小议三角形中位线定理的几种证明方法

• 作 者: 杨之全
• 出 处: 今日中国教研
• 发表日期: 2007年5期

　　三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，对进一步学习三角形有关知识非常有用，尤其是在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到，也为下一节梯形的中位线定理的证明作好充分的理论上的准备。对这一定理的证明有多种方法，现介绍几种。之所以要介绍这几种方法，是因为：第一，证明定理是帮助学生掌握知识体系的重要环节；第二，这个定理的证明综合运用了前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形、中心对称等重要知识，又提示了某些辅助线的添置方法；第三，证题时，强化了思维过程的教学，培养了求异思维，有益于开发学生的智力。同时，启发学生用不同的方法来证明三角形中位线定理，还可以培养学生发散性思维。
　　下面就介绍三角形中位线定理的几种证明方法：
　　三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
　　已知：如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点
　　求证：⑴ DE∥BC⑵ DE=BC
　　
　　证明方法1：
　　∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=BDAE=CE
　　∴==
　　∵∠DAE=∠BAC∴△ADE～△ABC∴∠ADE=∠ABC ==
　　∴DE∥BCDE=BC
　　 [小结]利用相似三角形的判定和性质，有时会收到异想不到的效果。
　　证明方法2：
　　
　　延长DE至F，使EF=DE，连接CF
　　∵AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=EF
　　∴△ADE≌△CEF
　　∴AD=CF，∠ADE=∠CFE，∵AD=BD，∴CF=BD
　　∵∠ADE=∠CFE
　　∴AB∥CF∴CF=BD，CF∥BD
　　∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF=BC，DF∥BC
　　∵DE=EF=DF,∴DE=BC，DE∥BC
　　[小结] 用延长相等线段的方法构造全等三角形，利用全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质。
　　证明方法3：（同第二种方法的图）
　　过点C作CF∥AB，与DE的延长线相交于点F
　　∵CF∥AB，∴∠ADE=∠CFE
　　∵∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴CF=AD
　　∵AD=BD，∴CF=BD，∵CF∥BD，∴四边形BCFD是平行四边形（以下证法与方法2相同）
　　 [小结] 作平行线的方法构造全等三角形，利用全等三角形、平行四边形的判定和性质。
　　证明方法4
　　
　　过点E作EG∥AB，交BC于G
　　∵EG∥AB，∴△CEG ～△CAB，∴===
　　∵=，∴EG=BD，∵EG∥BD，∴四边形BGED是平行四边形
　　∴DE=BG=BC，DE∥BC
　　[小结] 作平行线的方法构造相似三角形，利用相似三角形、平行四边形的判定和性质。
　　证明方法5：
　　
　　作BC的中点G，连接GE并延长，过点A作AH∥BC，与GE的延长线相交于H
　　∵AH∥BC，∴∠AHE=∠CGE
　　∵∠AEH=∠CEG，AE=CE
　　∴△AEH≌△CEG（AAS）
　　∴AH=CG，EH=GE=GH，
　　∵CG=BG，∴AH=BG，∵AH∥BG，∴四边形ABGH是平行四边形
　　∴AB=GH，AB∥GH，∵BD=AB，GE=GH
　　∴BD=GE，∵AB∥GH，∴BD∥GE
　　∴四边形DBGE是平行四边形
　　∴DE∥BG，DE=BG，∴DE∥BC，DE=BC
　　[小结]构造全等三角形和平行四边形，并利用其有关知识解决问题。
　　证明方法6：
　　
　　延长DE至F,使DE=EF，∵AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD=CF，AD∥CF∵AD=BD，∴BD=CF，∵AD∥CF，∴AB∥CF，∴BD∥CF，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF=BC，DF∥BC
　　∵DE=EF=DF，∴DE=BC，DE∥BC
　　[小结]利用对角线互相平分构造平行四边形
　　证明方法7:
　　
　　过点D作DE憽蜝C，∵DE挕蜝C，∴△ADE挕鰽BC
　　∴===，∵=
　　∴==，∴AE=AE?∴点E和点E捴睾?∴DE∥BC，DE=BC
　　[小结]：利用“同一法”有时会使问题简单化。
　　了解了上述几种证明方法，我们对三角形的中位线定理有了进一步认识，也对如何作辅助线有了一定程度的感悟。今后，我们要熟练掌握这一定理，并能灵活地运用它解决有关线段平行和倍分问题。
　　(作者单位: 629000四川省遂宁经济开发区明月小学校)
　　
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