］恒成立.
（3）当Δ＞0时，μ（t）≥0对任意t∈［-22,22］恒成立的充要条件是：
Δ＞0，
k-42＜-22，
μ（-22）≥0.①
或Δ＞0，
k-42>22，
μ（22）≥0.②
解①②，得10＜k＜9+522，综合（1）（2）（3）得k的取值范围是［2，9+522］.
3.剖析特例，类比联想
例3 设函数f（x）定义在实数集上，对任意x，y∈R，都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且存在正数c，使fc2=0，试问：f（x）是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由.
分析 由于问题较抽象，不易发现f（x）是否为周期函数，更难找出它的一个周期.若特殊探路，降维思考，联想三角公式，不难发现函数f(x)=cosx满足题设条件，因为f（x）=cosx是周期为2π的函数，且cosπ2=0，故推测f（x）是以2c为周期的周期函数.事实上fx+c2+c2+fx+c2-c2=2fx+c2fc2=0，∴f（x+c）=-f（x），∴f（x+2c）=-f（x+c）=f（x）（x∈R）.
4.正难则反，逆推反正
例4 已知函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数，a，b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），求证：a+b≥0.
分析 欲证上述命题，正向推理，不易用上题设条件，转而逆思考.若a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，据单调性f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），从而f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）,这与已知矛盾，∴a+b＜0不成立，即a+b≥0.
5.恰用递推，归纳猜想
例5 是否存在这样的函数f（x），使下列三个条件：(1)f（x）＞0（n∈N）；(2)f（n1+n2）=f（n1）f（n2）（n1，n2∈N）；（3）f（2）=4同时成立？若存在，求出解析式；若不存在，说明理由.
分析 若存在，由条件(1)(2)(3)，得f（2）=f（1+1）=［f（1）］2=4，f（1）=2.又∵f（2）=4=22，∴f（3）=f（1）f（2）=23，f（4）=24，猜想f（x）=2x（x∈N），用数学归纳法不难证得此猜想正确.
【参考文献】
［1］贾士代，翟连林.高中数学巧妙解法400例.北京：北京教育出版社.
［2］张巨轮.抽象函数试题的类型与求解思路.中学数学，2000（11）.
［3］叶家振.抽象函数关系给出的对称性与周期性.中学数学，1996（6）.
［4］张坤元.求解含抽象函数不等式的几种技巧.中学数学，1995（4）.
【关键词】赋值；构造；分类讨论；类比联想；归纳猜想
1.合理赋值，构造方程
例1 是否存在函数f（x）同时满足下列三个条件：(1)f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy（x，y∈R）；(2)f（0）=a（a为常数）；(3)fπ2=b（b为常数）?若存在，求f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.
分析 条件(1)中x，y的任意性，隐含着x，y既可“换元”，又可“赋值”，结合条件(2)和(3)，可望构造出函数方程组，从而求得函数表达式.
令x=0，y=t，得f（t）+f（-t）=2acost.①
令x=π2+t，y=π2，得f（π+t）+f（t）=0.②
令x=π2，y=t+π2，得f（π+t）+f（-t）=-2bsint.③
将①+②-③，得f（x）=acost+bsint，故存在f（x）=acost+bsint符合题意.
2.挖掘隐含，分类讨论
例2 设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，问是否存在实数k，使不等式f（k+sin2x）≥f［（k-4）（sinx+cosx）］对任意x∈R恒成立？并说明理由.
分析 令sinx+cosx=t，则sin2x=t2-1，原不等式对一切x∈R恒成立，等价于不等式μ（t）=t2-（k-4）t+（k-1）≥0对任意t∈［-22,22］恒成立，下列分三种情况讨论：
（1）当Δ＜0时，μ（t）≥0，对t∈［-22,22］恒成立，由Δ=（k-4）2-4（k-1）=（k-2）（k-10）＜0，得2＜k＜10.
（2）当Δ=0时，k=2或k=10，此时抛物线t2-（k-4）t+（k-1）的顶点横坐标t=-1或t=3，μ（t）≥0对任意t∈［-22,22］恒成立.
（3）当Δ＞0时，μ（t）≥0对任意t∈［-22,22］恒成立的充要条件是：
Δ＞0，
k-42＜-22，
μ（-22）≥0.①
或Δ＞0，
k-42>22，
μ（22）≥0.②
解①②，得10＜k＜9+522，综合（1）（2）（3）得k的取值范围是［2，9+522］.
3.剖析特例，类比联想
例3 设函数f（x）定义在实数集上，对任意x，y∈R，都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且存在正数c，使fc2=0，试问：f（x）是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由.
分析 由于问题较抽象，不易发现f（x）是否为周期函数，更难找出它的一个周期.若特殊探路，降维思考，联想三角公式，不难发现函数f(x)=cosx满足题设条件，因为f（x）=cosx是周期为2π的函数，且cosπ2=0，故推测f（x）是以2c为周期的周期函数.事实上fx+c2+c2+fx+c2-c2=2fx+c2fc2=0，∴f（x+c）=-f（x），∴f（x+2c）=-f（x+c）=f（x）（x∈R）.
4.正难则反，逆推反正
例4 已知函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数，a，b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），求证：a+b≥0.
分析 欲证上述命题，正向推理，不易用上题设条件，转而逆思考.若a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，据单调性f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），从而f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）,这与已知矛盾，∴a+b＜0不成立，即a+b≥0.
5.恰用递推，归纳猜想
例5 是否存在这样的函数f（x），使下列三个条件：(1)f（x）＞0（n∈N）；(2)f（n1+n2）=f（n1）f（n2）（n1，n2∈N）；（3）f（2）=4同时成立？若存在，求出解析式；若不存在，说明理由.
分析 若存在，由条件(1)(2)(3)，得f（2）=f（1+1）=［f（1）］2=4，f（1）=2.又∵f（2）=4=22，∴f（3）=f（1）f（2）=23，f（4）=24，猜想f（x）=2x（x∈N），用数学归纳法不难证得此猜想正确.
【参考文献】
［1］贾士代，翟连林.高中数学巧妙解法400例.北京：北京教育出版社.
［2］张巨轮.抽象函数试题的类型与求解思路.中学数学，2000（11）.
［3］叶家振.抽象函数关系给出的对称性与周期性.中学数学，1996（6）.
［4］张坤元.求解含抽象函数不等式的几种技巧.中学数学，1995（4）.