论文部分内容阅读
在立体几何的学习中，经常会碰到与柱体、锥体、台体有关的路径最短问题，初次接触此内容，同学们不易掌握.本文通过几个具体的典型例题，讲讲如何利用侧面展开图来求解立体几何中的路径最短问题.
1.柱体中的路径最短问题
例1 如图，正三棱柱[ABC-A1B1C1]中，各棱长都为2，[M、N]分别为[AA1、BC]的中点，求在棱柱的外表面上从点[M]到点[N]的最短距离是多少?
图1 图2 图3
解析 从[M]到[N]有2种情况，
第一种情况：从侧面到[N]点.如图2，沿棱柱的侧棱[AA1]剪开、展平，则[MN]最短距离为
[MN＝AM2+AN2＝12+(2+1)2＝10]
第二种情况：从底面到[N]点.如图3，沿棱柱的各侧棱剪开、展平，则[MN]的最短距离为
[MN=AM2+AN2-2AM⋅ANcos120°=12+（3）2+2×1×3×12=4+3，]
而[4+3<10]，所以[MNmin＝4+3].
点拨 把几何体的相关平面展开到同一平面，用平面几何、三角函数等知识求解.
例2 如图4，在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E、F]分别为棱[AD、AB]的中点. 如果[AB=1]， 一个点从[F]出发在正方体的表面上依次经过棱[BB1]、[B1C1]、[C1D1]、[D1D]、[DA]上的点，又回到[F]，求整个线路的最小值，并说明理由.
图4 图5
解析 如图5，将正方体的六个面都展开，从图5中[F]到[F]，两点之间线段最短，且[FF]依次经过棱[BB1]、[B1C1]、[C1D1]、[D1D]、[DA]上的中点，故所求的最小值为[32].
点拨 注意正方体六个面展开图有11种情形，应该根据交点的位置，明确图形展开的方向性.
例3 如图6，在一母线长为10cm，外圆周长为6cm的圆柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值是多少？
图6 图7 图8
解析 方法1：可先求缠绕一个螺旋时铁丝的两端恰好落在同一条母线上铁丝的最小值.
如图7，此时小棱柱高为1cm.由图7可知，缠绕一个螺旋时，[AC2=12+62=37].所以，[AC=37].故所求铁丝的最小值是[1037]cm.
方法2：将侧面展开图展开10次，如图8可知，缠绕10个螺旋时，[AC2=102+602=3700].故所求铁丝的最小值是[1037]cm.
点拨 此题由教材例题改编，主要考查对图形的处理能力、空间想象能力，明晰缠绕一圈与缠绕多圈的区别与联系.
2. 椎体中的路径最短问题
例4 如图9，四面体[A-BCD]的各个面都是锐角三角形，且[AB=CD=a]，[AC=BD=b]，[AD=BC=c].平面[PQRS]分别截棱[AB、BC、CD、DA]于点[P]、[Q、R、S]，求四边形[PQRS]周长的最小值.
图9 图10
解析 将四面体[A-BCD]的各个侧面展开成平面图形.由于四面体[A-BCD]各个侧面均为锐角三角形，且[AB=CD，AC=BD，AD=BC]，故展开图中的[A]与[A]、[D]与[D]在四面体中是同一点，且[AD=BC=AD]，[AB=CD]，又[A、C、A]共线，[D、B、][D]共线，[AA′=DD=2BD]，四边形[PQRS]在展开图中变为折线[SPQRS]，[S]与[S]在四面体中是同一点.因此，当[P、Q、R]在[SS]上时，[SP+PQ+QR+RS]最小，即四边形[PQRS]周长最小. 又[SA=SA]，所以周长最小值[SS=DD=2BD=2b].
点拨 分析清楚展开图和原图中的变量和不变量，便于计算.
3. 台体中的路径最短问题
例5 已知圆台上、下底面的直径分别为20、40，高为[55]，若[AO、BO]为下底面的两条互相垂直的半径，[C]为母线[BB]上一点，且[BC∶CB=1∶2]，求圆台侧面上从[A]到[C]的最短距离.
图11 图12
解析 如图11，将圆台[OO]补成圆锥[SO]，沿母线[BS]将圆锥展开，连结[AC]，线段[AC]的长即为圆台侧面上从[S]到[C]的最短距离.
由已知条件得[O′A′=10，OA=20]，[OO=55]，
所以[AA=BB=15]，[SA=SB=15]，[BC=10]，
圆锥[SO]侧面展开图的中心角，[θ=2030⋅360°][=240°]，所以[∠ASC=14×240°=60°]，
从而，[AC2=AS2+CS2-2AS⋅CS⋅cos60°=775]，因此，[AC=531].
点拨 利用平面展开图求解与路径相关问题是考查空间想象能力的较好载体.不仅要正确画出平面图形沿特定边展开而成的平面图形，更要能分辨展前展后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况.
求立体几何中多面体、旋转体表面的最短路径问题一般用展开法，将曲面问题平面化，但要注意展开的方法可能不止一种，谨防以偏概全，导致错误.将立体图形展成平面图形，可以化难为易，化抽象为具体，从而达到事半功倍的效果，体现了高中数学中转化、化归的思想方法，这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何的始终.
1.柱体中的路径最短问题
例1 如图，正三棱柱[ABC-A1B1C1]中，各棱长都为2，[M、N]分别为[AA1、BC]的中点，求在棱柱的外表面上从点[M]到点[N]的最短距离是多少?
图1 图2 图3
解析 从[M]到[N]有2种情况，
第一种情况：从侧面到[N]点.如图2，沿棱柱的侧棱[AA1]剪开、展平，则[MN]最短距离为
[MN＝AM2+AN2＝12+(2+1)2＝10]
第二种情况：从底面到[N]点.如图3，沿棱柱的各侧棱剪开、展平，则[MN]的最短距离为
[MN=AM2+AN2-2AM⋅ANcos120°=12+（3）2+2×1×3×12=4+3，]
而[4+3<10]，所以[MNmin＝4+3].
点拨 把几何体的相关平面展开到同一平面，用平面几何、三角函数等知识求解.
例2 如图4，在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E、F]分别为棱[AD、AB]的中点. 如果[AB=1]， 一个点从[F]出发在正方体的表面上依次经过棱[BB1]、[B1C1]、[C1D1]、[D1D]、[DA]上的点，又回到[F]，求整个线路的最小值，并说明理由.
图4 图5
解析 如图5，将正方体的六个面都展开，从图5中[F]到[F]，两点之间线段最短，且[FF]依次经过棱[BB1]、[B1C1]、[C1D1]、[D1D]、[DA]上的中点，故所求的最小值为[32].
点拨 注意正方体六个面展开图有11种情形，应该根据交点的位置，明确图形展开的方向性.
例3 如图6，在一母线长为10cm，外圆周长为6cm的圆柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值是多少？
图6 图7 图8
解析 方法1：可先求缠绕一个螺旋时铁丝的两端恰好落在同一条母线上铁丝的最小值.
如图7，此时小棱柱高为1cm.由图7可知，缠绕一个螺旋时，[AC2=12+62=37].所以，[AC=37].故所求铁丝的最小值是[1037]cm.
方法2：将侧面展开图展开10次，如图8可知，缠绕10个螺旋时，[AC2=102+602=3700].故所求铁丝的最小值是[1037]cm.
点拨 此题由教材例题改编，主要考查对图形的处理能力、空间想象能力，明晰缠绕一圈与缠绕多圈的区别与联系.
2. 椎体中的路径最短问题
例4 如图9，四面体[A-BCD]的各个面都是锐角三角形，且[AB=CD=a]，[AC=BD=b]，[AD=BC=c].平面[PQRS]分别截棱[AB、BC、CD、DA]于点[P]、[Q、R、S]，求四边形[PQRS]周长的最小值.
图9 图10
解析 将四面体[A-BCD]的各个侧面展开成平面图形.由于四面体[A-BCD]各个侧面均为锐角三角形，且[AB=CD，AC=BD，AD=BC]，故展开图中的[A]与[A]、[D]与[D]在四面体中是同一点，且[AD=BC=AD]，[AB=CD]，又[A、C、A]共线，[D、B、][D]共线，[AA′=DD=2BD]，四边形[PQRS]在展开图中变为折线[SPQRS]，[S]与[S]在四面体中是同一点.因此，当[P、Q、R]在[SS]上时，[SP+PQ+QR+RS]最小，即四边形[PQRS]周长最小. 又[SA=SA]，所以周长最小值[SS=DD=2BD=2b].
点拨 分析清楚展开图和原图中的变量和不变量，便于计算.
3. 台体中的路径最短问题
例5 已知圆台上、下底面的直径分别为20、40，高为[55]，若[AO、BO]为下底面的两条互相垂直的半径，[C]为母线[BB]上一点，且[BC∶CB=1∶2]，求圆台侧面上从[A]到[C]的最短距离.
图11 图12
解析 如图11，将圆台[OO]补成圆锥[SO]，沿母线[BS]将圆锥展开，连结[AC]，线段[AC]的长即为圆台侧面上从[S]到[C]的最短距离.
由已知条件得[O′A′=10，OA=20]，[OO=55]，
所以[AA=BB=15]，[SA=SB=15]，[BC=10]，
圆锥[SO]侧面展开图的中心角，[θ=2030⋅360°][=240°]，所以[∠ASC=14×240°=60°]，
从而，[AC2=AS2+CS2-2AS⋅CS⋅cos60°=775]，因此，[AC=531].
点拨 利用平面展开图求解与路径相关问题是考查空间想象能力的较好载体.不仅要正确画出平面图形沿特定边展开而成的平面图形，更要能分辨展前展后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况.
求立体几何中多面体、旋转体表面的最短路径问题一般用展开法，将曲面问题平面化，但要注意展开的方法可能不止一种，谨防以偏概全，导致错误.将立体图形展成平面图形，可以化难为易，化抽象为具体，从而达到事半功倍的效果，体现了高中数学中转化、化归的思想方法，这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何的始终.