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摘要：以数学学科的本质为依据， 分析理想的数学课程设计应关注的几个基本问题，以及我国数学课程教学在内容和过程上存在的缺陷。在此基础上，从完善课程内容和加强实践环节、变革数学教与学的方式、培养学生的观察与发现能力等方面，阐释了“做数学”的育人价值。
关键词：“做数学”;育人价值;数学课程;数学教学
江苏“做数学”团队贯彻“以学生的发展为本” 的教学理念，让学生通过“做数学”，在潜移默化中提升数学素养。正如“做数学”的积极倡导者董林伟所说，“做数学”是以“做”为支架的一种数学学习活动，是以学生运用材料和工具，动手动脑相协同，以人人参与为特征的数学活动。因此，“做”是其精义和主旨所在，既有数学知识领悟的追求，又有学习方式变革的考虑，概括而言，是在发挥数学学科独特的育人价值上有所突破。下面，我们先分析数学课程设计应关注的主要因素，再分析我国数学课程与教学中存在的问题，在此基础上讨论“做数学”在改变现状中做了什么，进而得出“做数学”的育人价值。
一、数学课程变革的理想
我们知道，数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，而数学的研究对象都不是客观现实的存在。例如，在数量关系方面，实数似乎是“实实在在的数”，但其实不是先天存在的实在之物， 而是在有理数的基础上按一定的方式定义的抽象元素;同样，在空间形式方面，我们所处的三维空间似乎很实在，但欧氏几何中研究的各种几何图形也不是真实的存在。数学对象与内容的高度抽象性，以及教科书对数学知识的结果式呈现，为教学中“重结果，轻过程”以及“一个定义，三项注意， 几个例题，大量练习”的教学方式提供了天然的“温床”。那么，应该如何变革数学课程呢？
从分析和解决问题的角度看，数学为人们提供了一种思考的结构和交流的符号形式。这种结构和符号形式是强大的，富有逻辑、简明而且精确，是人们可以借助于理解和处理周围环境的一種思维方式。这种思维方式包括抽象化、运用符号、建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断地改进、推广，更深入地洞察内在的联系，在更大的范围内概括，建立更为一般的统一理论等一整套严谨的、行之有效的科学方法。这是在获得数学结论、建立数学知识体系的过程中必须使用的思维方式。显然，掌握“双基”是数学教育的基本目标，而学生形成上述思维方式则是数学育人的最大价值。
因此，数学课程内容的设计必须为学生提供有价值的、富有挑战性的数学学习过程，为学生形成数学的思维方式提供有效载体，以激发学生对数学的广泛兴趣，促使学生认识数学在信息化社会中的重要性，提高学生使用数学思想、方法和技术处理问题的信心，使学生掌握运用数学认识和解决问题的智慧和方法。
这样，设计数学课程内容就必须以“过程与结果的完美结合”为目标指向，以“事实—概念（本质）—性质（关系）—结构（联系）—应用”为明线， 以“事实—方法—方法论—学科本质观”为暗线， 为学生开展如下数学活动提供载体：（1）获得数学对象。从数学与现实的联系和数学内在的前后一致性、逻辑连贯性中发现和提出问题，经历分析、归纳、抽象、概括等思维活动而获得数学概念。（2）研究数学对象。在一般观念的引导下，发现数学对象的本质、规律、关系等，获得猜想，并通过数学的运算、推理等，证明结论，获得数学的定理、性质、公式、法则等。（3）应用数学知识。利用数学概念、原理，分析和解决数学内外的各种问题。这是一个完整的数学研究过程。只有让学生经历这样的完整过程，才能使“四基”“四能”真正落地。
实际上，“事实—概念”主要是“抽象”，即对典型而丰富的具体事例进行观察、比较、分析，归纳共性，抽象本质，并概括到同类事物中而形成概念;“概念—性质”主要是“推理”，包括运用概念通过归纳推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质;“性质—结构”主要也是“推理”，是发现关系、建立联系而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构的过程;“结构—应用”蕴含了“建模”，是利用数学知识解决数学内外的问题。
同时，在构建课程内容的过程中，要注重“一般观念”的引领作用，加强“如何思考”“如何发现” 的启发和引导，特别是在概念的抽象要做什么、“几何性质”“代数性质”“函数性质”指什么等问题上，“启发学者，示以思维之道”。
二、我国数学课程与教学的缺陷
按照上述要求，反观我们的数学课程，可以发现，欠缺的内容主要是：概括概念所必需的“事实”、归纳性质所需要的素材、训练应用能力所需要的好问题。这里的“事实”“素材”“好问题”等是学生理解数学知识的源泉，就像品质优良的果实必须有肥沃的土地提供丰富且优质的营养一样， 缺少这些就必然造成知识理解的先天不足。
由此造成的教学问题是，教学过程功利化、形式化，不能有效调动学生的各种感官参与学习活动;学习过程单一，学习活动缺乏灵活性，学生“悟”的过程太短甚至没有。常常是直接告诉知识，立即进行大量重复性训练。这样的教学很难使学生对知识产生强烈兴趣，也难以使学生主动学习，更难以培养那种专注于数学问题的习惯;学生可能成为“熟练工”，但肯定成不了领导者、科学家、思想家等。
三、“做数学”的育人价值
“做数学”在弥补我国义务教育数学课程与教学的欠缺，实现数学课程改革的理想上进行了较为全面的探索，其育人价值主要体现在如下几个方面。
（一）完善课程内容，加强实践环节
“做数学”从完善课程内容、加强实践环节入手，有针对性地探索义务教育数学课程与教学的改革，其要点是：增加概括概念、发现性质所需的素材，提供丰富的、真实的应用问题;安排动眼观察、动手操作、动脑思考的实践活动，使学生通过自主活动获取理解概念所需的“事实”，从而形成对概念本质的深刻体悟;延长知识的获得过程，给学生提供感悟知识精髓的时间和空间，培养学生渴求知识的感觉，使学生获得“如何思考”的智慧。特别是在那些看上去简单但处于基础地位的概念、原理的学习上，强调学生通过动手“做”而获得亲身感悟，形成“如何思考”的体验，使学生经历“感知—感悟—知识”的过程，让知识变成智慧。
（二）给师生的教与学方式带来实质性变化
“做数学”对学生的学习方式和教师的教学方式产生了全方位的影响。
从认知方面看，在“做数学”中，学生要调动各种感官参与数学认知活动，通过观察、操作、实验等实践活动，获得抽象数学概念、发现数学规律所需要的现实材料，在此基础上开展分析、归纳、抽象、概括等思维活动，抽取共性，得出规律，进而获得数学原理和性质，并获得解决问题的方法的启发。
“做数学”使用的是体验式学习方式，学生在“做数学”的过程中可以获得抽象数学概念、数学原理的直接体验。通过“做数学”，学生不仅经历数学对象的要素、数学概念的内涵的抽象过程，数学法则、性质、定理、公式等的归纳和发现过程，而且产生“如何研究”“如何发现”的方法论感悟。“做数学”使得数学知识成为学生自己发现的结果，为学生理解数学知识奠定坚实的基础，同时也使学生对应用知识的背景条件形成完整的认识。
从非认知因素方面看，“做数学”可以极大地激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情，引发学生的好奇心，使学生以一种积极的态度投入实验探究活动中。积极的情感体验是激发灵感的强大动力，可以促使创造性思维的产生。
（三）让学生学会观察与发现
数学的显著特点是它的高度抽象性。越是抽象的科学，越要从实践中汲取营养和力量;同样， 抽象知识的学习也要从亲身实践中获得体验，要从具体事例的共性、规律的认知入手。“做数学” 就为学生创造了动手操作、动眼观察的机会，帮助学生逐步学会通过观察与实验发现事物的本质和规律的方法，培养观察力和洞察事物本质进而得出事物规律的能力。
四、结束语
热衷探索未知事物是学生的天性，需要教师倍加爱护。我们常常因自己对学生心理的无知而低估了学生的创造力，在无意间扼杀了学生探索新事物的兴趣和热情。“做数学”是激发学生对未知世界的好奇心、培养学生探索事物本质和规律的欲望、发展学生创新思维的好方法，是培养学生实践能力和创新精神的有力举措，也是推进育人方式改革的有力抓手。
（章建跃，人民教育出版社中学数学室主任， 课程教材研究所研究员。编审，博士。研究方向： 发展与教育心理学，数学教育。）
关键词：“做数学”;育人价值;数学课程;数学教学
江苏“做数学”团队贯彻“以学生的发展为本” 的教学理念，让学生通过“做数学”，在潜移默化中提升数学素养。正如“做数学”的积极倡导者董林伟所说，“做数学”是以“做”为支架的一种数学学习活动，是以学生运用材料和工具，动手动脑相协同，以人人参与为特征的数学活动。因此，“做”是其精义和主旨所在，既有数学知识领悟的追求，又有学习方式变革的考虑，概括而言，是在发挥数学学科独特的育人价值上有所突破。下面，我们先分析数学课程设计应关注的主要因素，再分析我国数学课程与教学中存在的问题，在此基础上讨论“做数学”在改变现状中做了什么，进而得出“做数学”的育人价值。
一、数学课程变革的理想
我们知道，数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，而数学的研究对象都不是客观现实的存在。例如，在数量关系方面，实数似乎是“实实在在的数”，但其实不是先天存在的实在之物， 而是在有理数的基础上按一定的方式定义的抽象元素;同样，在空间形式方面，我们所处的三维空间似乎很实在，但欧氏几何中研究的各种几何图形也不是真实的存在。数学对象与内容的高度抽象性，以及教科书对数学知识的结果式呈现，为教学中“重结果，轻过程”以及“一个定义，三项注意， 几个例题，大量练习”的教学方式提供了天然的“温床”。那么，应该如何变革数学课程呢？
从分析和解决问题的角度看，数学为人们提供了一种思考的结构和交流的符号形式。这种结构和符号形式是强大的，富有逻辑、简明而且精确，是人们可以借助于理解和处理周围环境的一種思维方式。这种思维方式包括抽象化、运用符号、建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断地改进、推广，更深入地洞察内在的联系，在更大的范围内概括，建立更为一般的统一理论等一整套严谨的、行之有效的科学方法。这是在获得数学结论、建立数学知识体系的过程中必须使用的思维方式。显然，掌握“双基”是数学教育的基本目标，而学生形成上述思维方式则是数学育人的最大价值。
因此，数学课程内容的设计必须为学生提供有价值的、富有挑战性的数学学习过程，为学生形成数学的思维方式提供有效载体，以激发学生对数学的广泛兴趣，促使学生认识数学在信息化社会中的重要性，提高学生使用数学思想、方法和技术处理问题的信心，使学生掌握运用数学认识和解决问题的智慧和方法。
这样，设计数学课程内容就必须以“过程与结果的完美结合”为目标指向，以“事实—概念（本质）—性质（关系）—结构（联系）—应用”为明线， 以“事实—方法—方法论—学科本质观”为暗线， 为学生开展如下数学活动提供载体：（1）获得数学对象。从数学与现实的联系和数学内在的前后一致性、逻辑连贯性中发现和提出问题，经历分析、归纳、抽象、概括等思维活动而获得数学概念。（2）研究数学对象。在一般观念的引导下，发现数学对象的本质、规律、关系等，获得猜想，并通过数学的运算、推理等，证明结论，获得数学的定理、性质、公式、法则等。（3）应用数学知识。利用数学概念、原理，分析和解决数学内外的各种问题。这是一个完整的数学研究过程。只有让学生经历这样的完整过程，才能使“四基”“四能”真正落地。
实际上，“事实—概念”主要是“抽象”，即对典型而丰富的具体事例进行观察、比较、分析，归纳共性，抽象本质，并概括到同类事物中而形成概念;“概念—性质”主要是“推理”，包括运用概念通过归纳推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质;“性质—结构”主要也是“推理”，是发现关系、建立联系而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构的过程;“结构—应用”蕴含了“建模”，是利用数学知识解决数学内外的问题。
同时，在构建课程内容的过程中，要注重“一般观念”的引领作用，加强“如何思考”“如何发现” 的启发和引导，特别是在概念的抽象要做什么、“几何性质”“代数性质”“函数性质”指什么等问题上，“启发学者，示以思维之道”。
二、我国数学课程与教学的缺陷
按照上述要求，反观我们的数学课程，可以发现，欠缺的内容主要是：概括概念所必需的“事实”、归纳性质所需要的素材、训练应用能力所需要的好问题。这里的“事实”“素材”“好问题”等是学生理解数学知识的源泉，就像品质优良的果实必须有肥沃的土地提供丰富且优质的营养一样， 缺少这些就必然造成知识理解的先天不足。
由此造成的教学问题是，教学过程功利化、形式化，不能有效调动学生的各种感官参与学习活动;学习过程单一，学习活动缺乏灵活性，学生“悟”的过程太短甚至没有。常常是直接告诉知识，立即进行大量重复性训练。这样的教学很难使学生对知识产生强烈兴趣，也难以使学生主动学习，更难以培养那种专注于数学问题的习惯;学生可能成为“熟练工”，但肯定成不了领导者、科学家、思想家等。
三、“做数学”的育人价值
“做数学”在弥补我国义务教育数学课程与教学的欠缺，实现数学课程改革的理想上进行了较为全面的探索，其育人价值主要体现在如下几个方面。
（一）完善课程内容，加强实践环节
“做数学”从完善课程内容、加强实践环节入手，有针对性地探索义务教育数学课程与教学的改革，其要点是：增加概括概念、发现性质所需的素材，提供丰富的、真实的应用问题;安排动眼观察、动手操作、动脑思考的实践活动，使学生通过自主活动获取理解概念所需的“事实”，从而形成对概念本质的深刻体悟;延长知识的获得过程，给学生提供感悟知识精髓的时间和空间，培养学生渴求知识的感觉，使学生获得“如何思考”的智慧。特别是在那些看上去简单但处于基础地位的概念、原理的学习上，强调学生通过动手“做”而获得亲身感悟，形成“如何思考”的体验，使学生经历“感知—感悟—知识”的过程，让知识变成智慧。
（二）给师生的教与学方式带来实质性变化
“做数学”对学生的学习方式和教师的教学方式产生了全方位的影响。
从认知方面看，在“做数学”中，学生要调动各种感官参与数学认知活动，通过观察、操作、实验等实践活动，获得抽象数学概念、发现数学规律所需要的现实材料，在此基础上开展分析、归纳、抽象、概括等思维活动，抽取共性，得出规律，进而获得数学原理和性质，并获得解决问题的方法的启发。
“做数学”使用的是体验式学习方式，学生在“做数学”的过程中可以获得抽象数学概念、数学原理的直接体验。通过“做数学”，学生不仅经历数学对象的要素、数学概念的内涵的抽象过程，数学法则、性质、定理、公式等的归纳和发现过程，而且产生“如何研究”“如何发现”的方法论感悟。“做数学”使得数学知识成为学生自己发现的结果，为学生理解数学知识奠定坚实的基础，同时也使学生对应用知识的背景条件形成完整的认识。
从非认知因素方面看，“做数学”可以极大地激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情，引发学生的好奇心，使学生以一种积极的态度投入实验探究活动中。积极的情感体验是激发灵感的强大动力，可以促使创造性思维的产生。
（三）让学生学会观察与发现
数学的显著特点是它的高度抽象性。越是抽象的科学，越要从实践中汲取营养和力量;同样， 抽象知识的学习也要从亲身实践中获得体验，要从具体事例的共性、规律的认知入手。“做数学” 就为学生创造了动手操作、动眼观察的机会，帮助学生逐步学会通过观察与实验发现事物的本质和规律的方法，培养观察力和洞察事物本质进而得出事物规律的能力。
四、结束语
热衷探索未知事物是学生的天性，需要教师倍加爱护。我们常常因自己对学生心理的无知而低估了学生的创造力，在无意间扼杀了学生探索新事物的兴趣和热情。“做数学”是激发学生对未知世界的好奇心、培养学生探索事物本质和规律的欲望、发展学生创新思维的好方法，是培养学生实践能力和创新精神的有力举措，也是推进育人方式改革的有力抓手。
（章建跃，人民教育出版社中学数学室主任， 课程教材研究所研究员。编审，博士。研究方向： 发展与教育心理学，数学教育。）