论文部分内容阅读
摘要：由于数学学习年段越高，学得越抽象，故许多老师都喜欢借助直观把知识从抽象转化成形象，这样能够促进学生对知识的理解.但借助直观思维的同时，容易使学生形成思维定式，在一定程度上也会造成解题错误，本文主要谈论凭借图形之后，所产生的审题不严、以偏概全、以图代证、重“形”轻“数”等四种致误习惯.
关键词：数；形；推理；致误
我国数学家华罗庚先生谈解题感受时提到：数缺形时少直观，形离数时难人微.我们教师在解题教学时也经常指导学生运用数形结合的思想寻找解题的方法，借助图象的直观形象性，解决问题方法简洁，易理解.深受师生的喜爱，在解数学题时也积极利用图象思考问题的解答，收到了良好的效果.但“肜离数时难入微”.图象解题多借助直观思维的判断，形成思维习惯，易忽视理性思考.造成解题错误.现举几例，望能引起注意.
凭借图形，易出现审题不严的致误习惯
例1 如图l，将一块边长为42厘米的正形铁皮剪去四个角（即剪去四个全等的小正方形）后，重新焊接成一个无盖的铁盒.要使其容积最大.剪去的小正方形的边长为多少厘米？最大的容积为多少？（忽略焊接误差）.
误解：由题意，如图l，设剪去的小正方形的边长为xcm.则其容积为：
V=x（42-2x）?（O 运用导数求其最值，得：当x=7时，
所得铁盒的容积最大为：v=7x28?=5488cm?
正解：由题意知，截取小正方形的边长为42/4=10.5cm，截取（1）（2）两个小正方形，再将截取的（1）（2）焊接在右侧一边的正中.构成如图2.
此时，将四周折起焊接，则所得铁盒的容积为v=（42-10.5）x（42-10.5）×10.5=6945.75cm?.显然此种焊接体积较大.
感悟：本题涉及常见的折无盖纸盒的裁剪方法，由于对图形的熟悉，采取习惯的定向思维.认为这样剪去四角折起四边就是需要的焊接方法，图·形直观的惯性思维，引诱我们走向审题不清的误区.
凭借图形，易出现以偏概全的致误习惯
例2 已知命题：“若a>l，则恒成立”，判断该命题的真假.
误解：当a>l时，函数的图象是递增的且关于y=x对称，可作出如下图形（图3）：
依据图形，可得，该命题是真命题，
正解：（1）当时，指数函数y=矿的图象与对数函数y=logax的图象有两个交点，都在直线y=x上，如图（图4）
由以上讨论可知，该命题是假命题，
感悟：在学习指数函数与对数函数关系时.我们大多数只讨论它们是互为反函数的关系，图象关于直线y=x对称，习惯性给出图3的直观图加以理解.给学生直观认为指数函数与对数函数当a>l时就是图3的位置情况，从而误导出现以偏概全的习惯性错误，
凭借图形，易出现以图代证的致误习惯
例3有一个三棱锥和一个正四棱锥，它们的棱长都相等，将它们的一个侧面重叠之后，还有几个暴露面？
误解：如下图，正三棱锥S-EFG有4个面，正四棱锥v-ABCD有5个面，它们分开后共有9个面.若面EFG与面VAD重合后，这两个面消失，故剩下7个暴露面.
正解：在三棱锥S-EFG中，设二面角S-EF-G为a，二面角D-VA-B为β，通过计算可知，a β=180°，这表明当面EFG和面VAD重合后，面SEF与面VAB珙面、由对称性知，面SFG与面VDC共面，所以，应该有5个暴露面，
感悟：对空间图形进行思考，多关注图形的位置变化，进行直观性判断，常忽视组合后出现新的情况的判断，需要进一步进行检验证明.给出正确的判断.这就需要平常加强思维批判性方面的培养.
凭借图形，易出现重“形”轻“数”的致误习惯
例4 函数f（x）=lgx-sinx的零点个数是____.
误解：如图7所示，在同一直角坐标系中分别画出对数函数y.=lgx与正弦函数y2=sirix的图象，由图7可知，这两个图象有1个交点，所以函数的零点个数是1个.
正解：如图8所示，在同一直角坐标系中分别画出对数函数y1=lgx与正弦函数Y2=sirrx的图象，注意到lgl0=1，一1≤sina≤1.作出图形.
由图可知，这两个图象有3个交点，所以函数的零点个数是3个.
例5求函数y=x?-2x的零点的个数，
误解：在同一坐标系中作出函数y.=X?，y：=2x的图象，
由图形可以看出，函数y=x?-2x的零点个数为2.
正解：在同一坐标系中作出函数yl=X?，y2=2x的图象，如图10，从图形上可以看出函数当x=4，y=16时也是两函数的交点，故函数y=x?-2x的零点的个数应该为3.
感悟：在运用数形结合的解题时.要正确作出图形，要用“数”去准确确定“形”的位置，要关注一些特殊点、相关的函数性质，必要时还需要对图形的直观分析给出严密的推理，定“形”不忘“数”，才能给出正确的解答，
关键词：数；形；推理；致误
我国数学家华罗庚先生谈解题感受时提到：数缺形时少直观，形离数时难人微.我们教师在解题教学时也经常指导学生运用数形结合的思想寻找解题的方法，借助图象的直观形象性，解决问题方法简洁，易理解.深受师生的喜爱，在解数学题时也积极利用图象思考问题的解答，收到了良好的效果.但“肜离数时难入微”.图象解题多借助直观思维的判断，形成思维习惯，易忽视理性思考.造成解题错误.现举几例，望能引起注意.
凭借图形，易出现审题不严的致误习惯
例1 如图l，将一块边长为42厘米的正形铁皮剪去四个角（即剪去四个全等的小正方形）后，重新焊接成一个无盖的铁盒.要使其容积最大.剪去的小正方形的边长为多少厘米？最大的容积为多少？（忽略焊接误差）.
误解：由题意，如图l，设剪去的小正方形的边长为xcm.则其容积为：
V=x（42-2x）?（O
所得铁盒的容积最大为：v=7x28?=5488cm?
正解：由题意知，截取小正方形的边长为42/4=10.5cm，截取（1）（2）两个小正方形，再将截取的（1）（2）焊接在右侧一边的正中.构成如图2.
此时，将四周折起焊接，则所得铁盒的容积为v=（42-10.5）x（42-10.5）×10.5=6945.75cm?.显然此种焊接体积较大.
感悟：本题涉及常见的折无盖纸盒的裁剪方法，由于对图形的熟悉，采取习惯的定向思维.认为这样剪去四角折起四边就是需要的焊接方法，图·形直观的惯性思维，引诱我们走向审题不清的误区.
凭借图形，易出现以偏概全的致误习惯
例2 已知命题：“若a>l，则恒成立”，判断该命题的真假.
误解：当a>l时，函数的图象是递增的且关于y=x对称，可作出如下图形（图3）：
依据图形，可得，该命题是真命题，
正解：（1）当时，指数函数y=矿的图象与对数函数y=logax的图象有两个交点，都在直线y=x上，如图（图4）
由以上讨论可知，该命题是假命题，
感悟：在学习指数函数与对数函数关系时.我们大多数只讨论它们是互为反函数的关系，图象关于直线y=x对称，习惯性给出图3的直观图加以理解.给学生直观认为指数函数与对数函数当a>l时就是图3的位置情况，从而误导出现以偏概全的习惯性错误，
凭借图形，易出现以图代证的致误习惯
例3有一个三棱锥和一个正四棱锥，它们的棱长都相等，将它们的一个侧面重叠之后，还有几个暴露面？
误解：如下图，正三棱锥S-EFG有4个面，正四棱锥v-ABCD有5个面，它们分开后共有9个面.若面EFG与面VAD重合后，这两个面消失，故剩下7个暴露面.
正解：在三棱锥S-EFG中，设二面角S-EF-G为a，二面角D-VA-B为β，通过计算可知，a β=180°，这表明当面EFG和面VAD重合后，面SEF与面VAB珙面、由对称性知，面SFG与面VDC共面，所以，应该有5个暴露面，
感悟：对空间图形进行思考，多关注图形的位置变化，进行直观性判断，常忽视组合后出现新的情况的判断，需要进一步进行检验证明.给出正确的判断.这就需要平常加强思维批判性方面的培养.
凭借图形，易出现重“形”轻“数”的致误习惯
例4 函数f（x）=lgx-sinx的零点个数是____.
误解：如图7所示，在同一直角坐标系中分别画出对数函数y.=lgx与正弦函数y2=sirix的图象，由图7可知，这两个图象有1个交点，所以函数的零点个数是1个.
正解：如图8所示，在同一直角坐标系中分别画出对数函数y1=lgx与正弦函数Y2=sirrx的图象，注意到lgl0=1，一1≤sina≤1.作出图形.
由图可知，这两个图象有3个交点，所以函数的零点个数是3个.
例5求函数y=x?-2x的零点的个数，
误解：在同一坐标系中作出函数y.=X?，y：=2x的图象，
由图形可以看出，函数y=x?-2x的零点个数为2.
正解：在同一坐标系中作出函数yl=X?，y2=2x的图象，如图10，从图形上可以看出函数当x=4，y=16时也是两函数的交点，故函数y=x?-2x的零点的个数应该为3.
感悟：在运用数形结合的解题时.要正确作出图形，要用“数”去准确确定“形”的位置，要关注一些特殊点、相关的函数性质，必要时还需要对图形的直观分析给出严密的推理，定“形”不忘“数”，才能给出正确的解答，