用“指内向外”的法向量可求二面角

• 作 者: 韩伍方
• 出 处: 新校园·阅读（下旬刊）
• 发表日期: 2010年6期
• 关键词: 平面法向量 二面角 立体几何 不确定性 问题 方法

　　在立体几何中，用平面的法向量求二面角的方法已经为所大家所熟知，然而由于平面法向量方向的不确定性，选择合适的法向量就成了一个问题。笔者发现，只要平面的法向量能“指内向外”就可以求二面角了，即：法向量能够一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部就可以求二面角。
　　其理如下图
　　
　　其中θ=n^ n＞
　　n为β的法向量，指向二面角α-l-β的内部；n为α的法向量，指向二面角α-l-β的外部。BC⊥l,DC⊥l，∠BCD为二面角α-1-β的平面角。
　　在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝Rt∠故有θ=∠BCD
　　例1：（2005年高考湖南卷第17题）如图1已知ABCD是上底、下底长分别为2和6，高为OO1=的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角如图2(Ⅰ）证明：AC⊥BP1
　　(Ⅱ) 求二面角O-AC-O1的大小
　　解：(Ⅰ）证明：由题设可知：OA⊥OO1，OB⊥OO1，故∠AOB是所成直二面角的平面角，即OA⊥OB.
　　以O为原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图2，则A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）
　　从而=（-3，1，），=（0，-3，）
　　 =-3+ =0∴⊥即AC⊥BO1
　　（Ⅱ）因为BO1OC=-3+=0故BO1⊥OC由（Ⅰ）知AC⊥BO1
　　所以BO1⊥平面OAC∴是平面OAC的一个法向量
　　由图可以判断出指向二面角O-AC-O1的内部。
　　设=（x,y,1）是平面O1A的一个法向量
　　由=0=0 即-3x+y+=0y=0得x=y=0
　　=(,0,1)
　　由图可以判断出指向二面角O-AC-O的外部。
　　设二面角的大小为θθ=（^）
　　cosθ=cos（（^）==
　　∴θ=arccos
　　若所求法向量同时指向二面角的内部或外部，只需取其中一个法向量的相反向量作为新的法向量参加求二面角即可。
　　例2：如图3PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=
　　解：如图形以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴的正向，建立空间直角坐标系，（下转第66页）（上接第64页）则B（1，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，3，0）从而=（-1，0，1），=（0，1，0）=（0，-3，1），=（1，-2，0）
　　设平面PBC的一个法向量1=（x,y,1）
　　则 =-x+1=0=y=0得x=1y=0∴=（1，0，1）指向二面角的外部
　　设平面PCD的一个法向量2=（x,y,1）
　　则2=x-2y=0=-3y+1=0 即x=y=∴2=（，，1）指向二面角的外部
　　可取-=（-，-，-1）作为平面PCD的一个新法向量，则-指向二面角B-PC-D的内部。
　　设二面角大小为θ则θ=（1-）
　　cosθ=cos（1,-)===-
　　∴θ=π-arccos
　　从以上两个例子可以看出：法向量指向二面角的内部或外部时是可以从图中判断出来的。因此，我们用法向量求二面角时，要求所求的法向量“指内向外”时就能求二面角了。
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文