局部柯西不等式及其妙用

• 作 者: 舒红霞 徐国辉
• 出 处: 数理化学习·教育理论版
• 发表日期: 2011年1期
• 关键词: 局部 柯西不等式 讨论 历史 焦点

　　柯西不等式也称Cauchy-Schwarz不等式，它从诞生到现在已经有一百多年的历史，对于这个重要而且近乎完美的不等式，如何灵活而巧妙的应用是我们讨论的焦点.笔者通过研究发现柯西不等式仍在发展中，尤其在近几年，围绕“局部柯西不等式”的应用很多，本文给出几个例子.
　　定义：局部柯西不等式：设a1,a₂,…,an,b,c(n∈N+)都是非负数，则不等式(a1+a₂+…+an+b)•(a1+a₂+…+
　　an+c)≥(a1+a₂+…+an+bc)2当且仅当b=c时取等号.
　　例1 正实数x,y,z满足xyz≥1,证明：
　　x5-x2
　　x5+y2+z2
　　+y5-y2
　　y5+z2+x2
　　+z5-z2z5+x2+y2
　　≥0.证明：原不等式等价于：（x2-x5x5+y2+z2+1)+
　　(y2-y5y5+z2+x2+1)+
　　(z2-z5z5+x2+y2
　　+1)≤3即x2+y2+z2
　　x5+y2+z2
　　+x2+y2+z2
　　y5+x2+z2
　　+x2+y2+z2z5+x2+y2
　　≤3.
　　
　　由局部柯西不等式及xyz≥1知：
　　(x5+y2+z2)(yz+y2+z2)≥(x2+y2+z2)2
　　即
　　x2+y2+z2x5+y2+z2
　　≤yz+y2+z2x2+y2+z2，同理可得另外两式，所以：
　　x2+y2+z2x5+y2+z2
　　+x2+y2+z2
　　y5+z2+x2+
　　x2+y2+z2
　　z5+x2+y2
　　≤2(x2+y2+z2)+xy+xz+yz
　　x2+y2+z2
　　≤3.
　　
　　说明:本题是第46届IMO试题，通过局部柯西不等式构造了一个零件不等式(局部不等式),
　　巧妙得解.本题更一般的情况是：实数x,y,z满足
　　xyz≥1,n∈N+ 证明：
　　x5n-x2n
　　x5n+y2n+z2n
　　+y5n-y2ny5n+z2n+x2n
　　+z5n-z2n
　　z5n+x2n+y2n
　　≥0.
　　同时，仿照本题的证法我们在同样的条件下还可以证明：
　　x2x5+y2+z2
　　+y2y5+z2+x2
　　+z2z5+x2+y2
　　≤1.
　　例2 已知
　　a,b,c>0
　　，且1a+b+1+1b+c+1+
　　1c+a+1≥1，证明：
　　a+b+c≥ab+ac+bc.
　　证明:利用局部柯西不等式得：
　　(a+b+1)(a+b+c2)≥(a+b+c)2.
　　所以1a+b+1≤
　　a+b+c2(a+b+c)2，同理可得另外两式，所以：
　　1a+b+1
　　+1b+c+1+1c+a+1
　　≤
　　a+b+c2+a2+b+c+a+b2+c(a+b+c)2
　　即：
　　
　　1≤a+b+c2+a2+b+c+a+b2+c(a+b+c)2
　　整理得：a+b+c≥ab+ac+bc.
　　说明：本题是2007年巴尔干数学奥林匹克试题，该题与参考文献［3］中的第20个不等式几乎完全相同：正实数x,y,z满足关系x+y+z≥xy+xz+yz，求证：
　　11+x+y
　　+11+y+z
　　+11+z+x
　　≤1.
　　
　　例3 设
　　x,y,z是非负数，且
　　x2+y2+z2=3，证明：
　　xx2+y+z
　　+yy2+z+x
　　+
　　zz2+x+y
　　≤3.
　　
　　证明：由局部柯西不等式得：
　　(x2+y+z)(1+y+z)≥(x+y+z)2.
　　所以
　　1x2+y+z
　　≤1+y+zx+y+z
　　，同理也可得另外两式，
　　同时由柯西不等式3(x2+y2+z2)≥
　　(x+y+z)2及x2+y2+z2=3可知：
　　x2+y2+z2≥x+y+z,
　　所以只要证明
　　[5,5”]
　　x1+y+z+
　　y1+z+x+z1+x+yx+y+z
　　≤3.
　　再由柯西不等式得
　　x1+y+z +
　　y[KG-*2]1+z+x
　　+z1+x+y
　　≤x+y+z
　　x+y+z+2xy+2xz+2yz
　　≤
　　x+y+z
　　x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
　　=
　　(x+y+z)3,
　　即
　　x1+y+z+y1+z+x+z
　　1+x+yx+y+z
　　≤
　　x+y+z≤x2+y2+z2
　　=3.
　　说明:本题是2008年乌克兰数学奥林匹克试题，本题的证明可谓将柯西不等式发挥的淋漓尽致.如果将本题稍加改编，可以得出新题：设x,y,z是非负数，且
　　x2+y2+z2=3，证明：
　　x3
　　x2+y+z
　　+y3y2+z+x
　　+z3[KF(]z2+x+y[KF)]≥3.
　　练习：
　　1. (2008年Oliforum竞赛试题)设
　　a,b,c>0，满足ab+ac+bc=3，证明：a2+b2+c2+3
　　≥a(3+bc)2
　　(b+c)(b2+3)+b(3+ac)2
　　(c+a)(c2+3)
　　+c(3+ab)2
　　(a+b)(a2+3)
　　
　　2. (2008年乌克兰数学奥林匹克试题) 已知a,b,c,d是正数，求证：
　　(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)(1+4[]abcd)4
　　≥16abcd(1+a)(1+b0)(1+c)(1+d).
　　
　　参考文献:
　　［1］韦吉珠,黎金传,王卫华.高中数学竞赛真题评析.杭州:浙江大学出版社,2009.9.
　　［2］ 陈计,季潮丞.代数不等式.上海:上海科技教育出版社,2009.8.
　　［3］ 安振平.二十六个优美不等式［J］.中学数学教学参考（上旬）,2010,1-2.