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说到竞赛题，同学们的第一印象就是难.那么，竞赛题究竟难在哪儿呢？首先，题目背景新颖，其中不少是平时从未见过的.有些题目的形式看似熟悉，但条件或结论仍是比较陌生的.其次，解决问题的思维要求高，很多数学竞赛试题难以用常规方法来思考与求解，需要动用较高层次的思维.因此，从试题的难易程度来讲，大部分竞赛题与侧重考查基础知识和基本技能的高考题不属于同一个层次.
但高考和竞赛这两种考试共有的选拔功能又决定了两者之间可以相互借鉴，所以高考试题中经常出现竞赛数学思想，以竞赛试题为背景，考查同学们灵活解题的能力.这些试题往往出现在客观题与主观题的压轴部分.
不过，具有竞赛试题背景的高考题并不像同学们想象的那么可怕，因为它们考查的本质还是高中数学的知识和方法.下面我们就以几道具有竞赛背景的高考试题为例，体验这类问题的思考方法与解决方法.
利用解方程的思想
例1 [2010年高考数学江西卷理科第22题第（1）问] 证明以下命题：对任一正整数a，都存在正整数b，c （b 解析： 参考答案是这样的：“考虑到结构特征，取特殊值12，52，72构成等差数列，因此对任一正整数a，只需取b=5a，c=7a就能使a2，b2，c2成等差数列.”
看了这个解答后，我们肯定会疑惑：为什么要取特殊值12，52，72构成等差数列？这种解法是如何想到的？让我们一起来分析一下.
未知数个数多于方程个数的方程被称为不定方程，不定方程是初等数论中的一个重要内容，也是高中数学竞赛的考查内容之一.例1就是以不定方程为背景命制的题目.
由题意可知2b2=a2 c2，a 令a=1，b=2，代入c2=2b2-1可得c2=7，此时c=不是正整数，不满足条件.令a=1，b=3，则c2=17不满足条件.令a=1，b=4，则c2=31不满足条件.令a=1，b=5，由c2=49可得c=7，满足条件，12，52，72成等差数列. 对于a∈N*，可知a2，（5a）2，（7a）2也成等差数列，即对任一正整数a，都存在正整数b=5a，c=7a使得a2，b2，c2成等差数列.
点评： 解答例1的关键在于把题目的条件转化成一个方程，虽说这是一个不定方程，但我们只要理解问题的本质，就可以利用解方程的思想，用凑数法求出这个不定方程的解，从而解决问题.
转化到平面内
例2 [2008年高考数学辽宁卷（理科）第11题] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线
（A） 不存在 （B） 有且只有两条 （C） 有且只有三条 （D） 有无数条
例3 [1997年全国高中数学联合竞赛一试第6题] 如果空间中三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有
（A） 0条 （B） 1条
（C） 多于1 条的有限条 （D） 无穷多条
解析： 例2其实是例3的一种特殊情况：如果把例3中三条两两成异面直线的直线a，b，c置于正方体ABCD-A1B1C1D1内，使之成为A1D1，EF，CD，那例3就成了例2.
如何解答例2呢？我们先观察图形，看看能不能找到一条与A1D1，EF，CD都相交的直线.
如图1所示，我们发现，A1C与A1D1，CD相交，由于A1C不平行于EF且与EF同在平面ACC1A1内，所以A1C与EF也相交，故A1C就是满足条件的一条直线.
同理，由于DE与EF，CD相交，如果延长DE，则DE显然与D1A1的延长线相交，因此DE也满足条件.
由于D1F与A1D1，EF相交，如果延长D1F，则D1F一定与DC的延长线相交，所以D1F也满足条件.
为什么A1C（或DE，D1F）可以在与A1D1，EF，CD其中两条直线相交的情况下，也与第三条直线相交？这是因为它与第三条直线共面.于是我们就产生了一个逆向思维：“先定面，再定线”.
我们可以在EF上任意取一点M，再设法过点M作与A1D1（或CD）相交的直线，这需要把A1D1（或CD）与点M放到一个平面里来看，解题思路由此展开：
如图2所示，由直线A1D1与M确定一个平面KND1A1，该平面与CD有且仅有1个交点N.延长NM交A1D1于点L，可知直线LMN与A1D1，EF，CD都相交.当M取不同的位置时，平面KND1A1和点N也会随之变化，直线LMN与这3条异面直线都有交点，所以符合条件的直线有无数条，选D.
点评： 例2给我们的感觉有点“天马行空”，但如果我们掌握了解决立体几何问题的方法，即把空间问题转化到一个平面内加以解决，难题就不再难了.
找准公式解决问题
例4 [2010年高考数学浙江卷自选模块第3题第（1）问] 设正实数a，b，c满足abc≥1，求 的最小值.
例5 [1988年第二届国际中学生数学友谊赛十年级第1题] 设a，b，c为正实数，求证： ≥.
解析： 柯西不等式属于浙江省高考自选模块部分的考查内容，也一直是高中数学竞赛中的重要内容.因此，自选模块中涉及柯西不等式的试题难免会带有竞赛的味道.你们看，例4和例5多么相像！不过例5只要利用柯西不等式就能够证明，而例4除了要用柯西不等式，还要结合均值不等式才能求出最小值.
在例4中，为了求出 的最小值，我们希望能将问题转化为“ ≥f1（a，b，c）≥…≥fn（a，b，c）≥某常数”的形式，且等号能够同时成立.注意到（a 2b） （b 2c） （c 2a）=3（a b c），而a b c≥3，再结合条件“abc≥1”，上述不等式链就能以一个常数收尾，问题迎刃而解. 由柯西不等式可得
·[（a 2b） （b 2c） （c 2a）]≥（a b c）2，所以 ≥≥≥1，当a=b=c=1时，以上几个不等式同时取到等号，所以 的最小值为1.
点评： 解答例4时，我们发现了等式（a 2b） （b 2c） （c 2a）=3（a b c），并由此联想到借助柯西不等式解决问题，用此法再来解决例5就易如反掌了.
运用设而不求的方法
例6 [2011年高考数学浙江卷（理科）第21题第（2）问] 如图3所示，已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2 （y-4）2=1的圆心为点M.点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.
例7 [2008年全国高中数学联合竞赛一试第15题] 如图4所示，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x-1）2 y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值.
解析：一看例6和例7的图象，我们就知道这两道题目肯定脱不了干系.例6确实是由例7改编而来的.两题的背景十分相似，都是过抛物线上一点作抛物线内部一个圆的两条切线，但两题的问题不同.例6讨论的是过点P的圆的切线与抛物线交于A，B，当直线AB与PM垂直时，求PM的方程；例7要求的是过点P的圆的切线与y轴的交点所构成的三角形的面积的最小值.这两题的解法如出一辙，都需利用设而不求法与韦达定理解决问题.
在例6中，由题意可知M（0，4），要求直线l的方程，就要求点P的坐标.
我们设P（t，t2），切线的斜率为k，则切线方程是y-t2=k（x-t），整理得kx-y-kt t2=0.由点M到切线的距离为1可得=1，整理得（t2-1）k2 2t（4-t2）k （t2-4）2-1=0 （①）.
设A（x1，[x1][2]），B（x2，[x2][2]），PA，PB的斜率分别为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是方程①的两个根，所以k1 k2=，k1k2=.
联立PA的方程与抛物线方程可得x2-k1 k1t-t2=0.因为P为抛物线与切线的公共点，故t为该方程的一个解，由韦达定理解得x1=k1-t.同理，联立PB的方程与抛物线的方程，可得x2=k2-t.所以kAB==x1 x2=k1 k2-2t=-2t，又kMP=，由直线l⊥AB可得kAB·kMP=-1，解得t2=，所以P±
，
，结合M（0，4）可得直线l的方程为y=±x 4.
点评：我们采用了“设而不求”的方法，通过A，B的坐标求得kAB，这是处理直线与圆锥曲线相交问题的常用方法.
从上面的例子可以看出，以竞赛试题为背景的高考题考查的知识和方法并不特殊，解法却具有一定的“巧妙性”，要确定解题思路有一定难度.
不过这类高考题的难度和竞赛题相比仍然相差甚远.一方面，有些试题只是体现了竞赛原题的一种特殊情况（如例2），难度大大下降；另一方面，这类试题的解题方法还是限定在中学数学知识范畴内.所以，面对具有竞赛背景的高考试题，我们没有必要太紧张，要在“战略上藐视它们，战术上重视它们”.为了更好地解决这类问题，在复习时应注意以下几点：
（1） 掌握解决问题的通性通法，这一直是高考考查的重点.
例如，在处理直线与圆锥曲线的位置关系时，经常要用到“设而不求”“韦达定理”等方法；思考立体几何问题时，经常要把问题从空间转化到平面内加以解决.只有掌握好通性通法，才能在这个基础上理解变通、灵活思考.
（2）注意提高自己分析问题的能力.
以竞赛试题为背景的高考题对解题思路的要求较高.要解决一个具有新情景或新思路的问题，首先要理解这个问题，抓住解决问题的关键所在.比如在例1中，对任一正整数a，要找到满足条件的正整数b，c（b （3）适当做一些数学竞赛试题.
对一些学有余力、数学成绩比较优秀的同学来讲，适当做一些竞赛题能提高解决这类问题的能力，但这要因人而异，不能“走火入魔”.同学们可以从诸如《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》这类参考书中找一些预赛题来练练手，因为预赛中大部分题目的难度和高考题是相近的.
但高考和竞赛这两种考试共有的选拔功能又决定了两者之间可以相互借鉴，所以高考试题中经常出现竞赛数学思想，以竞赛试题为背景，考查同学们灵活解题的能力.这些试题往往出现在客观题与主观题的压轴部分.
不过，具有竞赛试题背景的高考题并不像同学们想象的那么可怕，因为它们考查的本质还是高中数学的知识和方法.下面我们就以几道具有竞赛背景的高考试题为例，体验这类问题的思考方法与解决方法.
利用解方程的思想
例1 [2010年高考数学江西卷理科第22题第（1）问] 证明以下命题：对任一正整数a，都存在正整数b，c （b
看了这个解答后，我们肯定会疑惑：为什么要取特殊值12，52，72构成等差数列？这种解法是如何想到的？让我们一起来分析一下.
未知数个数多于方程个数的方程被称为不定方程，不定方程是初等数论中的一个重要内容，也是高中数学竞赛的考查内容之一.例1就是以不定方程为背景命制的题目.
由题意可知2b2=a2 c2，a
点评： 解答例1的关键在于把题目的条件转化成一个方程，虽说这是一个不定方程，但我们只要理解问题的本质，就可以利用解方程的思想，用凑数法求出这个不定方程的解，从而解决问题.
转化到平面内
例2 [2008年高考数学辽宁卷（理科）第11题] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线
（A） 不存在 （B） 有且只有两条 （C） 有且只有三条 （D） 有无数条
例3 [1997年全国高中数学联合竞赛一试第6题] 如果空间中三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有
（A） 0条 （B） 1条
（C） 多于1 条的有限条 （D） 无穷多条
解析： 例2其实是例3的一种特殊情况：如果把例3中三条两两成异面直线的直线a，b，c置于正方体ABCD-A1B1C1D1内，使之成为A1D1，EF，CD，那例3就成了例2.
如何解答例2呢？我们先观察图形，看看能不能找到一条与A1D1，EF，CD都相交的直线.
如图1所示，我们发现，A1C与A1D1，CD相交，由于A1C不平行于EF且与EF同在平面ACC1A1内，所以A1C与EF也相交，故A1C就是满足条件的一条直线.
同理，由于DE与EF，CD相交，如果延长DE，则DE显然与D1A1的延长线相交，因此DE也满足条件.
由于D1F与A1D1，EF相交，如果延长D1F，则D1F一定与DC的延长线相交，所以D1F也满足条件.
为什么A1C（或DE，D1F）可以在与A1D1，EF，CD其中两条直线相交的情况下，也与第三条直线相交？这是因为它与第三条直线共面.于是我们就产生了一个逆向思维：“先定面，再定线”.
我们可以在EF上任意取一点M，再设法过点M作与A1D1（或CD）相交的直线，这需要把A1D1（或CD）与点M放到一个平面里来看，解题思路由此展开：
如图2所示，由直线A1D1与M确定一个平面KND1A1，该平面与CD有且仅有1个交点N.延长NM交A1D1于点L，可知直线LMN与A1D1，EF，CD都相交.当M取不同的位置时，平面KND1A1和点N也会随之变化，直线LMN与这3条异面直线都有交点，所以符合条件的直线有无数条，选D.
点评： 例2给我们的感觉有点“天马行空”，但如果我们掌握了解决立体几何问题的方法，即把空间问题转化到一个平面内加以解决，难题就不再难了.
找准公式解决问题
例4 [2010年高考数学浙江卷自选模块第3题第（1）问] 设正实数a，b，c满足abc≥1，求 的最小值.
例5 [1988年第二届国际中学生数学友谊赛十年级第1题] 设a，b，c为正实数，求证： ≥.
解析： 柯西不等式属于浙江省高考自选模块部分的考查内容，也一直是高中数学竞赛中的重要内容.因此，自选模块中涉及柯西不等式的试题难免会带有竞赛的味道.你们看，例4和例5多么相像！不过例5只要利用柯西不等式就能够证明，而例4除了要用柯西不等式，还要结合均值不等式才能求出最小值.
在例4中，为了求出 的最小值，我们希望能将问题转化为“ ≥f1（a，b，c）≥…≥fn（a，b，c）≥某常数”的形式，且等号能够同时成立.注意到（a 2b） （b 2c） （c 2a）=3（a b c），而a b c≥3，再结合条件“abc≥1”，上述不等式链就能以一个常数收尾，问题迎刃而解. 由柯西不等式可得
·[（a 2b） （b 2c） （c 2a）]≥（a b c）2，所以 ≥≥≥1，当a=b=c=1时，以上几个不等式同时取到等号，所以 的最小值为1.
点评： 解答例4时，我们发现了等式（a 2b） （b 2c） （c 2a）=3（a b c），并由此联想到借助柯西不等式解决问题，用此法再来解决例5就易如反掌了.
运用设而不求的方法
例6 [2011年高考数学浙江卷（理科）第21题第（2）问] 如图3所示，已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2 （y-4）2=1的圆心为点M.点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.
例7 [2008年全国高中数学联合竞赛一试第15题] 如图4所示，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x-1）2 y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值.
解析：一看例6和例7的图象，我们就知道这两道题目肯定脱不了干系.例6确实是由例7改编而来的.两题的背景十分相似，都是过抛物线上一点作抛物线内部一个圆的两条切线，但两题的问题不同.例6讨论的是过点P的圆的切线与抛物线交于A，B，当直线AB与PM垂直时，求PM的方程；例7要求的是过点P的圆的切线与y轴的交点所构成的三角形的面积的最小值.这两题的解法如出一辙，都需利用设而不求法与韦达定理解决问题.
在例6中，由题意可知M（0，4），要求直线l的方程，就要求点P的坐标.
我们设P（t，t2），切线的斜率为k，则切线方程是y-t2=k（x-t），整理得kx-y-kt t2=0.由点M到切线的距离为1可得=1，整理得（t2-1）k2 2t（4-t2）k （t2-4）2-1=0 （①）.
设A（x1，[x1][2]），B（x2，[x2][2]），PA，PB的斜率分别为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是方程①的两个根，所以k1 k2=，k1k2=.
联立PA的方程与抛物线方程可得x2-k1 k1t-t2=0.因为P为抛物线与切线的公共点，故t为该方程的一个解，由韦达定理解得x1=k1-t.同理，联立PB的方程与抛物线的方程，可得x2=k2-t.所以kAB==x1 x2=k1 k2-2t=-2t，又kMP=，由直线l⊥AB可得kAB·kMP=-1，解得t2=，所以P±
，
，结合M（0，4）可得直线l的方程为y=±x 4.
点评：我们采用了“设而不求”的方法，通过A，B的坐标求得kAB，这是处理直线与圆锥曲线相交问题的常用方法.
从上面的例子可以看出，以竞赛试题为背景的高考题考查的知识和方法并不特殊，解法却具有一定的“巧妙性”，要确定解题思路有一定难度.
不过这类高考题的难度和竞赛题相比仍然相差甚远.一方面，有些试题只是体现了竞赛原题的一种特殊情况（如例2），难度大大下降；另一方面，这类试题的解题方法还是限定在中学数学知识范畴内.所以，面对具有竞赛背景的高考试题，我们没有必要太紧张，要在“战略上藐视它们，战术上重视它们”.为了更好地解决这类问题，在复习时应注意以下几点：
（1） 掌握解决问题的通性通法，这一直是高考考查的重点.
例如，在处理直线与圆锥曲线的位置关系时，经常要用到“设而不求”“韦达定理”等方法；思考立体几何问题时，经常要把问题从空间转化到平面内加以解决.只有掌握好通性通法，才能在这个基础上理解变通、灵活思考.
（2）注意提高自己分析问题的能力.
以竞赛试题为背景的高考题对解题思路的要求较高.要解决一个具有新情景或新思路的问题，首先要理解这个问题，抓住解决问题的关键所在.比如在例1中，对任一正整数a，要找到满足条件的正整数b，c（b
对一些学有余力、数学成绩比较优秀的同学来讲，适当做一些竞赛题能提高解决这类问题的能力，但这要因人而异，不能“走火入魔”.同学们可以从诸如《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》这类参考书中找一些预赛题来练练手，因为预赛中大部分题目的难度和高考题是相近的.