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摘 要： 系统的状态能控性是现代控制理论教学中的重点，怎样深入地、直观地教授状态能控性这一知识点，是自动控制原理与现代控制理论课程中的难点。本文通过引入多智能体系统的状态能控性的应用实例来促进学生对系统可控性概念的理解，进而提高教学质量，提高学生学习的兴趣和应用能力。
关键词：现代控制理论 状态能控性 教学探讨
1 现代控制理论中状态能控性的教学现状
《现代控制理论》是高等工科学校自动化、电气工程、测控技术以及智能电网等专业的一门专业课，涉及本科生、硕士生、博士生。该课程以线性代数与高等数学等知识为理论基础，以自动控制原理为专业基础，具有较强的理论性和专业性，其教学工作包括理论讲授和仿真实验。能控性（controllability）由匈牙利裔美籍数学家卡尔曼（R.E.Kalman） 于20 世纪60 年代首次提出[1]，是现代控制理论中的一个重要的基本问题，在许多研究领域中起到关键性的作用，成为现代控制理论中的重要概念，是该门课程中的一个重要教学内容。为了与文献[2] 中的结构能控性的概念区分开来，这里我们所说的能控性都是指状态能控性（statecontrollability）。
对于一个连续时间的线性时不变系统，其状态方程为[3，4]：x（t）=Ax（t）+Bu（t），t ∈ J （1）其中，x（t） 为n 维状态，u（t） 为P维输入，J 为时间定义区间，A 和B 分别为n×n 和n×p 的矩阵。对系统（1）和指定初始时刻t 0 ∈ J，如果存在一个时刻t 1 ∈ J，t 1>t 0，以及一个无约束容许控制u（t），t ∈[t 0，t 1]，使得系统状态由x（t 0）=x 0 转移到x（t 1）=0，那么我们称一个非零状态x 0 在时刻t 0 为能控的[3-5]。
在现有的教学过程中，我们对这个概念的讲授主要是单纯地从概念入手，无法给学生一个直观的、形象的展示。并且，在现有的教学大纲中，由于实验课课时限制，并没有为系统的能控性这一知识点开设相应的实验课，缺乏实际应用。实验课（例如虚拟仿真）是高等院校教学工作中重要的实践环节，更是工科院校培养应用型工程技术人才的重要环节。没有虚拟仿真实验，我们不仅无法为学生提供直观影像，而且也不利于发挥学生学习的主观能动性。
2 多智能体系统的状态能控性
多智能体系统是本世纪的一个热门概念，兴起于计算机科学、传感技术、网络技术等新的科学技术的发展。该系统实际上是由多个具有传感、计算、通信和执行能力的智能体组成的，却能实现“1+1 > 2”的性能效果。
多智能体系统的研究主要是通过引入拉普拉斯矩阵L 来描述智能体之间的信息交互关系而进行的。很显然，拉普拉斯矩阵 的维数等于智能体的个数。多智能体系统能控性的概念是Tanner 于2004 年在文献[6] 中提出。
Tanner 在该文中从经典的领航者——跟随者的角度给出了多智能体系统能控性的定义。
在文献[6] 中的多智能体系统的能控性研究中，考虑一个包含N 个智能体的系统，其中领航者和跟随者的个数分别为m 和N-m。定义一个N 维的变量x（t），则有x（t）=Lx（t） （2）根据领航者和跟随者的信息更新特点，拉普拉斯矩阵L 可写成如下分块形式L=Lf lfllfl Ll（3）其中，Lf 和Ll 分别跟随者和领航者的编号，lfl 表示从领航者都跟随者的信息流向。
其中，u 是作用于领航者的外界输入。多智能体系统的能控性反映的是领航者对跟随者的控制能力，也就是系统的能控性问题，即（5）在有限时间内通过领航者的作用能否控制跟随者到达任意给定位置，其本质是将系统编队控制问题在特定的通信拓扑下转化为经典的状态能控性问题[7]。为了更好地与状态能控性的概念相契合，我们这里是介绍每一个智能体的状态为l 维的情况。如下图1 就是一个很直观的多智能体系统能控性的例子。
3 系统能控性的概念到实际
我们在（5）只考虑了N-M 个状态都为维的跟随者的状态能控性问题，该问题可以看作是一个N-M 维的单个体系统的能控性问题，其中x 1 相当于控制输入。我们将通过对（5）的能控性仿真，来引导学生对状态能控性概念的理解。
在状态能控性的教学中，我们不再拘泥于概念知识和理论推导，秉承“理论 实践”的教学理念，以理论联系实际为教学导向，引入当下时兴的多智能体系统的状态能控性的例子和仿真实验，启发学生对状态能控性概念的学习和理解。在实验进行过程中，我们采取小组实验的形式，即三至五位学生为一个小组进行实验，以MATLAB 编程来实现多智能体系统的状态能控性，以此来促进学生对概念的理解，从而提高学习分析问题、解决问题的能力，提供学生团队合作的能力。图2刻画了一個包含六个智能体的多智能体系统的状态能控性。在该实验中，不失一般性，我们以正三角形为任意的最终位置。
更进一步地，我们可以将MATLAB 编程实现的状态可控性程序应用到实验室所具有的无人机（如图3）上，实现无人机的编队控制。这样的实际应用可以为学生提供直观的演示，促进学生对能控性概念的深入理解。
4 结语
在《现代控制理论》课程中能控性概念的教学中引入多智能体系统的状态能控性，结合多智能体系统状态能控性的仿真实验结果来促进学生对状态能控性的理解，并将多智能体系统的能控性的MATLAB 程序应用到无人机中，实现状态能控性的实际应用，以此来改变原来的对状态能控性的纯概念性讲解，实现“理论 实践”的良好结合，提高学生的应用动手能力。这种应用型实验的引入，可以加深学生对能控性概念的理解，也更容易调动学生的听课积极性，从而提高课堂听课效率，改善教学效果。
参考文献：
[1]R.E.Kalman，Y.C.Ho，Controllability oflinear dynamical systems，Contributions toDifferential Equations，1963，1（2）：189-213.
[2]Yang-Yu Liu， Jean-Jacques Slotine，Albert-L szl Barab si，Controllability ofcomplex networks，Nature，473：167-173，2011.
[3] 胡寿松. 自动控制原理（第六版）[M]. 北京：科学出版社，2013.
[4]郑大钟. 线性系统理论（ 第20版）[M].北京：清华大学出版社，2002 年
[5] 王杰， 陈陈. Modern Control TheoryLecture（英文版）[M]. 北京：中国水利水电出版社，2011.
[6]H. G. Tanner，On the controllabilit yof nearest neighbor interconnections，Proceedings of the 43nd IEEE Conference onDecision and Control，Paradise Island，theBahamas：Springer Press，2004，3：2467--2472.
[7] 关永强，纪志坚，张霖，王龙. 控制理论于应用[J]，32（4）：1-11，2015.
[8] 胡卫娜. 多智能体系统的能控性及其应用，硕士论文，2012.
关键词：现代控制理论 状态能控性 教学探讨
1 现代控制理论中状态能控性的教学现状
《现代控制理论》是高等工科学校自动化、电气工程、测控技术以及智能电网等专业的一门专业课，涉及本科生、硕士生、博士生。该课程以线性代数与高等数学等知识为理论基础，以自动控制原理为专业基础，具有较强的理论性和专业性，其教学工作包括理论讲授和仿真实验。能控性（controllability）由匈牙利裔美籍数学家卡尔曼（R.E.Kalman） 于20 世纪60 年代首次提出[1]，是现代控制理论中的一个重要的基本问题，在许多研究领域中起到关键性的作用，成为现代控制理论中的重要概念，是该门课程中的一个重要教学内容。为了与文献[2] 中的结构能控性的概念区分开来，这里我们所说的能控性都是指状态能控性（statecontrollability）。
对于一个连续时间的线性时不变系统，其状态方程为[3，4]：x（t）=Ax（t）+Bu（t），t ∈ J （1）其中，x（t） 为n 维状态，u（t） 为P维输入，J 为时间定义区间，A 和B 分别为n×n 和n×p 的矩阵。对系统（1）和指定初始时刻t 0 ∈ J，如果存在一个时刻t 1 ∈ J，t 1>t 0，以及一个无约束容许控制u（t），t ∈[t 0，t 1]，使得系统状态由x（t 0）=x 0 转移到x（t 1）=0，那么我们称一个非零状态x 0 在时刻t 0 为能控的[3-5]。
在现有的教学过程中，我们对这个概念的讲授主要是单纯地从概念入手，无法给学生一个直观的、形象的展示。并且，在现有的教学大纲中，由于实验课课时限制，并没有为系统的能控性这一知识点开设相应的实验课，缺乏实际应用。实验课（例如虚拟仿真）是高等院校教学工作中重要的实践环节，更是工科院校培养应用型工程技术人才的重要环节。没有虚拟仿真实验，我们不仅无法为学生提供直观影像，而且也不利于发挥学生学习的主观能动性。
2 多智能体系统的状态能控性
多智能体系统是本世纪的一个热门概念，兴起于计算机科学、传感技术、网络技术等新的科学技术的发展。该系统实际上是由多个具有传感、计算、通信和执行能力的智能体组成的，却能实现“1+1 > 2”的性能效果。
多智能体系统的研究主要是通过引入拉普拉斯矩阵L 来描述智能体之间的信息交互关系而进行的。很显然，拉普拉斯矩阵 的维数等于智能体的个数。多智能体系统能控性的概念是Tanner 于2004 年在文献[6] 中提出。
Tanner 在该文中从经典的领航者——跟随者的角度给出了多智能体系统能控性的定义。
在文献[6] 中的多智能体系统的能控性研究中，考虑一个包含N 个智能体的系统，其中领航者和跟随者的个数分别为m 和N-m。定义一个N 维的变量x（t），则有x（t）=Lx（t） （2）根据领航者和跟随者的信息更新特点，拉普拉斯矩阵L 可写成如下分块形式L=Lf lfllfl Ll（3）其中，Lf 和Ll 分别跟随者和领航者的编号，lfl 表示从领航者都跟随者的信息流向。
其中，u 是作用于领航者的外界输入。多智能体系统的能控性反映的是领航者对跟随者的控制能力，也就是系统的能控性问题，即（5）在有限时间内通过领航者的作用能否控制跟随者到达任意给定位置，其本质是将系统编队控制问题在特定的通信拓扑下转化为经典的状态能控性问题[7]。为了更好地与状态能控性的概念相契合，我们这里是介绍每一个智能体的状态为l 维的情况。如下图1 就是一个很直观的多智能体系统能控性的例子。
3 系统能控性的概念到实际
我们在（5）只考虑了N-M 个状态都为维的跟随者的状态能控性问题，该问题可以看作是一个N-M 维的单个体系统的能控性问题，其中x 1 相当于控制输入。我们将通过对（5）的能控性仿真，来引导学生对状态能控性概念的理解。
在状态能控性的教学中，我们不再拘泥于概念知识和理论推导，秉承“理论 实践”的教学理念，以理论联系实际为教学导向，引入当下时兴的多智能体系统的状态能控性的例子和仿真实验，启发学生对状态能控性概念的学习和理解。在实验进行过程中，我们采取小组实验的形式，即三至五位学生为一个小组进行实验，以MATLAB 编程来实现多智能体系统的状态能控性，以此来促进学生对概念的理解，从而提高学习分析问题、解决问题的能力，提供学生团队合作的能力。图2刻画了一個包含六个智能体的多智能体系统的状态能控性。在该实验中，不失一般性，我们以正三角形为任意的最终位置。
更进一步地，我们可以将MATLAB 编程实现的状态可控性程序应用到实验室所具有的无人机（如图3）上，实现无人机的编队控制。这样的实际应用可以为学生提供直观的演示，促进学生对能控性概念的深入理解。
4 结语
在《现代控制理论》课程中能控性概念的教学中引入多智能体系统的状态能控性，结合多智能体系统状态能控性的仿真实验结果来促进学生对状态能控性的理解，并将多智能体系统的能控性的MATLAB 程序应用到无人机中，实现状态能控性的实际应用，以此来改变原来的对状态能控性的纯概念性讲解，实现“理论 实践”的良好结合，提高学生的应用动手能力。这种应用型实验的引入，可以加深学生对能控性概念的理解，也更容易调动学生的听课积极性，从而提高课堂听课效率，改善教学效果。
参考文献：
[1]R.E.Kalman，Y.C.Ho，Controllability oflinear dynamical systems，Contributions toDifferential Equations，1963，1（2）：189-213.
[2]Yang-Yu Liu， Jean-Jacques Slotine，Albert-L szl Barab si，Controllability ofcomplex networks，Nature，473：167-173，2011.
[3] 胡寿松. 自动控制原理（第六版）[M]. 北京：科学出版社，2013.
[4]郑大钟. 线性系统理论（ 第20版）[M].北京：清华大学出版社，2002 年
[5] 王杰， 陈陈. Modern Control TheoryLecture（英文版）[M]. 北京：中国水利水电出版社，2011.
[6]H. G. Tanner，On the controllabilit yof nearest neighbor interconnections，Proceedings of the 43nd IEEE Conference onDecision and Control，Paradise Island，theBahamas：Springer Press，2004，3：2467--2472.
[7] 关永强，纪志坚，张霖，王龙. 控制理论于应用[J]，32（4）：1-11，2015.
[8] 胡卫娜. 多智能体系统的能控性及其应用，硕士论文，2012.