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【摘 要】 数感指的是学生对数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟，既有感知的成分又有思维的参与。培养数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。鉴于此，我们需要根据数感的层级性有策略地对学生进行培养：结合生活实际激发学生兴趣；通过实践体验，获得认知；通过动手操作，察觉数感的意义；通过估算训练，熟练数量之间的关系；通过综合性问题解决练习，使学生的数感素养得到验证与升华。
【关键词】 数感；层级性；数与数量；数量关系；运算结果估计
【中图分类号】G63.21 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2013）24-0-02
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，在数学课程中，应当注重发展学生的数感。然而，在实际教学中，把数感作为课堂教学目标对学生进行培养，较难把握。但是有一点是需要认清的，也就是数感的培养具有层次性。基于此种认识，本文拟就小数生数感培养的层级性进行一点思考。
一、数感的层级性分析
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。“感”即感知，“悟”即领悟，数感既有感知的成分，又有思维的成分。对小学生来讲，从感知到领悟需要一个过程，从数到数量，到数量关系，再到运算结果的估计等都是一个渐进的过程，这个过程不可能一蹴而就，总体呈现层级性征。
（一）感悟数与数量
在小学低年级阶段，儿童对数的感悟是从数数学习辨认各组实物对象的多少开始建立的。因此儿童对多少的感悟需要经历一个察觉实物集合中所包含的物体数量多少的过程，从而积累并形成对量的多少的感知。在这一层级中，数数是第一层次，即用自然数表示多少，是儿童学习用数表示多少的第一步。在数数的过程中，他们能把数量词与其代表的少量物体联系起来，发现数字与客体数量的一一对应关系，进而理解数字的意义和大小，并且逐渐过渡到数大量的物体。这也是一个渐进的过程。与此同时，他们会形成这样的经验：数数的顺序不会改变数数的结果；数的过程中下一个数比上一个数多一；数数中的最后一个数不但代表这个数，也代表了这组物体的总数（事实上就序数与基数相等）。另外，随着学习年级的增高，学生还会经历更多的对数意义的感悟，如对分数、负数、有理数……的感悟，并形成对数的各种表征方式的理解，比如，他们会知道1/4，25%，00.25是同一个数的不同表示。对数与数量建立起来的数感常常与实际情境关联，比如对数量单位的认识，提起来教室的长度，应该想到米，提到两个城市的距离则应该想到千米。这样，一个小学生会质疑一个宣传牌中所说“7000平方米森林中生活着两只东北虎”是否成立？结合实际情境，学生的数感起到了判断的作用。
（二）感悟数量关系
相对于数与数量的概念来讲，对数量关系的感悟是学生数感的较高层次。当学生能够将数与数之间，数与量之间建立联系的时候，数感也就达到了一种较高的层次。比如学生在学习分数概念后，会建立起整体与部分之间关系的感知；依赖于具体情境或图形，会分辨两个分数的大小。“随着他们数感的增强，学生应该能够用数进行推理。例如‘1/2+3/8’一定小于一，因为每个加数都小于或等于1/2。”随着年级的升高和数系的扩充，学生对数量关系的感悟会逐步提升，比如对有理数的大小，以至于一些函数所表示的数量关系的感悟。学生对一些相对综合而显得复杂一点的数量关系的感悟常常是伴随着具体的问题情境而展开的。比如，具有一定数感的学生坐上出租车，他不会对车上的计价器熟视无睹，他会关注跳动的数码，并对数码变动的间隔时间、出租车已行路程、起步价及每千米价、到达目的地的路程等数量及相互关系在头脑中作出反应，并形成判断。这里形成的数感是学生对具体问题所涉及的数量关系的整体把握。
（三）估计运算结果
根据数量关系估计运算结果，是学生数感发展的一个更高层次。数的运算也是数学课程中所占学时较多的内容。并且，在新课程改革背景下，通过运算培养学生的估算意识和能力，以此发展学生的数感成为我们现在课程教学的目标。在不同学段，课程标准中对这方面的要求也不一样，并且带有层次性。如《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“数与代数”部分第一学段的要求与表述是“在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计”“能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”；第二学段的要求与表述为“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进估算”“会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值”；第三学段的要求与表述是“能用有理数估计一个无理数的大致范围”。其实，对运算结果的估计涉及的因素很多，如对参与运算的数与量意义及关系的理解、对运算方法的选择与判断、对运算方式角度的把握、对具体情境的数量化的处理等，所以，对运算结果的估计反映的是学生对数学对象更为综合的数感。
二、数感的培养与建立
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，有助于学生理解或表述具体情境中的数量关系。然而，数感的形成不是通过一个单元或一个学期教学能完成的，它是一个潜移默化的过程，需要在教学中逐步培养。在教学过程中可以根据数感的层级性特征，结合学生数感形成规律对学生进行循序渐进的培养。
（一）联系生活，感情先行
诚如列宁所说，没有人的感情，就没有也不可能有对真理的追求。没有人的感情，没有学生对数的意识与兴趣，数感也难以形成。因此，在教学过程中，首先要通过生活中的实例引导学生产生数的兴趣。比如，在认识“0”时，启发学生自己说出在日常生活中在哪些地方见过“0”，学生的积极性一下高涨了起来，“在体育比赛的比分上见过”；“在温度表上见过”；“电话上有0”；“我的格尺上有0”……使学生直观体会“0”。除了表示“没有”以外，在温度表上、方向图上表示分界点；在尺上表示起点；在日历上表示日期；在电话、车牌上与其他数字一起组成号码。在教“数一数”的时候，可以根据图画引导学生回顾顺口溜或一些与数字有关的古诗。如“1像铅笔，会写字。2像鸭子，水中游。3像耳朵，听声音。4像小旗，迎风飘。5像称钩，来买菜。6像哨子，吹声音。7像镰刀，来割草。8像麻花，拧一道。9像蝌蚪，尾巴摇。10像铅笔加鸡蛋。”“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。”这样，经历了一个从日常生活中抽象出数的过程，就让学生在不知不觉中对数有了想认识的意识和兴趣。 （二）实践体验，获得认知
“数感”主要不是通过传授而得到培养的，重要的是让学生自己去感知、发现和探索，使他们在学习数学的过程中，更多地接触和经历有关情境和实例。例如教学“克和千克”时，让学生寻找找掂量1克和1千克的物体，寻找哪些物体分别用“克”“千克”作单位。像一分硬币重1克，4粒黄豆大约重1克，两面三袋盐重1千克，一袋糖重1千克，肥皂、药片、黄金等细小物品用“克”作单位，体重、菜、水果等用“千克”作单位；在教学“长度单位”时，可通过让学生到操场上跑跑、测测、量量，让学生感受50米、100米、500米的距离，在春游、秋游中感受1千米、20千米的路程，或者让学生量出一间教室的长、宽、高；在教学“100以内数的认识”时，可让学生说出与日常生活密切相关的一些数字及其作用，如你今年几岁？班级号是多少？你的鞋号是多少？火警电话是多少？急救中心电话号码是多少？这些数据都来自生活实践，学生很容易获得感知，这种“亲数学”行为，能够使学生在实践中体会数的意义，建立良好的数感。
（三）动手操作，察觉意义
听一遍不如说一遍，说一遍不如做一遍。为培养数感，教师需要引导学生联系身边具体的事物或各种可感知的现实背景，通过观察、体验、解决问题等活动，感受数的意义，将数的概念及规则与其实际含义联系起来，而获得相应的数的知识。例如，联系区民小区，体会编码知识。和谐小区共有25栋楼，每栋4个单元，每单元6层楼，每层楼2套房，你家住在第2栋第4单元5楼2号房间。请你为你家设计一下房间号牌。通过实际操作，学生学生用数来表达，发展学生的数感。
（四）估算训练，有所感悟
估算能力在一定程度上反映了学生对数的感知能力。估算能帮助学生快速判断结果的合理性，并能有效预测相应的结果。当然，估算的熟练程度是伴随学生对数字运算的作用和意义的深入理解不断发展的，它与精确计算相互依存、协同发展。因此要在精确计算基础上培养学生的估算能力。有这样一道数学题：李阿姨去商店购物，带了100元，她买了两袋面，每袋30.4元，又买了一块牛肉，用了19.4元，她还想买一条鱼，大一些的每条25.2元，小一些的每条15.8元。请帮助李阿姨估算一下，她带的钱够不够买小鱼？能不能买大鱼？在教学法中可以将这道题设计成两问：第一问“够不够买小鱼”可以这样估算——买一袋面不超过31元，两面三刀袋面不超过62元；买牛肉不超过20元；买小鱼不超过16元；总共不超过62+20+16=98（元），李阿姨的钱是够用的。第二问“能不能买大鱼”可以这样估算——买一袋面至少要30元，两袋面至少要60元；买牛肉至少要19元；买大鱼至少要25元；总共至少要60+19+25=104（元），已经超过100元了，李阿姨不能再买大鱼了。通过这样的估算练习，学生的数感会得到一点点的培养。
（五）问题解决，数感升华
数感的培养就是对学生数概念的敏感性的培养，它需要在更多的应用中得到强化。因此，教师在教学中，要开放时空，为学生设置各种生活情境，使学生在应用中进一步培养和发展数感。如，在教学“连加、连减”一课时，当学生理解了连加、连减的含义及计算方法后，教师可设置一个购物情景：我们班在新年时要举行联欢会，给每个同学10元钱去购买食品，可以怎样买。
食品 香肠 果冻 面包 蛋糕 牛奶 水果
单价 2元 4元 1元 3元 3元 5元
联欢会是一件足以使学生快乐的事情，学生的思维非常活跃，都想出了多种购物方案，巩固知识的同时又提高了解决问题的能力。这样，学生运用刚学会的数学知识去解决生活中的实际问题，在不知不觉中增强了数感。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012（1）：5、10-26、75-76、87-88.
[2]王光明，范文贵.新版课程标准解析与教学指导·小学数学[M].北京：北京师范大学出版社，2012（7）：52-57.
[3]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准解读（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012（2）：79-83.
[4]张行涛，周卫勇.新课程教学法·小学卷[M].北京：中国轻工业出版社，2004（3）：216-220.
[5]熊川武，江玲.理解教育论[M].北京：教育科学出版社，2005（4）：34-40.
【关键词】 数感；层级性；数与数量；数量关系；运算结果估计
【中图分类号】G63.21 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2013）24-0-02
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，在数学课程中，应当注重发展学生的数感。然而，在实际教学中，把数感作为课堂教学目标对学生进行培养，较难把握。但是有一点是需要认清的，也就是数感的培养具有层次性。基于此种认识，本文拟就小数生数感培养的层级性进行一点思考。
一、数感的层级性分析
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。“感”即感知，“悟”即领悟，数感既有感知的成分，又有思维的成分。对小学生来讲，从感知到领悟需要一个过程，从数到数量，到数量关系，再到运算结果的估计等都是一个渐进的过程，这个过程不可能一蹴而就，总体呈现层级性征。
（一）感悟数与数量
在小学低年级阶段，儿童对数的感悟是从数数学习辨认各组实物对象的多少开始建立的。因此儿童对多少的感悟需要经历一个察觉实物集合中所包含的物体数量多少的过程，从而积累并形成对量的多少的感知。在这一层级中，数数是第一层次，即用自然数表示多少，是儿童学习用数表示多少的第一步。在数数的过程中，他们能把数量词与其代表的少量物体联系起来，发现数字与客体数量的一一对应关系，进而理解数字的意义和大小，并且逐渐过渡到数大量的物体。这也是一个渐进的过程。与此同时，他们会形成这样的经验：数数的顺序不会改变数数的结果；数的过程中下一个数比上一个数多一；数数中的最后一个数不但代表这个数，也代表了这组物体的总数（事实上就序数与基数相等）。另外，随着学习年级的增高，学生还会经历更多的对数意义的感悟，如对分数、负数、有理数……的感悟，并形成对数的各种表征方式的理解，比如，他们会知道1/4，25%，00.25是同一个数的不同表示。对数与数量建立起来的数感常常与实际情境关联，比如对数量单位的认识，提起来教室的长度，应该想到米，提到两个城市的距离则应该想到千米。这样，一个小学生会质疑一个宣传牌中所说“7000平方米森林中生活着两只东北虎”是否成立？结合实际情境，学生的数感起到了判断的作用。
（二）感悟数量关系
相对于数与数量的概念来讲，对数量关系的感悟是学生数感的较高层次。当学生能够将数与数之间，数与量之间建立联系的时候，数感也就达到了一种较高的层次。比如学生在学习分数概念后，会建立起整体与部分之间关系的感知；依赖于具体情境或图形，会分辨两个分数的大小。“随着他们数感的增强，学生应该能够用数进行推理。例如‘1/2+3/8’一定小于一，因为每个加数都小于或等于1/2。”随着年级的升高和数系的扩充，学生对数量关系的感悟会逐步提升，比如对有理数的大小，以至于一些函数所表示的数量关系的感悟。学生对一些相对综合而显得复杂一点的数量关系的感悟常常是伴随着具体的问题情境而展开的。比如，具有一定数感的学生坐上出租车，他不会对车上的计价器熟视无睹，他会关注跳动的数码，并对数码变动的间隔时间、出租车已行路程、起步价及每千米价、到达目的地的路程等数量及相互关系在头脑中作出反应，并形成判断。这里形成的数感是学生对具体问题所涉及的数量关系的整体把握。
（三）估计运算结果
根据数量关系估计运算结果，是学生数感发展的一个更高层次。数的运算也是数学课程中所占学时较多的内容。并且，在新课程改革背景下，通过运算培养学生的估算意识和能力，以此发展学生的数感成为我们现在课程教学的目标。在不同学段，课程标准中对这方面的要求也不一样，并且带有层次性。如《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“数与代数”部分第一学段的要求与表述是“在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计”“能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”；第二学段的要求与表述为“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进估算”“会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值”；第三学段的要求与表述是“能用有理数估计一个无理数的大致范围”。其实，对运算结果的估计涉及的因素很多，如对参与运算的数与量意义及关系的理解、对运算方法的选择与判断、对运算方式角度的把握、对具体情境的数量化的处理等，所以，对运算结果的估计反映的是学生对数学对象更为综合的数感。
二、数感的培养与建立
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，有助于学生理解或表述具体情境中的数量关系。然而，数感的形成不是通过一个单元或一个学期教学能完成的，它是一个潜移默化的过程，需要在教学中逐步培养。在教学过程中可以根据数感的层级性特征，结合学生数感形成规律对学生进行循序渐进的培养。
（一）联系生活，感情先行
诚如列宁所说，没有人的感情，就没有也不可能有对真理的追求。没有人的感情，没有学生对数的意识与兴趣，数感也难以形成。因此，在教学过程中，首先要通过生活中的实例引导学生产生数的兴趣。比如，在认识“0”时，启发学生自己说出在日常生活中在哪些地方见过“0”，学生的积极性一下高涨了起来，“在体育比赛的比分上见过”；“在温度表上见过”；“电话上有0”；“我的格尺上有0”……使学生直观体会“0”。除了表示“没有”以外，在温度表上、方向图上表示分界点；在尺上表示起点；在日历上表示日期；在电话、车牌上与其他数字一起组成号码。在教“数一数”的时候，可以根据图画引导学生回顾顺口溜或一些与数字有关的古诗。如“1像铅笔，会写字。2像鸭子，水中游。3像耳朵，听声音。4像小旗，迎风飘。5像称钩，来买菜。6像哨子，吹声音。7像镰刀，来割草。8像麻花，拧一道。9像蝌蚪，尾巴摇。10像铅笔加鸡蛋。”“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。”这样，经历了一个从日常生活中抽象出数的过程，就让学生在不知不觉中对数有了想认识的意识和兴趣。 （二）实践体验，获得认知
“数感”主要不是通过传授而得到培养的，重要的是让学生自己去感知、发现和探索，使他们在学习数学的过程中，更多地接触和经历有关情境和实例。例如教学“克和千克”时，让学生寻找找掂量1克和1千克的物体，寻找哪些物体分别用“克”“千克”作单位。像一分硬币重1克，4粒黄豆大约重1克，两面三袋盐重1千克，一袋糖重1千克，肥皂、药片、黄金等细小物品用“克”作单位，体重、菜、水果等用“千克”作单位；在教学“长度单位”时，可通过让学生到操场上跑跑、测测、量量，让学生感受50米、100米、500米的距离，在春游、秋游中感受1千米、20千米的路程，或者让学生量出一间教室的长、宽、高；在教学“100以内数的认识”时，可让学生说出与日常生活密切相关的一些数字及其作用，如你今年几岁？班级号是多少？你的鞋号是多少？火警电话是多少？急救中心电话号码是多少？这些数据都来自生活实践，学生很容易获得感知，这种“亲数学”行为，能够使学生在实践中体会数的意义，建立良好的数感。
（三）动手操作，察觉意义
听一遍不如说一遍，说一遍不如做一遍。为培养数感，教师需要引导学生联系身边具体的事物或各种可感知的现实背景，通过观察、体验、解决问题等活动，感受数的意义，将数的概念及规则与其实际含义联系起来，而获得相应的数的知识。例如，联系区民小区，体会编码知识。和谐小区共有25栋楼，每栋4个单元，每单元6层楼，每层楼2套房，你家住在第2栋第4单元5楼2号房间。请你为你家设计一下房间号牌。通过实际操作，学生学生用数来表达，发展学生的数感。
（四）估算训练，有所感悟
估算能力在一定程度上反映了学生对数的感知能力。估算能帮助学生快速判断结果的合理性，并能有效预测相应的结果。当然，估算的熟练程度是伴随学生对数字运算的作用和意义的深入理解不断发展的，它与精确计算相互依存、协同发展。因此要在精确计算基础上培养学生的估算能力。有这样一道数学题：李阿姨去商店购物，带了100元，她买了两袋面，每袋30.4元，又买了一块牛肉，用了19.4元，她还想买一条鱼，大一些的每条25.2元，小一些的每条15.8元。请帮助李阿姨估算一下，她带的钱够不够买小鱼？能不能买大鱼？在教学法中可以将这道题设计成两问：第一问“够不够买小鱼”可以这样估算——买一袋面不超过31元，两面三刀袋面不超过62元；买牛肉不超过20元；买小鱼不超过16元；总共不超过62+20+16=98（元），李阿姨的钱是够用的。第二问“能不能买大鱼”可以这样估算——买一袋面至少要30元，两袋面至少要60元；买牛肉至少要19元；买大鱼至少要25元；总共至少要60+19+25=104（元），已经超过100元了，李阿姨不能再买大鱼了。通过这样的估算练习，学生的数感会得到一点点的培养。
（五）问题解决，数感升华
数感的培养就是对学生数概念的敏感性的培养，它需要在更多的应用中得到强化。因此，教师在教学中，要开放时空，为学生设置各种生活情境，使学生在应用中进一步培养和发展数感。如，在教学“连加、连减”一课时，当学生理解了连加、连减的含义及计算方法后，教师可设置一个购物情景：我们班在新年时要举行联欢会，给每个同学10元钱去购买食品，可以怎样买。
食品 香肠 果冻 面包 蛋糕 牛奶 水果
单价 2元 4元 1元 3元 3元 5元
联欢会是一件足以使学生快乐的事情，学生的思维非常活跃，都想出了多种购物方案，巩固知识的同时又提高了解决问题的能力。这样，学生运用刚学会的数学知识去解决生活中的实际问题，在不知不觉中增强了数感。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012（1）：5、10-26、75-76、87-88.
[2]王光明，范文贵.新版课程标准解析与教学指导·小学数学[M].北京：北京师范大学出版社，2012（7）：52-57.
[3]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准解读（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012（2）：79-83.
[4]张行涛，周卫勇.新课程教学法·小学卷[M].北京：中国轻工业出版社，2004（3）：216-220.
[5]熊川武，江玲.理解教育论[M].北京：教育科学出版社，2005（4）：34-40.